67. Метод математической индукции

Метод доказательства, который основан на аксиоме 4 (с. 254) и который мы использовали при доказательстве свойств сложения и умножения, можно применять и для до­казательства других утверждений о натуральных числах. Основой для этого служит следующая теорема.

Теорема 30. Если утверждение А(п) с натуральной пере­менной п истинно для и = 1 и из того, что оно истинно для п - к (к- произвольное натуральное число), следует, что оно ис­тинно и для следующего числа п = к', то утверждение А(п) истинно для любого натурального числа п.

Доказательство. Обозначим через М множество тех И только тех натуральных чисел, для которых утверждение А(п) истинно. Тогда из условия теоремы имеем: l)UM;2)fceM#i к? е М. Отсюда, на основании аксиомы 4, заключаем, что* M = N, т.е. утверждение А(п) истинно для любого натуральй^ го числа п. '

Метод доказательства, основанный на этой теореме, назы* вается методом математической индукции. Состоит оно ИЭ двух частей: wf

1. доказывают, что утверждение А(п) истинно для п = 1, f.l|, что истинно высказывание A(l);

2. предполагают, что утверждение А(п) истинно для п = к_%\ и, исходя из этого предположения, доказывают, что утворн ждение А(п) истинно и для п = к + 1, т.е. что истинно выска­зывание А (к) => А (к + 1).

Если А( 1) л А(к) => А(к +1)- истинное высказывание,,ад' делают вывод о том, что утверждение А(п) истинно для люб®*¹ го натурального числа п. д \

Доказательство методом математической индукции моад» но начинать не только с подтверждения истинности утвер­ждения для п = 1, но и с любого натурального числа В этом случае утверждение А(п) будет доказано для все* натуральных чисел п > т.

Приведем примеры доказательства утверждений методом; математической индукции.

Пример 1. Докажем, что для любого натурального числр истинно равенство 1 + 3 + 5 + ... + (2л - 1) = п².

Равенство 1 + 3 + 5 + ... + (2п - 1) = п² представляет собо^ формулу, по которой можно находить сумму п первых посл^ довательных нечетных натуральных чисел. Например, 1 + 3 +> + 5 + 7= 4² = 16, 1+3 + 5 + 7+ 9 + 11= б² = 36; если эта сумм* содержит 20 слагаемых указанного вида, то она равна 20² = 400 и т.д. Доказав истинность данного равенства, получим воз^ можность находить по формуле сумму любого числа слагае­мых указанного вида. )

1. Убедимся в истинности данного равенства для п = Ц При п = 1 левая часть равенства состоит из одного члена, рав-' ного 1, правая часть равна I² (т.е. тоже 1). Так как 1 = 1, то для п = 1 данное равенство истинно. \

2. Предположим, что данное равенство истинно для п = к₉\ т.е. что 1 + 3 + 5 + ... + (2к - 1) = к². Исходя из этого предпо-{ ложения, докажем, что оно истинно и для п=к+ 1, т.е. 1 + 3 +1 + 5 + ... + (2п - 1) + (2п + !)=(& + I)². !

Рассмотрим левую часть последнего равенства. По предпо­ложению сумма первых к слагаемых равна к^I и поэтому 1 + 3 + + 5 + ... + (2п - 1) + (2п + 1) = к² + 2к + 1. Выражение к^г + 2к + 1 тождественно равно выражению (к + I)². Следовательно, ис­тинность данного равенства для п = к + 1 доказана.

Таким образом, данное равенство истинно для л = 1 и из истинности его для п = к следует истинность для п = к + 1. Тем самым доказано, что данное равенство истинно для любого натурального числа.

Пример 2. Докажем, что для любого натурального числа истинно утверждение: (8^я + 6): 7.

1. Убедимся, что данное утверждение истинно для п = 1. Имеем: 8¹ + 6 = 14, но 14 кратно 7. Следовательно, для п = 1 данное утверждение истинно.

2. Предположим, что данное утверждение истинно для п = к, т.е. (8* + 6): 7. Исходя из этого предположения, докажем, что оно истинно и для п = к + 1, т.е. (8*^+/ + 6): 7.

Преобразуем выражение 8*⁺ + 6 к виду 8*-8 + 6. Если к нему прибавить, а затем вычесть произведение 8-6, то полу­чим 8*-8 + 6 + 8-6 - 8;6 = 8-(8* + 6)- 42. В полученном выра­жении уменьшаемое 8'-(8* + 6) кратно 7, так как 8* + 6 кратно 7 по предположению. Число 42 также делится на 7, следова­тельно, вся разность кратна 7.

Таким образом, данное утверждение истинно для п = 1 и из истинности его для п = к следует истинность для п = к + 1. Тем самым доказано, что данное равенство истинно для любого натурального числа.