68. Количественные натуральные числа. Счет

Аксиоматическая теория описывает натуральное число как элемент бесконечного ряда, в котором числа располагаются в определенном порядке, существует первое число и т.д. Другими словами, в аксиоматике раскрывается порядковый смысл нату­рального числа. Но натуральные числа имеют и количествек- ный смысл. Чтобы выяснить, как связаны между собой эти два смысла натурального числа, рассмотрим такие понятия, как отрезок натурального ряда, конечное множество, счет, и другие.

I Определение. Отрезком N« натурального ряда называет множество натуральных чисел, не превосходящих nanj^*. рольного числа а.

Используя запись множества, для элементов которого указано характеристическое свойство, можно записать, чтб Ne = {х\ хе N и х<а). у

Например, отрезок N7 - это множество натуральных чисел^ не превосходящих числа 7, т.е. N? = {1,2,3,4, 5, 6, 7}. и

Отметим два важных свойства отрезков натурального ряда.'

1. Любой отрезок Ne содержит единицу. Это свойство выте­кает из определения отрезка N«.

2. Если число х содержится в отрезке N« и х * а, то и не средственно следующее за ним число х+1 также содержится в N&

Действительно, если х е N«.h х * а, то х < а. Это означает, что существует такое натуральное число с, что а = х + с. Еся» с = 1,тоя=л: + 1,а значит л: + 1 содержится в N«. Если же с >\t._t < то с - 1 - натуральное число и, следовательно, а = х + с ^ = (х + 1) + (с - 1). Но тогда х + 1 < а, т.е. х + 1 - натуральное число, принадлежащее отрезку N_a. •!

[Определение. Множество А называется конечным, если ottp_f равномощно некоторому отрезку Na натурального ряда.

Например, множество А вершин треугольника ~ конечное множество, так как оно равномощно отрезку N3 = {1, 2, 3}, т.е. А ~ N3.

Теорема 31. Всякое непустое конечное множество равно- мощно одному и только одному отрезку натурального ряда.

Доказательство этой теоремы мы опускаем.

I Определение. Если непустое конечное множество А рав­номощно отрезку Na, то натуральное число а называют числом элементов множества А и пишут п(А) = а.

Например, если А - множество вершин треугольника, то п(А) = 3.

Из данного определения и теоремы 31 получаем, что для любого непустого конечного множества А число а=п(Л) единственное.

Определение. Установление взаимно однозначного соот­ветствия между элементами непустого конечного мно­жества А и отрезком натурального ряда называется счетом элементов множества А.

Так как всякое непустое конечное множество равномощно только одному отрезку натурального ряда, то число элемен­тов, т.е. результат счета не зависит от того, в каком порядке будут пересчитываться элементы множества. Поэтому можно какому-либо элементу множества А поставить в соответствие число 1 и больше этот элемент не рассматривать. Затем какому- либо из оставшихся элементов сопоставить число 2 и больше его не рассматривать. Продолжая это построение, последнему оставшемуся элементу мы поставим в соответствие число а.

В процессе счета мы не только найдем число элементов множества А, но и упорядочим его: элемент, которому соот­ветствует число 1, - первый; элемент, которому сопоставлено число 2, - второй, и т.д.

Таким образом, всякое натуральное число а можно рас­сматривать как характеристику численности некоторого ко­нечного множества А. Натуральное число а имеет при этом количественный смысл.

Упражнения

1. Можно ли назвать отрезком натурального ряда множество:

а) {1,2, 3,4}; в) {2, 3,4, 5};

б) {1,3, 5, 7}; г) {1,2,4,5}?

2. Докажите, что множество В конечное, если:

а) В - множество букв в слове «параллелограмм»;

б) В - множество учащихся в классе;

в) В - множество букв в учебнике математики.

3. Прочитайте записи: п(А) = 5; п(А) = 7. Приведите при­меры множеств, содержащих указанное число элементов.

4. Что значит сосчитать элементы конечного множества? Сформулируйте правила, которые должны соблюдать уча­щиеся при счете предметов и которые вытекают из определе­ния счета элементов конечного множества.