Принцип Даламбера для материальной точки

Пусть материальная точка массы   совершает несвободное движение относительно инерциальной системы координат Oxyz под действием активной силы   и реакции связи R (рис. 57).

Рис. 57.

Определим вектор

численно равный произведению массы точки на ее ускорение и направленный противоположно вектору ускорения. Вектор  имеет размерность силы и называется силой инерции (даламберовой) материальной точки.

Принцип Даламбера для материальной точки сводится к следующему утверждению: если к силам, действующим на материальную точку, условно присоединить силу инерции точки, то получим уравновешенную систему сил, т. е.

Вспоминая из статики условие равновесия сходящихся сил, принцип Даламбера можем записать также в следующей форме:

Легко видеть, что принцип Даламбера эквивалентен основному уравнению динамики, и наоборот, из основного уравнения динамики следует принцип Даламбера. Действительно, перенося в последнем равенстве вектор   в другую часть равенства и заменяя   на  , получаем основное уравнение динамики. Наоборот, перенося в основном уравнении динамики член та в одну сторону с силами и используя обозначение  , получаем запись принципа Даламбера.

Принцип Даламбера для материальной точки, будучи вполне эквивалентным основному закону динамики, выражает этот закон в совершенно иной форме — в форме уравнения статики. Это дает возможность пользоваться при составлении уравнений динамики методами статики, что и называется методом кинетостатики.

Метод кинетостатики особенно удобен при решении первой задачи динамики.

Пример. Из наивысшей точки гладкого сферического купола радиуса R соскальзывает материальная точка М массы   с пренебрежимо малой начальной скоростью (рис. 58). Определить, в каком месте точка сойдет с купола.

Рис. 58.

Решение. Точка будет двигаться по дуге некоторого меридиана  . Пусть в некоторый (текущий) момент радиус ОМ составляет с вертикалью угол  . Раскладывая ускорение точки а на касательное  ) и нормальное   представим силу инерции точки также в виде суммы двух составляющих:

Касательная составляющая силы инерции имеет модуль   и направлена противоположно касательному ускорению, нормальная составляющая — модуль   и направлена противоположно нормальному ускорению.

Добавляя эти силы к фактически действующим на точку активной силе   и реакции купола N, составляем уравнение кинетостатики

Проектируя это векторное уравнение на направления касательной и главной нормали, получаем два уравнения кинетостатики в скалярной форме:

Из второго уравнения находим

Реакция N окончательно найдется после того, как будет определена величина v и подставлена в это выражение.

Для определения v служит первое уравнение, которое является дифференциальным уравненим и требует интегрирования. Однако можно избежать интегрирования, если воспользоваться теоремой об изменении кинетической энергии. Применяя эту теорему для точки М на участке траектории   и учитывая, что   (работу совершает только сила тяжести), получаем:

Отсюда находим

и далее

В момент отделения от купола реакция N равна нулю. Следовательно, точка сойдет с купола при

4.Работа постоянной силы на прямолинейном пути. Работа переменной силы на криволинейном пути.

Работа постоянной силы на прямолинейном пути

Работа силы в общем случае численно равна произведению мо­дуля силы на длину пройденного пути и на косинус угла между на­правлением силы и направлением перемещения (рис. 15.1): W = FS cos α. Единицы измерения работы: 1 Дж (джоуль) = 1 Н-м;  1 кДж (килоджоуль) = 103 Дж.

Рис.

Рассмотрим частные случаи. 1. Силы, совпадающие с направлением перемещения, называ­ются движущими силами. Направление вектора силы совпадает с направлением перемещения (рис. 15.2). В этом случае α = 0° (cos α = 1). Тогда W = FS > 0. 2. Силы, перпендикулярные направлению перемещения, работы не производят (рис. 15.3).

Рис.

Рис.

Сила F перпендикулярна направлению перемещения, а = 90^° (cos α = 0);  W = 0. 3. Силы, направленные в обратную от направления перемеще­ния сторону, называются силами сопротивления (рис. 15.4).

Рис.	Сила F направлена в обратную от перемещения Sсторону. В этом случае а = 180° (cos α = - 1), следовательно, W= - FS < 0. Движущие силы увеличивают модуль скорости, силы сопротивле­ния уменьшают скорость.

Таким образом, работа может быть положительной и отрица­тельной в зависимости от направления силы и скорости.

Работа постоянной силы на криволинейном пути Пусть точка М движется по дуге окружности и сила F соста­вляет некоторый угол а с касательной к окружности (рис. 15.5).

Вектор силы можно разло­жить на две составляющие: F = Ft + Fn. Используя принцип незави­симости действия сил, определим работу каждой из составляющих силы отдельно: W (Ft) = Ft ΔŠ ; W (Fn) = Fn ΔŠ , где ΔŠ = М1˘М2 – пройденный путь. ΔŠ = φ r.

Рис.

Нормальная составляющая силы F_n всегда направлена перпендикулярно перемещению и, следовательно, работы не производит: W(F_n) = 0. При перемещении по дуге обе составляющие силы разворачива­ются вместе с точкой М. Таким образом, касательная составляющая силы всегда совпадает по направлению с перемещением. Будем иметь: W(F_t) = F_t φr. Касательную силу Ft обычно называют окружной силой. Работа при криволинейном пути — это работа окружной силы: W(F) = W(F_t ). Произведение окружной силы на радиус называют вращающим моментом: М_вр = F_t r. Работа силы, приложенной к вращающемуся телу, равна произ­ведению вращающего момента на угол поворота: W(F) = M_вр φ.

5.Работа равнодействующей силы. Работа силы тяжести.

Работа равнодействующей силы Под действием системы сил точка массой т перемещается из положения M₁ в положение М₂ (рис. 15.7). В случае движения под действием системы сил пользуются те­оремой о работе равнодействующей. ^ Работа равнодействующей на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ системы сил на том же перемещении.

Рис.	FΣ = F1 + F2 + F3 + … + Fn . Работа равнодействующей силы

Работа силы тяжести Работа силы тяжести зави­сит только от изменения высоты ж равна произведению модуля си­лы тяжести на вертикальное пе­ремещение точки (рис. 15.6): W(G) = G(h₁ - h₂) = GΔh, где Δh — изменение высоты. При опускании работа положительна, при подъеме отрицательна.

6.Работа силы во вращательном движении.

работа при вращательном движении

мощность при вращательном движении
Найдем выражение для кинетической энергии при вращении тела относительно неподвижной оси, учитывая, что АТТ - система материальных точек, а энергия аддитивная величина:

Кинетическая энергия тела при вращении относительно 

неподвижной оси
Если тело одновременно движется и поступательно и вращается, то его кинетическая энергия складывается из двух частей:




Кинетическая энергия тела при плоском движении

v_c – скорость центра масс 
Пример. Рассмотрим скатывание сплошного цилиндра с наклонной плоскости.

	II закон Ньютона в векторном виде для поступательного и вращательного движений.  Движение плоское.
	II закон Ньютона для центра масс в проекциях на оси х и у (оси указаны на рис.)
	для вращательного движения относительно оси z , проходящей через центр масс С и совпадающей с осью цилиндра – ось направлена перпендикулярно чертежу. R – радиус цилиндра. Силы mg и N момента не создают, т.к. проходят через ось вращения.
	связь между угловым ускорением  и ускорением центра масс аС.

7.Мощность при поступательном и вращательном движениях. Механический КПД.

Мощность: N=A/t,  работа равна изменеию потенциальной энергии, в данном случае А=Еп=m*g*S. Время , за которое происходит перемещение на величину S=Vo*t+g*t^2/2, по условию Vo=0,  тогда t=sqrt(S*g/2),  тогда мощность: N=m*g*S/sqrt(S*g/2)=m*g*sqrt(g*S/2)

МЕХАНИЧЕСКИЙ КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ— отношение работы или мощности на валу машины к работе или мощности, развиваемой в цилиндре машины. М. К. П. Д. характеризует потери энергии на трение в частях машины, передающих движение поршня валу.

8.Механическая энергия(виды). Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки.

Если тело может совершить механическую работу, то оно обладает механической энергией Е (Дж). Либо, если внешняя сила совершает работу, воздействуя на тело, его энергия изменяется.

Сучествует два вида механической энергии: кинетическая и потенциальная.

Кинетическая энергия – энергия движущихся тел:

где v (м/с) – модуль скорости, m – масса тела.

 

Потенциальная энергия – энергия взаимодействующих тел

Примеры потенциальной энергии в механике.

Тело поднято над землей: Е = mgh

где h – высота, определяемая от нулевого уровня (или от нижней точки траектории). Форма траектории не важна, имеет значения только начальна и конечная высота.

Упруго деформированное тело. Деформация, определяемая от положения недеформированного тела (пружины, шнура и т.п.).