Работа № 1.3 Математическое описание объекта с использованием плана эксперимента первого порядка
Планы эксперимента первого порядка обеспечивают получение уравнения регрессии, включающего только линейные эффекты и парные взаимодействия, т.е. уравнения следующего вида
(1.3.1)
где
-
среднее значение выходного фактора,
вычисленное по уравнению регрессии;
- свободный член
уравнения регрессии;
- коэффициенты
регрессии, отражающие эффекты первого
порядка (линейные эффекты).
коэффициенты
регрессии, отражающие парные
взаимодействия.
В планах первого порядка основные факторы варьируются на двух уровнях:
верхнем и нижнем.
План, в котором имеются все возможные комбинации уровней основных факторов называется полным факторным планом (ПФП). Например, ПФП первого порядка для трех факторов представлен в таблице 1.3.1 в виде матрицы планирования.
Очевидно, количество опытов в ПФП первого порядка для n факторов равно N=2n .
Дробные факторные планы эксперимента также являются планами первого порядка. Их получают из полных факторных планов , используя кратную часть опытов. При этом может уменьшаться число выявленных эффектов в уравнении (1.3.1).
В работе планы эксперимента даются в кодовых обозначениях (см. Работу 1.2). Здесь предусмотрено число входных факторов от двух до пяти.
В таблице 1.3.1 представлен пример полного факторного плана эксперимента первого порядка в нормализованных значениях факторов.
Таблица 1.3.1.
№№ опытов |
Уровни факторов |
||
x1 |
x2 |
x3 |
|
1 |
+1 |
+1 |
+1 |
2 |
-1 |
+1 |
-1 |
3 |
+1 |
-1 |
-1 |
4 |
-1 |
-1 |
+1 |
5 |
+1 |
+1 |
-1 |
6 |
-1 |
+1 |
+1 |
7 |
+1 |
-1 |
+1 |
8 |
-1 |
-1 |
-1 |
Порядок работы
Задать диапазоны варьирования факторов Х1min, X1max, X2min, X2max, X3min, X3max. и т.д.
Построить полный факторный план для заданного числа факторов n согласно кодовым обозначениям в нормализованном масштабе, используя формулы перехода 1.2.4 (см. Работу 1.2).
Для опыта произвести заведомо большое число измерений выходного фактора (k = 50-100) с целью вычисления дисперсии воспроизводимости 2у . По формулам (1.1.3) и (1.1.4) вычислить 2у и у. (Грубые измерения отбрасываются автоматически).
Определить число измерений k во всех остальных опытах по формуле (1.2.6).
Выполнить все опыты, получив в каждом ряд измерений. Вычислить для каждого u-го опыта среднюю арифметическую Yu и среднее квадратическое отклонение yu по формулам (1.1.2), и (1.1.4) .Записать данные в таблицу 1.3.2.(на примере 3-х факторов). При отбрасывании грубых измерений объём выборки в каждом опыте следует дополнить новыми измерениями (пункт 5 Работы 1.2).
Таблица 1.3.2
№№ опытов |
x0
|
x1 |
x2 |
x3 |
x1 x2 |
x1x3 |
x2x3 |
Yu |
yu |
1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
|
|
2 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
-1 |
|
|
3 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
+1 |
|
|
4 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
|
|
5 |
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
-1 |
|
|
6 |
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
|
|
7 |
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
|
|
8 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
+1 |
|
|
6. Проверить гипотезу об однородности дисперсий во всех опытах по G -критерию Кохрена
(
1.3.2)
где max 2yu - максимальная дисперсия из всех N опытов.
Для однородности эксперимента необходимо и достаточно, чтобы G Gкрит.
Критическое значение критерия Кохрена определяют по таблице 1.3.3 в зависимости от числа степеней свободы f1=k-1 и f2=N.
Таблица 1.3.3.
Значения Gкрит. (q=5%)
f2 |
f1 =k-1 |
|||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7
|
8
|
9
|
10
|
|
4 |
0,90 |
0,76 |
0,68 |
0,62 |
0,59 |
0,56 |
0,53 |
0,51 |
0,50 |
0,49 |
8 |
0,68 |
0,51 |
0,43 |
0,39 |
0,36 |
0,33 |
0,31 |
0,30 |
0,29 |
0,28 |
9 |
0,64 |
0,47 |
0,40 |
0,35 |
0,32 |
0,30 |
0,29 |
0,27 |
0,26 |
0,25 |
15 |
0,47 |
0,33 |
0,27 |
0,24 |
0,22 |
0,20 |
0,19 |
0,18 |
0,17 |
0,16 |
24 |
0,34 |
0,23 |
0,19 |
0,16 |
0,15 |
0,14 |
0,13 |
0,12 |
0,11 |
0,11 |
40 |
0,23 |
0,15 |
0,12 |
0,10 |
0,09 |
0,09 |
0,08 |
0,08 |
0,07 |
0,07 |
7. Дисперсию воспроизводимости можно принять по пробному опыту (пункт 3) или определить как среднюю по всем опытам:
;
(1.3.3)
8. Вычислить коэффициенты регрессии и их дисперсии можно по формулам для планов первого порядка:
(1.3.4)
Расчеты выполняются с использованием таблицы 1.3.2. Записать уравнение регрессии согласно его виду (1.3.1).
9. Далее производится статистический анализ полученного уравнения регрессии.
Сначала проверяют гипотезу о статистической значимости коэффициентов регрессии. Для каждого из них рассчитывают t – критерий Стьюдента по формуле (1.2.5). Затем рассчитанное значение t – критерия сравнивается с критическим tкр., которое определяется по таблице 1.2.6.
Если t tкр.,то проверяемый коэффициент регрессии можно приравнять нулю (он статистически незначим). Тогда соответствующий член регрессии исключается из уравнения регрессии, оно упрощается.
Записать упрощенное уравнение регрессии.
10. В заключение проверяется статистическая гипотеза об адекватности полученного упрощенного уравнения регрессии. Проверка производится по F- критерию Фишера. Для этого следует выполнить следующие вычисления:
а) вычислить остаточную дисперсию уравнения регрессии s 2ост.
(1.3.5)
m – число значимых эффектов (слагаемых) в уравнении регрессии; число степеней свободы остаточной дисперсии f1 =N-m;
б) вычислить F-критерий
; (1.3.6)
число степеней свободы f2 принимается для дисперсии воспроизводимости 2у (пункт 7);
в) если F Fкрит., то гипотеза об адекватности полученного в п.10 уравнения регрессии принимается, и отвергается в противном случае. Значение Fкрит. табулированы в таблице 1.3.4.
Таблица 1.3.4.
Значения Fкрит. (f 1, f 2)
F2 |
f1 |
||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
6 |
8 |
10 |
15 |
30 |
|
1 |
161 |
200 |
216 |
225 |
234 |
239 |
242 |
246 |
250 |
2 |
18,51 |
19,00 |
19,16 |
19,25 |
19,33 |
19,37 |
19,40 |
19,43 |
19,46 |
3 |
10,13 |
9,55 |
9,28 |
9,12 |
8,94 |
8,85 |
8,79 |
8,70 |
8,62 |
4 |
7,71 |
6,94 |
6,59 |
6,39 |
6,16 |
6,04 |
5,94 |
5,86 |
5,75 |
5 |
6,61 |
5,79 |
5,41 |
5,19 |
4,95 |
4,82 |
4,74 |
4,62 |
4,50 |
6 |
5,99 |
5,14 |
4,76 |
4,53 |
4,28 |
4,15 |
4,06 |
3,94 |
3,81 |
8 |
5,32 |
4,46 |
4,07 |
3,84 |
3,58 |
3,44 |
3,35 |
3,22 |
3,08 |
10 |
4,96 |
4,10 |
3,71 |
3,48 |
3,22 |
3,07 |
2,98 |
2,85 |
2,70 |
12 |
4,75 |
3,89 |
3,49 |
3,26 |
3,00 |
2,85 |
2,75 |
2,62 |
2,47 |
14 |
4,60 |
3,74 |
3,34 |
3,11 |
2,85 |
2,70 |
2,60 |
2,46 |
2,31 |
16 |
4,49 |
3,63 |
3,24 |
3,01 |
2,74 |
2,59 |
2,49 |
2,35 |
2,19 |
18 |
4,41 |
3,55 |
3,16 |
2,93 |
2,66 |
2,51 |
2,41 |
2,27 |
2,11 |
20 |
4,35 |
3,49 |
3,10 |
2,87 |
2,60 |
2,45 |
2,35 |
2,20 |
2,04 |
25 |
4,24 |
3,39 |
2,99 |
2,76 |
2,49 |
2,34 |
2,24 |
2,09 |
1,92 |
30 |
4,17 |
3,32 |
2,92 |
2,69 |
2,42 |
2,27 |
2,16 |
2,01 |
1,84 |
40 |
4,08 |
3,23 |
2,84 |
2,61 |
2,34 |
2,18 |
2,08 |
1,92 |
1,74 |
60 |
4,00 |
3,15 |
2,76 |
2,53 |
2,25 |
2,10 |
1,99 |
1,84 |
1,65 |
120 |
3,92 |
3,07 |
2,68 |
2,45 |
2,17 |
2,02 |
1,91 |
1,75 |
1,55 |
|
3,84 |
3,00 |
2,60 |
2,37 |
2,10 |
1,94 |
1,83 |
1,67 |
1,46 |
11. Преобразовать уравнение регрессии в п. 9 с учетом натурального масштаба факторов, использовав формулы перехода (1.2.1.).