50. Основные выводы § 10

Изучив материал данного параграфа, мы познакомились со следующими понятиями:

• бинарное отношение на множестве;

• отношение эквивалентности;

• отношение порядка.

Выяснили, что отношения на множестве задают так же, как и соответствия. Узнали, что отношения на множестве могут быть обладать свойствами:

• рефлексивности;

• симметричности;

• антисимметричности;

• транзитивности;

-связанности.

В зависимости от свойств отношения делят на отношения эквивалентности, отношения порядка и отношения, которые не являются ни отношениями эквивалентности, ни отноше­ниями порядка.

Узнали, что существует тесная взаимосвязь между отноше­нием эквивалентности на множестве X и разбиением этого множества на классы.

§ 11. Алгебраические операции на множестве

В математике изучают не только отношения, но и различ­ные операции. Например, сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение из корня - это операции над числами; пересечение, объединение, вычитание, декартово умножение - это операции над множествами; конъюнкция, дизъюнкция, отрицание - это операции над высказываниями и высказыва- тельными формами. Операции над высказываниями и множе­ствами появились в математике в XIX веке. Операции над высказываниями ввел английский математик Дж. Буль, а опе­рации над множествами немецкий математик Г. Кантор. Ока­залось, что операции над высказываниями и множествами обладают свойствами, аналогичными свойствам сложения и умножения чисел, но некоторые их свойства отличаются от свойств операций над числами.

Вообще в XIX веке в математике возникли разные ветви алгебры: обычных чисел, высказываний, множеств и другие. Каждая из них имела свои правила, но для некоторых видов алгебр эти правила были похожими. Стремление выяснить, что представляет собой любая операция, способствовало по­явлению общего понятия алгебраической операции.

Изучение свойств алгебраических операций привело мате­матиков к выводу о том, что основная задача алгебры - изу­чение свойств операций, рассматриваемых независимо от объектов, к которым они применяются. И если первоначально алгебра была учением о решении уравнений, то в JOT веке она превратилась в науку об операциях и,их свойствах.

Учитель начальных классов первым знакомит детей с раз­личными операциями над числами и их свойствами. Иногда в начальном курсе математики начинается изучение операций над множествами и предложениями. И естественно, чтобы грамотно обучать детей, видеть перспективу развития алгебраических по­нятий в дальнейшем обучении школьников математике, учителю необходимо знать, что такое алгебраическая операция, какими свойствами она может обладать, где и как она применяется.

51. Понятие алгебраической операции

Рассмотрим, например, хорошо известное нам сложение натуральных чисел. Выполняя эту операцию, мы, имея два числа, находим третье - сумму первых двух чисел. Так, скла­дывая числа 5 и 9, получаем число 14, которое так же, как и данные числа 5 и 9, является натуральным числом.

Выполняя пересечение множеств, мы по двум данным множествам находим новое, состоящее из общих элементов данных множеств.

Если рассмотреть вычитание натуральных чисел, то можно сказать, что при его выполнении по двум заданным натураль-

2. Можно ли утверждать, что все данные равенства верные:

а) 48:(2-4) = 48:2:4;

б)5б:(2-7) = 56:7:2;

в) 850:170 = 850:10:17.

Какое правило является обобщением данных случаев? Сформулируйте его и докажите.

2. Какие свойства деления являются теоретической осног вой для выполнения следующих заданий, предлагаемых школьникам начальных классов:

можно ли, не выполняя деления, сказать, значения каких выражений будут одинаковыми:

а) (40+ 8):2; в) 48:3; д)(20 + 28):2;

б) (30 + 16):3; г) (21 + 27):3; е) 48:2;

верны ли равенства:

а) 48:6:2 = 48:(6:2);

б) 96:4:2 = 96:(4-2);

в) (40 — 28): 4 = 10-7?

2. Опишите возможные способы вычисления значения вы­ражения вида:

а)(а + Ь):с; б )а:Ь:с; в )(ab):c.

Предложенные способы проиллюстрируйте ца конкретных примерах.

2. Найдите значения выражения рациональным способом; свои действия обоснуйте:

а) (7-63):7; в) (15-18):(5-6);

б) (3-4-5): 15; г) (12-21): 14.

2. Обоснуйте следующие приемы деления на двузначное число:

а) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 = 50 + 3 = 53;

б) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 = 49;

в) 480:32 = 480:(8-4)= 480:8:4 = 60:4 = 15;

г) (560 • 32): 16 = 560 • (32:16) = 560 • 2 = 1120.

2. Не выполняя деления уголком, найдите наиболее рацио­нальным способом частное; выбранный способ обоснуйте:

а) 495:15; в) 455:7; д) 275:55;

б) 425:85; г) 225:9; е) 455:65.