Содержание

Производная функции. 3

1. Определение производной функции. 3

2. Односторонние производные функции в точке. 4

3. Основные правила дифференцирования. 4

4. Производные основных элементарных функций. 4

5. Дифференциал функции. 6

6. Свойства дифференциала. 6

7. Производная сложной функции. 7

8. Производная показательно- степенной функции. 7

9. Производная обратной функции. 7

10. Производные и дифференциалы высших порядков. 8

11. Формула Тейлора. 8

12. Формула Маклорена. 9

13. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора. 9

14. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя. 10

15. Возрастание и убывание функций. Точки экстремума. 10

16. Выпуклость. Точки перегиба. 12

17. Асимптоты. 13

18. Схема исследования функции. 13

Решение типового варианта Практикума. 14

Задание 1. 14

Задание 2. 14

Задание 3. 15

Задание 4. 15

Задание 5. 16

Задание 6. 16

Задание 7. 16

Задание 8. 17

Задание 9. 17

Задание 10. 17

Задание 11. 18

Задание 12. 18

Задание 13. 18

Задание 14. 19

Задание 15. 20

Задание 16. 20

Задание 17. 20

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ. 22

Задание 1. 24

Задание 2. 25

Задание 3. 26

Задание 4. 27

Задание 5. 28

Задание 6. 29

Задание 7. 30

Задание 8. 31

Задание 9. 32

Задание 10. 33

Задание 11. 34

Задание 12. 36

Задание 13. 37

Задание 14. 38

Задание 15. 39

Задание 16. 40

Задание 17. 41

Производная функции.

1. Определение производной функции.

Определение.

Производной функции в точке называется предел отношения

при , если этот предел существует, и обозначается :

.

Если ввести обозначение (можно назвать эту величину приращением аргумента), то определение запишется в виде:

.

Полагая (можно назвать эту величину приращением функции), опуская значение аргумента и обозначая производную просто через , получим еще одну запись:

.

Приложения производной.

Пусть функция имеет в точке производную. Тогда кривая, заданная этой функцией, имеет в точке касательную и нормаль.

Уравнение касательной:

,

где .

Уравнение нормали:

.

2. Односторонние производные функции в точке.

Определение.

Если существует предел , то он называется правой (левой) производной функции в точке и обозначается

3. Основные правила дифференцирования.

Пусть и имеют производные в точке . Тогда:

1. их сумма имеет производную в точке :

;

2. их произведение имеет производную в точке :

;

3. если в точке , то производную в точке имеет частное:

;

4. Производные основных элементарных функций.

1) ( - константа);

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17)

18)

19) (если функция задана параметрически)

5. Дифференциал функции.

Определение.

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке:

,

представимо в виде:

,

где - некоторое число, не зависящее от , - бесконечно малая более высокого порядка, чем , при .

Линейная функция называется дифференциалом функции в точке и обозначается , или, короче, .

Из определения производной следует, что:

или

6. Свойства дифференциала.

Если и - функции, дифференцируемые в точке , то из определения дифференциала следуют свойства:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

7. Производная сложной функции.

Теорема.

Пусть функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке . Тогда сложная функция также имеет производную в точке , причем:

или

8. Производная показательно- степенной функции.

Пусть функции , имеют производные в точке , и . Тогда функция также имеет производную в точке , причем:

.

9. Производная обратной функции.

Теорема.

Пусть функция непрерывна и строго монотонна в окрестности точки , и в точке существует производная . Тогда и обратная функция имеет производную в точке , причем:

,

т.е. производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

10. Производные и дифференциалы высших порядков.

Определение.

Пусть функция определена в окрестности точки и имеет в каждой точке этой окрестности производную . Если в точке существует производная функции , то она называется второй производной (производной второго порядка) функции и обозначается .

Аналогично определяется производная порядка при условии существования производной порядка :

.

Определение.

Значение дифференциала , т.е дифференциала от первого дифференциала, в некоторой точке при называется вторым дифференциалом функции в этой точке и обозначается :

.

Дифференциал порядка :

.