Работа № 1.1. Получение статистической модели объекта в виде закона распределения.

Большинство объектов управления подвержены значительному влиянию возмущающих факторов. В результате выходные факторы объектов изменяются случайным образом в тех или иных пределах.

Часто необходимо построить статистическую модель объекта в виде того или иного закона распределения случайной величины по экспериментально полученным значениям случайно изменяющегося выходного фактора объекта.

Процесс получения статистической модели включает в себя следующие этапы:

- проведение эксперимента;

- первичную обработку данных;

- построение гистограммы (полигона) экспериментального распределения;

- анализ экспериментального распределения и выбор теоретического распределения;

- проверку гипотезы о законе распределения;

- представление графиков и формул для закона распределения в явной форме.

Пусть исследуется одномерный статистический объект с нормальным законом распределения выходного фактора Y.

Функция плотности нормального распределения описывается выражением

(1.1.1)

где  - среднее квадратическое отклонение случайной величины;

Y - средняя арифметическая.

Порядок работы.

1. Произвести выборку в 50-150 измерений выходного фактора Y через заданный временной интервал.

2. Выполнить первичную обработку данных. Для этого расположить экспериментальные данные в виде вариационного ряда (в порядке возрастания) и затем вычислить:

• среднюю арифметическую по формуле:

; (1.1.2)

где k – число измерений в выборке (объем выборки);

Y_j - значение отдельного j -го измерения;

- дисперсию ² и среднее квадратическое отклонение по формулам:

; (1.1.3)

. (1.1.4)

Здесь k -1=f – число степеней свободы дисперсии.

Кроме того, необходимо отбросить грубые измерения (промахи). К ним могут относиться один или несколько крайних членов вариационного ряда. Для них следует вычислить  - критерий,

; (1.1.5)

где Y₀ - член вариационного ряда, подозреваемый как промах.

Сравнить полученное значение  с критической величиной _кр, выбранной по таблице 1.1.1.

Таблица 1.1.1.

k	50	75	100	120
кр.	2,80	2,87	2,94	3,00

Если   _кр., то член ряда Y₀ не отбрасывается, если  > _кр., то он отбрасывается, а статистические параметры распределения Y и  пересчитываются вновь.

После отбрасывания промахов вариационный ряд измерений считается однородным с уровнем значимости q=5%, который предусмотрен в таблице 1.1.1.

3. Построить полигон и выполнить анализ экспериментального (эмпирического) распределения случайной величины Y, выбрать вид теоретического деления.

Для этого вариационный ряд наблюдений разбивают на L интервалов, где верхняя граница Y^В предыдущего интервала совпадает с нижней границей последующего Y^Н (число интервалов L должно быть не менее 8). В каждый l-й интервал попадает определенное число наблюдений m_l . Границы интервалов Y^H_l и Y^В_l и эмпирические частоты m_l записывают в таблицу 1.1.2. (графы 1,2,3,6).

Таблица 1.1.2

№ интервала l	Нижняя граница интервала YНl	Верхняя граница интервала YВl	Норм. отклонение		Эмпирическая частота ml	Теоретическая частость pl	Теоретическая частота pl k	Величина Аl
			z1l	z2l
1	2	3	4	5	6	7	8	9
.
.
L

С целью анализа эмпирического распределения строят его полигон. По оси абсцисс откладывают границы интервалов случайной величины и отмечают их середины. Затем для середины каждого интервала по оси ординат откладывают соответствующие ему эмпирические частоты m_l .

Соединив полученные точки ломаной линией, получают полигон эмпирического распределения (см. пример на рис. 1.1.1).

Полигон позволяет судить о характере распределения случайной величины Y и определить к какому из теоретических распределений оно ближе всего (в работе предусмотрен нормальный закон распределения выходной величины).

4. Произвести проверку статистической гипотезы о законе распределения по критерию Пирсона.

При проверке гипотезы о согласии эмпирического распределения с нормальным законом вычисляем:

Рис. 1.1.1

1) для границ интервалов – их нормированные отклонения z_1l и z_2l от средней арифметической по формулам:

; (1.1.6)

записываем их в графы 4, 5 табл. 1.1.2;

2) в графе 7 теоретическую частость попадания наблюдений в интервал вычисляем по формуле p_l = Ф₀(z_2l) – Ф₀ (z_1l), где Ф₀ (z) – нормированная функция Лапласа согласно таблице 1.1.3 (следует иметь в виду, что для отрицательного z она - отрицательна);

3) в графе 8 табл. 1.1.2 вычисляют теоретическую частоту p_l k для каждого интервала;

4) в графе 9 подсчитывают величину ,

складывая по всем интервалам данные графы 9, получают значение критерия согласия Пирсона χ² :

. (1.1.7)

Если χ²  χ²_кр. при числе степеней свободы f = L-3, то данные наблюдений не противоречат нормальному закону распределения.

Критические значения критерия Пирсона χ²_кр. для уровня значимости q=5% приведены в таблице 1.1.4. 5. С целью наглядности на рисунок наносят точки теоретического распределения, т.е. величины p_lk , соответствующие середине каждого интервала.

6. В формулу для функции плотности распределения 1.1.1. подставляют полученные численные значения Y и ² . Эта формула и является статистической моделью для выходного фактора объекта.

Таблица 1.1.3.

Нормированная функция Лапласа Ф₀(z)

Z	Сотые доли Z
	0	2	4	6	8
0,0	0,0000	0,0080	0,0160	0,0239	0,0319
0,1	0,0398	0,0478	0,0557	0,0636	0,0714
0,2	0,0793	0,0871	0,0948	0,1026	0,1103
0,3	0,1179	0,1255	0,1331	0,1406	0,1480
0,4	0,1554	0,1628	0,1700	0,1772	0,1844
0,5	0,1915	0,1985	0,2054	0,2123	0,2190
0,6	0,2257	0,2324	0,2389	0,2454	0,2517
0,7	0,2580	0,2642	0,2703	0,2764	0,2823
0,8	0,2881	0,2939	0,2995	0,3051	0,3106
0,9	0,3159	0,3212	0,3264	0,3315	0,3365
1,0	0,3413	0,3461	0,3508	0,3554	0,3599
1,1	0,3643	0,3686	0,3729	0,3770	0,3810
1,2	0,3849	0,3888	0,3925	0,3962	0,3997
1,3	0,4032	0,4066	0,4099	0,4131	0,4162
1,4	0,4192	0,4222	0,4251	0,4279	0,4306
1,5	0,4332	0,4357	0,4382	0,4406	0,4429
1,6	0,4452	0,4474	0,4495	0,4515	0,4535
1,7	0,4554	0,4573	0,4591	0,4608	0,4625
1,8	0,4641	0,4656	0,4671	0,4686	0,4699
1,9	0,4713	0,4726	0,4738	0,4750	0,4761
2,0	0,4772	0,4783	0,4793	0,4803	0,4812
2,1	0,4821	0,4830	0,4838	0,4846	0,4854
2,2	0,4860	0,4867	0,4874	0,4880	0,4886
2,3	0,4892	0,4898	0,4903	0,4908	0,4913
2,4	0,4918	0,4922	0,4926	0,4930	0,4934
2,5	0,4937	0,4941	0,4944	0,4947	0,4950
2,6	0,4953	0,4956	0,4958	0,4960	0,4963
2,7	0,4965	0,4967	0,4969	0,4971	0,4972
2,8	0,4974	0,4975	0,4977	0,4978	0,4980
2,9	0,4981	0,4982	0,4983	0,4984	0,4985
3,0	0,4986	0,4987	0,4988	0,4988	0,4989

Таблица 1.1.4.

Значения χ²_кр.(f) , ( f – число степеней свободы ) , q=5%

f	χ2	f	χ2
1	3.84	14	23,7
2	5,99	15	25,0
3	7,81	16	26,3
4	9,49	17	27,6
5	11,1	18	28,9
6	12,6	19	30,1
7	14,1	20	31,4
8	15,5	21	32,7
9	16,9	22	33,9
10	18,3	23	35,2
11	19,7	24	36,4
12	21,0	25	37.7
13	22,4	26	38,9