Работа № 1.2. Выявление доминирующих факторов объекта методом отсеивающего эксперимента.
Отсеивающий эксперимент ставится с целью определения входных факторов объекта, которые оказывают на него существенное влияние, т.е. доминируют.
Для отсеивающего эксперимента могут быть использованы математические планы первого порядка: насыщенные, ненасыщенные и сверхнасыщенные.
В насыщенных планах число факторов n и количество опытов N связано соотношением N=n+1. Для ненасыщенных планов N n+1, для сверхнасыщенных планов N n+1.
Насыщенные планы первого порядка можно построить для числа факторов n=3,7,15 и т.д. При числе факторов n 16 целесообразно переходить к сверхнасыщенным планам эксперимента (метод случайного баланса). При числе факторов n= 4-6, 8-14 можно использовать ненасыщенные планы эксперимента.
В таблице 1.2.1. приведены обозначения дробных реплик от полного факторного плана (ПФП), используемых для отсеивающего эксперимента при числе факторов n=3-15.
В работе предусмотрены планы отсеивающего эксперимента для объектов с числом входных факторов не более 7.
Планы эксперимента заложены в программу в кодовых обозначениях. Каждому фактору присвоены буквы латинского алфавита A, B, С и т.д. Если в опыте фактор находится на верхнем уровне (+1) , то соответствующая ему буква присутствует в кодовом обозначении . Если все факторы находятся на нижних уровнях, то опыт обозначается как (1).
Таблица 1.2.1.
-
Число факторов n
Обозначение дробных реплик
Количество опытов N
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
23-1
24-1
25-2
26-3
27-4
28-4
29-5
210-6
211-7
212-8
213-9
214-10
215-11
4
8
8
8
8
16
16
16
16
16
16
16
16
Для трех исследуемых факторов (n=3) план дробной реплики представляет собой полуреплику от ПФП и содержит 4 опыта. Этот план в нормализованном (условном) масштабе факторов имеет вид согласно табл.1.2.2.
Таблица 1.2.2.
-
Номер опыта
Уровни факторов
x1
x2
x3
1
-1
-1
-1
2
+1
-1
+1
3
-1
+1
+1
4
+1
+1
-1
В кодовых обозначениях план примет вид: (1), AC, BC, AB.
Переход к нормализованному масштабу факторов выполняется по формулам:
i=1,…,n ; (1.2.1)
где xi – уровень i-го фактора в нормализованном масштабе;
Хi – значение i-го фактора в натуральном масштабе;
Х io– значение i-го фактора в центре эксперимента;
(1.2.2)
Хi – интервал варьирования i-го фактора;
,
(1.2.3)
Хimax, Xi min - соответственно максимальное и минимальное значение
i-го фактора в диапазоне его варьирования.
Формулы перехода от нормализованного масштаба к натуральному имеют вид:
i
=1,…n
. (1.2.4)
Вычисление коэффициентов регрессии выполняется методом регрессионного анализа.
После проведения опытов, первичной обработки данных и вычисления коэффициентов регрессии проверяют статистическую гипотезу о значимости коэффициентов регрессии. Для этого используют t -критерий Стьюдента:
,
(1.2.5)
где в - среднее квадратическое отклонение коэффициента регрессии;
у – среднее квадратическое отклонение выходного фактора;
k – число измерений в опыте (число дублирующих опытов).
Если t t крит., то проверяемый коэффициент регрессии является статистически незначимым. Если t tкрит. то коэффициент регрессии значим и соответствующий фактор является для объекта доминирующим.
Порядок работы
1. Задать диапазоны варьирования факторов Х1min, X1 max, X2min,X2max , X3min , X3max. и т.д.
2. Построить план эксперимента согласно кодовым обозначениям в нормализованном масштабе факторов. Перевести его в натуральный масштаб факторов по формулам (1.2.4).
3. Для пробного опыта произвести заведомо большое число измерений выходного фактора (k=50-100) с целью вычисления дисперсии воспроизводимости 2у. Вычислить 2у и у по формулам (1.1.3.) и (1.1.4). Отбросить грубые измерения ( см. Работу 1.1 ).
4. Определить число измерений k во всех опытах по формуле
(1.2.6)
где
- коэффициент, зависящий от заданной
доверительной вероятности р
(надежности) результатов опыта; ( по
табл.1.2.3.);
- заданная допустимая ошибка средней арифметической величины выходного фактора.
Таблица 1.2.3.
-
p
0,997
0,99
0,954
0,95
0,9
0,68
3,00
2,58
2,0
1,96
1,64
1,00
Обычно принимается p=0,95.
Выполнить все опыты, получив в каждом ряд измерений. Программа предусматривает отбрасывание грубых измерений согласно - критерию. При малом количестве измерений k его критические значения выбираются по таблице 1.2.4.
Таблица 1.2.4.
к |
3 |
4 |
6 |
8 |
10 |
15 |
20 |
25 |
кр |
1.41 |
1.69 |
2.00 |
2.17 |
2.29 |
2.49 |
2.62 |
2.73 |
При отбрасывании некоторых измерений объём выборки следует дополнить новыми измерениями.
6. Вычислить для каждого u-го опыта среднюю арифметическую Yu по формуле (1.1.2). Записать данные в табл. 1.2.4.
Таблица 1.2.4.
-
Номер опыта
Уровни факторов
Результаты опытов Yu
x0
x1
x2
x3
1
+1
-1
-1
-1
2
+1
+1
-1
+1
3
+1
-1
+1
+1
4
+1
+1
+1
-1
Здесь x0 – фактор, соответствующий свободному члену регрессии (во всех опытах имеет уровень +1).
6. Вычислить коэффициенты регрессии по формулам регрессионного анализа.
7. Для каждого i –го коэффициента регрессии рассчитать t -критерий Стьюдента по формуле (1.2.5.).
8. Сравнить их с критическими tкр. ,которые определяют по табл.1.2.5.
Здесь число степеней свободы f принимается для дисперсии воспроизводимости.
9. Сделать выводы о доминирующих факторах объекта.
Таблица 1.2.5.
Значения tкр.(f), (f - число степеней свободы; q=5% - уровень значимости)
f |
tкр. |
f |
tкр. |
f |
tкр. |
1 |
12,71 |
9 |
2,26 |
30 |
2,04 |
2 |
4,30 |
10 |
2,23 |
40 |
2,02 |
3 |
3.18 |
12 |
2,18 |
50 |
2,01 |
4 |
2,78 |
14 |
2,15 |
60 |
2,00 |
5 |
2,57 |
16 |
2,12 |
75 |
1,99 |
6 |
2,45 |
18 |
2,10 |
100 |
1,98 |
7 |
2,37 |
20 |
2,09 |
200 |
1,97 |
8 |
2,31 |
25 |
2,06 |
500 |
1,96 |