Решения олимпиады “Физтех–2014”, билет 1

1. Решите уравнение .

Ответ. .

Решение. На ОДЗ данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Из первого уравнения получаем или , откуда или . Из второго уравнения или . ОДЗ удовлетворяют только значения и .

2. Решите уравнение .

Ответ.

Решение. На ОДЗ данное уравнение равносильно каждому из следующих:

,

,

,

откуда или , т.е. или . Условию удовлетворяют только значения .

3. Решите систему уравнений

Ответ. , .

Решение. Первое уравнение можно переписать в виде , откуда следует, что или . Если , то подкоренное выражение во втором уравнении отрицательно и система не имеет решений. Если , то второе уравнение принимает вид , откуда или .

В итоге получаем два решения – пары чисел и .

4. Дана трапеция с основаниями и . Окружность радиуса 2, центр которой лежит на диагонали , касается отрезков , и в точках , и соответственно. Известно, что , а четырёхугольник вписан в окружность . Найдите угол  , площадь трапеции и радиус окружности .

Ответ. , , .

Решение. Окружность вписана в углы и трапеции, следовательно, её центр лежит на пересечении биссектрис этих углов. Поскольку угол между биссектрисами внутренних односторонних углов при параллельных прямых равен , получаем .

Треугольник равнобедренный, так как является его высотой и биссектрисой. Значит, также является медианой, поэтому . Пусть . Из прямоугольного треугольника находим, что , , , .

Поскольку вокруг четырёхугольника можно описать окружность, сумма его противоположных углов равна . Следовательно, . Из прямоугольного треугольника находим, что , . Из треугольника получаем, что . Находим площадь трапеции: .

Отрезок является диаметром окружности . Из треугольника получаем: ; . Следовательно, радиус окружности равен .

5. Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение ?

Ответ. 126.

Решение. Правая часть представляет собой произведение натуральных степеней чисел 2, 3, 5. Следовательно, в разложении левой части на простые множители также будут содержаться только множители 2, 3, 5. Тогда числа и можно записать как , , где все показатели степеней есть целые неотрицательные числа. Уравнение принимает вид , что равносильно системе уравнений

Чтобы все переменные принимали целые неотрицательные значения необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия , , . Получаем три варианта для первого уравнения, шесть вариантов для второго и семь для третьего. В итоге решений.

6. Найдите все значения переменной , при каждом из которых оба выражения

и

определены, причём значение меньшего из выражений не превосходит двух (если два числа равны, то меньшим считается любое из них).

Ответ. .

Решение. Меньшее из выражений не превосходит двух тогда и только тогда, когда хотя бы одно из выражений не превосходит двух. Получаем совокупность неравенств

Первое неравенство равносильно следующему:

, , , .

Рассмотрим неравенство .

В его левой части записана сумма двух взаимно обратных чисел. Она не превосходит двух в одном из двух случаев:

а) каждое из чисел отрицательно, т.е. , откуда ;

б) каждое из чисел равно единице, т.е. , откуда , , .

За счёт области определения функции получаем ограничение , а за счёт области определения – ограничение .

Объединяя решения и учитывая ОДЗ, получаем, что .

7. Даны пирамида и сфера радиуса 3. Ребро пирамиды является диаметром сферы; прямые, содержащие три других ребра, касаются сферы, а середины двух оставшихся рёбер лежат на сфере. Найдите угол  , длину ребра и объём пирамиды .

Ответ. , , .

Решение. Предположим, что сфера касается прямых и . Тогда перпендикулярно плоскости , поэтому сфера имеет единственную общую точку с плоскостью , и значит, не имеет общих точек с ребром . С прямыми , , сфера будет иметь по две точки пересечения, что противоречит условию. Аналогично доказывается, что сфера не может касаться одновременно рёбер и .

Значит, сфера касается ровно одной из двух прямых или – пусть, для определённости, ребра . Тогда сфера также касается прямых и и проходит через середины и рёбер и соответственно.

Из касания сферы с прямой следует, что . Так как – средняя линия треугольника , то , откуда вытекает, что – прямоугольный равнобедренный треугольник и . Аналогично доказывается, что – равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой .

Пусть – точка касания сферы с ребром . Треугольник – равнобедренный (т.к. отрезки и – это соответствующие медианы равных треугольников и ), – его высота, а значит, и медиана. Из равенства треугольников и получаем, что , следовательно,

Опустим из вершины высоту на плоскость . Тогда точка лежит на прямой, проходящей через точку параллельно . Пусть , . По теореме Пифагора из треугольников и получаем

, .

Решая эти уравнения, находим, что , .

Тогда объём пирамиды равен .

1. Решите уравнение ..

Ответ. .

Решение. На ОДЗ данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Из первого уравнения получаем или ; из второго уравнения или . ОДЗ удовлетворяют только значения и .

2. Решите уравнение .

Ответ.

Решение. На ОДЗ данное уравнение равносильно каждому из следующих:

,

,

,

откуда или , т.е. или . Условию удовлетворяют только значения .

3. Решите систему уравнений

Ответ. , .

Решение. Первое уравнение можно переписать в виде , откуда следует, что или . Если , то подкоренное выражение во втором уравнении отрицательно и система не имеет решений. Если , то второе уравнение принимает вид , откуда или .

В итоге получаем два решения – пары чисел и .

4. Дана трапеция с основаниями и . Окружность радиуса 2, центр которой лежит на диагонали , касается отрезков , и в точках , и соответственно. Известно, что , а четырёхугольник вписан в окружность . Найдите угол  , площадь трапеции и радиус окружности .

Ответ. , , .

Решение. Окружность вписана в углы и трапеции, следовательно, её центр лежит на пересечении биссектрис этих углов. Поскольку угол между биссектрисами внутренних односторонних углов при параллельных прямых равен , получаем .

Из прямоугольного треугольника находим, что . Треугольник равнобедренный, так как является его высотой и биссектрисой. Значит, также является медианой, поэтому . Пусть . Из треугольника находим, что , , .

Поскольку вокруг четырёхугольника можно описать окружность, сумма его противоположных углов равна . Следовательно, . Из прямоугольного треугольника находим, что , . Из треугольника получаем, что . Находим площадь трапеции: .

Отрезок является диаметром окружности . Из треугольника получаем: ; . Следовательно, радиус окружности равен  .