17. Конъюнкция и дизъюнкция высказыванийI

Выясним смысл, который имеет в математике союз «и». Пусть А и В - произвольные высказывания. Образуем из них, с помощью союза «и», составное высказывание. Назовем его конъюнкцией и обозначим А д В (читают: «А и В»).

/Определение. Конъюнкцией высказываний А и В называет-

/ ся высказывание А л В, которое истинно, когда оба выска-

\ зывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно из этих

\высказываний ложно.

Определение конъюнкции можно записать с помощью таблицы, называемой таблицей истинности.

А	В	АлВ
и	и	и
и	л	д
л	и	л
л	л	л

Используя данное определение, найдем значение истинно­сти высказывания «число 28 делится на 7 и на 9», которое, как было установлено раньше, состоит из двух элементарных высказываний, соединенных союзом «и», т.е. является конъ­юнкцией. Так как первое высказывание истинно, а второе ложно, то, согласно определению конъюнкции, высказывание «число 28 делится на 7 и на 9» будет ложным.

Заметим, что данное определение конъюнкции не расхо­дится с общепринятым пониманием союза «и». Действитель­но, если мы знаем, что каждое из предложений «сегодня идет снег» и «сегодня холодно» истинно, то мы будем считать ис­тинным и предложение «сегодня идет снег и холодно». Если же одно из этих предложений или оба будут ложными, то и все предложение «сегодня идет снег и холодно» мы будем счи­тать ложным.

Заметим также, что в обыденной речи конъюнкция может выражаться не только с помощью союза «и», но и другими, например, «а», «но», «однако», «не только..., но и ...». Напри­мер: «Число 15 делится не только на 3, но и на 5».

Выясним теперь, какой смысл имеет в математике союз «или».

Пусть А и В - произвольные высказывания. Образуем из них с помощью союза «или» составное высказывание. Назо­вем его дизъюнкцией и обозначим A v В (читают: «А или В»). Определение. Дизъюнкцией высказываний А и В называет­ся высказывание A v В, которое истинно, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний, и ложно, когда оба высказывания ложны.

Таблица истинности дизъюнкции имеет вид:

А	В	AvB
и	и	и
и	л	и
л	и	и
л	л	л

Используя данное определение, найдем значение истинности нысказывания «число 28 делится на 7 или на 9». Так как это

предложение является дизъюнкцией двух высказываний, одно из которых истинно, то, согласно определению, оно истинно.

Из определения дизъюнкции следует, что в математике союз «или» используется как неразделительный, т.е. допус­кается возможность одновременного выполнения обоих условий. Так, высказывание «15 кратно 3 или 5», согласно определению, считается истинным, поскольку оба высказы­вания «15 кратно 3» и «15 кратно 5» истинны.

Образование составного высказывания с помощью логи­ческой связки называется логической операцией. Операция, соответствующая союзу «и», называется конъюнкцией, опера­ция, соответствующая союзу «или», - дизъюнкцией. Заметим, что названия логических операций и их результаты (состав­ные предложения) называются одинаково.

Определения конъюнкции и дизъюнкции можно обобщить на г составляющих их высказываний.

Конъюнкцией t высказываний называется предложение ви­да Aj л А₂ а ... л A_t, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны все составляющие его высказывания.

Дизъюнкцией t высказываний называется предложение ви­да Aj v А₂ v ... v А,, которое ложно тогда и только тогда, когда ложны все составляющие его высказывания.

Упражнения

1. Известно, что высказывание А истинно. Можно ли, зная лишь это, определить значение истинности высказывания:

а)АлВ; б )AvBl

2. Известно, что высказывание А - ложно. Можно ли, зная лишь это, определить значение истинности высказывания:

а)АлВ; 6)AvBl

3. Определите значение истинности ка­ждого высказывания:

а) число 6 делится на 2 и на 3;

б) число 123 делится на 3 и на 9;

в) при делении 42 на 5 в остатке получится 2 или 5;

г) треугольник ABC (рис. 32) пря­моугольный и равносторонний;

д) один из углов треугольника ABC (рис. 32) равен 60°.

е) 3 < 7; Ж) 3 > 7. Рис.32

4. Каждое из следующих предложений замените конъюнк­цией либо дизъюнкцией, имеющей тот же смысл:

а) число 7 принадлежит хотя бы одному из множеств А и Z?;

б) квадратное уравнение имеет не более двух корней;

в) каждое слагаемое суммы х + у + z делится на 3;

г) по крайней мере одно из натуральных чисел п, п-1, п + 1 четно.

5. А - множество четных натуральных чисел, В - множест­во натуральных чисел, меньших 20. Установите, какие из сле­дующих высказываний истинны:

а) 5 € А или 5 е В; д) 44 е А или 44 е В;

б)5 е А и 5 е В; е) 44 е А и 44 е В\

в) 8 е А или 8 € В; ж) 51 е А или 51 е В;

г) 8 е и 8 е з)51еЛи51еЯ.