69. Основные выводы § 14

В этом параграфе мы рассмотрели подход к построению системы натуральных чисел, основанный на аксиоматике но. При этом подходе натуральное число определяется как элр^ мент множества, на котором задано отношение «непосред­ственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам Пеано. Ць смотря.на определенную абстрактность, при данном подход хорошо раскрывается суть натурального числа, он соответств^ ет историческому процессу развития понятия числа в практик*.

Кроме понятия числа, мы определили понятия четырех арифметических действий, отношения «меньше», отрезка ^) турального ряда, конечного множества, числа элементов!! множества, счета. /д

Нами доказаны основные свойства сложения, умножений вычитания и деления. ц ;

■jw.

■ J,

Мы установили, что всякое натуральное число, рассматрод ваемое в аксиоматической теории как порядковое, можсД ] иметь и количественный смысл, если является характерного кой численности некоторого конечного множества.

§15. Теоретико-множественный

СМЫСЛ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА, НУЛЯ И ОПЕРАЦИЙ НАД ЧИСЛАМИ

В предыдущем параграфе была представлена аксиоматич екая теория, в которой натуральное число рассматривалось ] число порядковое. Введя понятие отрезка натурального ряд мы выяснили, что счет элементов конечного множества прив: дит к числу количественному. Теперь можем, используя ретико-множественные понятия, разъяснить смысл количе венного натурального числа, не связывая его со счетом. Сдела­ем это в рамках так называемого теоретико-множественного под­хода к числу. Учителю начальных классов знание этого подхс да поможет понять, как построены те курсы начальной матема^ тики, которые основаны на теоретико-множественной модели» системы натуральных чисел, используемой явро или неявно.

70. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»

*

Как было установлено ранее, количественное натуральное число а получается в результате счета элементов конечного

множества Л: а = п(А). Это же число а может быть получено и при пересчете элементов другого множества, например, 2?. Но если а = п(В), то множества А и В равномощны, поскольку содержат поровну элементов.

Так как любому непустому конечному множеству соответ­ствует только одно натуральное число, то вся совокупность конечных множеств разбивается на классы равномощных множеств. В одном классе будут содержаться все одноэле­ментные множества, в другом - двухэлементные и т.д. Множе­ства одного класса различны по своей природе, но все они содержат одинаковое число элементов. И это число можно рассматривать как общее свойство класса конечных равно- мощных множеств.

Таким образом, с теоретико-множественной точки зрения, натуральное число - это общее, свойство класса конечных рав­номощных множеств.

Так как каждый класс равномощных конечных множеств однозначно определяется выбором какого-нибудь его пред­ставителя, то о натуральном числе «три» можно сказать, что тго общее свойство класса множеств, равномощных, напри­мер, множеству сторон треугольника, а о натуральном числе «четыре», что это общее свойство класса множеств, равно- мощных, например, множеству вершин квадрата.

Число «нуль» с теоретико-множественных позиций рассмат­ривается как число элементов пустого множества: 0 = л (0).

Итак, натуральное число а как характеристику количества можно рассматривать с двух позиций:

1. как число элементов в множестве А, получаемое при счете, т.е. а = п(А), причем А ~ N*;

2. как общее свойство класса конечных равномощных множеств —

W Установленная связь между конечными множествам1ППГа^: Тральными числами позволяет дать теоретико-множествен- ное истолкование отношения «меньше».

В аксиоматической теории это отношение определено сле­дующим образом:

a<b<=>(3ceN)a + c=b

Если а < Ь, то это означает, что отрезок натурального ряда N« является собственным подмножеством отрезка Na, т.е. Na с: Na и Na Nа. Справедливо и обратное утверждение: если Na - собственное подмножество Na, то а < Ь. Тем самым отношение «меньше» получает теоретико-множественное ис-

1) подмножества Xi, Х2,Х_п попарно ШШрёШШШг^Г^Уг

2. объединение подмножеств Xi, Х2, Хп совпадает с мно*/ tжеством Х ^ggp

У^выпоэт^но хотя бы одно из условий, классифи­кацию считают неправильной. Например, если из множества X треугольников выделить подмножества равнобедренных, равносторонних и разносторонних треугольников, то раз­биения мы не получим, поскольку подмножества равнобед­ренных и равносторонних треугольников пересекаются (все равносторонние треугольники являются равнобедренными). В данном случае не выполнено первое условие разбиения множества на классы.

Так как разбиение множества на классы связано с выделе­нием его подмножеств, то классификацию можно выполнять при помощи свойств элементов множеств.

Рассмотрим, например, множество натуральных чисел. Его элементы обладают различными свойствами. Положим, что нас интересуют числа, обладающие свойством «быть кратным 3». Это сйойство позволяет выделить из множества натуральных чисел подмножество, состоящее из чисел, кратных 3. Тогда про остальные натуральные числа можно сказать, что они не кратны 3, т.е. получаем еще одно подмножество множества нату­ральных чисел (рис. 12). Так как выделенные подмножества не пересекаются, а их объе­динение совпадает с множеством натураль­ных чисел, то имеем разбиение этого мно­жества на два класса.

Вообще, если на множестве X задано одно свойство, то это множество разбивается на два класса. Первый - это класс объ­ектов, обладающих этим свойством, а второй- дополнение первого класса до множества X. Во втором классе содержатся такие объекты множества X, которые заданным свойством не обладают. Такую классификацию называют дихотомической./

Рассмотрим теперь ситуацию, когда для элементов множе­ства заданы два свойства. Например, такие свойства натуральных чисел, как «быть кратным 3» и «быть кратным 5». При помощи этих свойств из множества N натуральных чисел можно выделить два подмножества: А - подмножество чисел, кратных 3, и В- подмножество чисел, кратных 5. Эти множества пересе-

1. На множест­ве X прямоуголь­ников (рис. 107) задано отношение «иметь равные площади». По­стройте граф от­ношения и дока­жите, что оно является отноше­нием эквивалентности. Какие классы эквивалентности порож­дает это отношение на множестве XI

1. Опишите в общем вщ$ процесс доказательства методом математической индукции. Из скольких этапов он состоит?

б) 1-2+2-3 + 3-4 + ...+(ii4-l)= ^{+ +}

в) 1-4 + 2-7 + 3-10 + ... + п(Ъп + 1) = п(п + I)²;

г)(л³ + Зл);б;

д) (4^й + 15л - 1):9;

е) (6^2й~⁷ + 1) = 7.

I Конъюнкция - от лат. conjunctio - «соединение». Дизъюнкция - от лат. disjunctio - «разделение».

I Леонард Эйлер (1707-1783)- член Петербургской академии наук. Л. Эйлер родился в Швейцарии. В 1727 году по приглашению Петербургской академии наук приехал в Россию, где вырос в крупнейшего математика. Огромно научное наследие Эйлера, в списке его трудов более 800 названий.

I Используя метод математической индукции, докажите, что для любого натурального числа п истинны утверждения:

а) 1 +2 +3 +...+Л =— ^

17