18. Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм

В математике рассматривают не только конъюнкцию и дизъюнкцию высказываний, но и выполняют соответствую­щие операции над высказывательными формами.

Конъюнкцию одноместных высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве X, обозначают А(х) л В(х). С появлением этого предложения возникает вопрос, как найти его множество истинности, зная множества истинности вы­сказывательных форм А(х) и В(х). Другими словами, при ка­ких значениях х из области определения X высказывательная форма А(х) л В(х) обращается в истинное высказывание? Оче­видно, что это возможно при тех и только тех значениях х, при которых обращаются в истинное высказывание обе вы- сказывательные формы А(х) и В(х). Если обозначить Т_А- множество истинности предложения А(х), Т_в- множество истинности предложения В(х), а множество истинности их конъюнкции Т_АлВ, то, по всей видимости, Т_АлВ = Т_Ап Т_в.

Докажем это равенство.

65

1. Пусть а - произвольный элемент множества X и извест­но, что a g Т_АлВ. По определению множества истинности это означает, что высказывательная форма А(х) л В(х) обращает­ся в истинное высказывание при х = а, т.е. высказывание А (я) д 5(a) истинно. Так как данное высказывание конъюнк­ция, то, по определению конъюнкции, получаем, что каждое и*1 высказываний А (а) и В (а) также истинно. Это означает, что а е Т_А и а е Т_в. Следовательно, по определению пересече-

\ II. II. Стойлова.

ния множеств, ае Т_Аг\ Т_в. Таким образом, мы показали, что Т_Алвс^п Т_в.

2. Докажем обратное утверждение. Пусть а- произволь­ный элемент множества X и известно, что а е Т_А п Т_в. По определению пересечения множеств это означает, что а е Т_А и а е Т_в, откуда получаем, что А{а) и В(а) - истинные высказы­вания, поэтому конъюнкция высказываний А(а)лВ(а) также будет истинна. А это означает, что элемент а принадлежит множеству истинности высказывательной формы А(х)лВ(х), т.е. а е Т_АлВ. Таким образом, мы доказали, что Т_А п Т_в с Т_АЛВ.

Из 1 и 2 в силу определения равных множеств вытекает справедливость равенства Т_АлВ = Т_А п что и требовалось доказать.

Заметим, что полученное правило справедливо и для вы­сказывательных форм, содержащих более одной переменной.

Приведем пример использования этого правила. Найдем множество истинности конъюнкции двух неравенств 2х > 10 и 4 + х < 12, т.е. множество истинности предложения 2х> 10 л 4 + л; < 12. Пусть Tj- множество решений неравенст­ва 2х > 10, а Т₂ - множество решений неравенства 4 + х < 12. Тогда Г; = (5, +«*>), Т₂ = (—о°, 8). Чтобы найти те значения х, при которых истинны оба неравенства, надо найти пересе­чение их множеств решений: Г₇ п Т₂ = (5, 8).

Видим, что выполнение этого задания свелось к решению системы неравенств. Вообще с точки зрения логики любая система неравенств есть конъюнкция неравенств, так же как и система уравнений есть конъюнкция уравнений.

Дизъюнкцию одноместных высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве X, обозначают A(x)vB(x). Это предложение будет обращаться в истинное высказывание при тех и только тех значениях х из области определения X, при которых обращается в истинное высказывание хотя бы одна из высказывательных форм, т.е. T_AsfB -T_a\j Т_в. .

Доказательство этого равенства проводится аналогично рассмотренному выше.

Приведем пример использования этого правила. Решим, на­пример, уравнение (х - 2) (х + 5) = 0. Известно, что произведе­ние равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это означает, что дацное уравнение равносильно дизъюнкции: x-2 = 0vx + 5 = 0h поэтому множе­ство его решений может быть найдено как объединение множеств решений первого и второго уравнений, т.е. {2} и {-5} = {-5, 2}.

Заметим, что дизъюнкцию уравнений (неравенств) назы­вают также совокупностью. Решить совокупность уравнений (неравенств) - это значит найти те значения переменных, при которых истинно хотя бы одно из уравнений (неравенств), входящих в нее.

Рассматривая конъюнкцию и дизъюнкцию высказыватель- ных форм, мы установили их тесную связь с пересечением и объединением множеств.

С другой стороны, характеристические свойства элементов пересечения и объединения множеств А и В представляют собой соответственно конъюнкцию и дизъюнкцию характери­стических свойств данных множеств:

А сл В = {х\х е А их е В), А и В = {х\х е А или х е В}, причем каждое свойство представляет собой высказыватель- ную форму.

Упражнения

1. Покажите, что, выполняя следующие задания, мы нахо­дим множество истинности конъюнкции и дизъюнкции вы- сказывательных форм:

а) Даны числа: 31, 53, 409, 348, 20, 3094, 233, 33, 271, 143, 3, 333,14, 30. Выпишите все числа, в записи которых:

1. три цифры и есть цифра 3;

2. три цифры или есть цифра 3.

б) Из ряда 25, 12, 17, 5, 15, 36 выпишите числа:

1. двузначные или меньшие 17;

2. двузначные и меньшие 17.

в) Из ряда 72,312,522,483,1137 выпишите те числа, которые:

1. делятся на 3 и 9;

2. делятся на З^ли на 9.

   2. Выполните следующие задания и дайте им теоретико- множественное обоснование:

а) Постройте по два треугольника, принадлежащих множе­ству А, если оно состоит из:

1. прямоугольных и равнобедренных треугольников;

2. прямоугольных или равнобедренных треугольников.

б) Постройте два четырехугольника, у которых:

1. диагонали равны и есть прямой угол;

2. диагонали равны или есть прямой угол.

в) Запищите три числа, которые:

1. делятся на 4 и больше 12;

2. делятся на 4 или больше 12.

   3. Решите следующие системы неравенств и объясните, что представляет собой любая система неравенств и множество ее решений с точки зрения логики:

ГЗх — 5 > 10; f4x + 3< 11;

\х + 8<2х; [Зх-7>8.

3. Решите уравнение (х - 3)-(х + 2) (х - 7) = 0, х е R. Ис­пользовалось ли вами понятие дизъюнкции высказыватель- ных форм?

4. Вместо многоточия вставьте «и» либо «или»:

а)хе А пВ тогда и только тогда, когда х е А ... х е В.

б) хе А и В тогда и только тогда, когда л: е А ... д: g В.

3. Пусть А - множество ромбов, В - множество прямоуголь­ников. Как называется четырехугольник, являющийся одно­временно ромбом и прямоугольником? Как можно выразить множество К таких четырехугольников через множества А и В!