49. Отношения эквивалентности и порядка

f 1 1 1 2 2 J

Рассмотрим на множестве дробей Х = < —от-

^F [234466

ношение равенства. Это отношение:

• рефлексивно, так как всякая дробь равна сама себе;

^ ^т

• симметрично, так как из того, что дробь — равна дро-

п

12. Основные выводы § 1 1

§2. Математические понятия 2

13. Объем и содержание понятия. 3

Отношения между понятиями 3

14. Определение понятий 8

15. Основные выводы § 2 17

16. Высказывания и высказывательные формы 18

18. Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм 26

(А => в) <=> (в =>aJ. 50

24. Основные выводы § 3 53

А = {х\хе nhx<7}. 10

б) А \ (Вп Q = (А\В) u (А \ Q; 26

50. Основные выводы § 10 221

§ 11. Алгебраические операции на множестве 221

51. Понятие алгебраической операции 222

69. Основные выводы § 14 284

§15. Теоретико-множественный 284

СМЫСЛ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА, НУЛЯ И ОПЕРАЦИЙ НАД ЧИСЛАМИ 284

70. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше» 284

s

Про отношение равенства дробей говорят, что оно являет­ся отношением эквивалентности.

Определение. Отношение R на множестве X называется отношением эквивалентности, если оно одновременно об- ладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Примерами отношений эквивалентности могут служить отношения равенства геометрических фигур, отношение па­раллельности прямых (при условии, что совпадающие прямые считаются параллельными). /Т\

Почему в математике выде- лили этот вид отношений? Рас- ^л смотрим ^отношения равенства дробей, заданного на множестве

ИШ™ ®

Видим, что множество разби- Рис.106

fl 2 31 (12) [11 _ лось на три подмножества: г, < — Эти под-

[2 4 6J [3 6J [4\

множества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством X, т.е. имеем разбиение множества X на классы. Это не случайно.

Вообще если на множестве X задано отношение эквива­лентности, то оно порождает разбиение этого множества на попарно непересекающиеся подмножества (классы эквива­лентности).

Так, мы установили, что отношению равенства на множе­

стве дроб соответствует разбиение этого

множества на классы эквивалентности, каждый из которых состоит из равных между собой дробей.

Верно и обратное утверждение: если какое-либо отношение, заданное на множестве X, порождает разбиение этого множе­ства на классы, то оно является отношением эквивалентности.

Рассмотрим, например, на множестве X = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3». Оно порождает разбиение множества X на классы: в один попадут все числа, при делении которых на 3 получа­ется в остатке 0 (это числа 3, 6, 9), во второй - числа, при де­лении которых на 3 в остатке получается 1 (это числа 1, 4, 7, 10), и в третий - все числа, при делении которых на 3 в остат­ке получается 2 (это числа 2, 5, 8). Действительно, полученные подмножества не пересекаются и их объединение совпадает с множеством X. Следовательно, отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3», заданное на множестве X, явля­ется отношением эквивалентности. Заметим, что утверждение о взаимосвязи отношения эквивалентности и разбиения мно­жества на классы нуждается в доказательстве. Мы его опуска­ем. Скажем только, что если отношение эквивалентности име­ет название, то соответствующее название дается и классам. Например, если на множестве отрезков задается отношение равенства (а оно является отношением эквивалентности), то множество отрезков разбивается на классы равных отрезков (см. рис. 99). Отношению подобия соответствует разбиение множества треугольников на классы подобных треугольников.

Итак, имея отношение эквивалентности на некотором мно­жестве, мы можем разбить это множество на классы. Но можно поступить и наоборот: сначала разбить множество на классы, а затем определить отношение эквивалентности, считая, что два элемента эквивалентны тогда и только тогда, когда они при­надлежат одному классу рассматриваемого разбиения.

Принцип разбиения множества на классы при помощи не­которого отношения эквивалентности является важным принципом математики. Почему?

Во-первых, эквивалентный- это значит равносильный, взаимозаменяемый. Поэтому элементы одного класса экви­валентности взаимозаменяемы. Так, дроби, оказавшиеся в

одном классе эквивалентност , неразличимы с

3

точки зрения отношения равенства, и дробь — может быть

6

¹ тл

заменена другой, например —. И эта замена не изменит ре­зультата вычислений.

Во-вторых, поскольку в классе эквивалентности оказыва­ются элементы, неразличимые с точки зрения некоторого от­ношения, то считают, что класс эквивалентности определяется любым своим представителем, т.е. произвольным элементом этого класса. Так, любой класс равных дробей можно задать, указав любую дробь, принадлежащую этому классу. Опреде­ление класса эквивалентности по одному представителю позво­ляет вместо всех элементов множества изучать совокупность отдельных представителей из классов эквивалентности. На­пример, отношение эквивалентности «иметь одинаковое число вершин», заданное на множестве многоугольников, порождает разбиение этого множества на классы треугольников, четырех­угольников, пятиугольников и т.д. Свойства, присущие некото­рому классу, рассматриваются на одном его представителе.

В-третьих, разбиение множества на классы с помощью отношения эквивалентности используется для введения но­вых понятий. Например, понятие «пучок прямых» можно определить как то общее, что имеют параллельные между собой прямые.

Вообще любое понятие, которым оперирует человек, пред­ставляет собой некоторый класс эквивалентности. «Стол», «дом», «книга» - все эти понятия являются обобщенными представлениями о множестве конкретных предметов, имею­щих одинаковое назначение.

Другим важным видом отношений являются отношения порядка. Оно определяется следующим образом.

I Определение. Отношение R на множестве X называется отношением порядка, если оно одновременно обладает свойством антисимметричности и транзитивности.

Примерами отношений порядка могут служить: отноше­ния «меньше» на множестве натуральных чисел; отношения

«короче» на множестве отрезков, поскольку они антисиммет­ричны и транзитивны.

Если отношение порядка обладает еще свойством связан­ности, то говорят, что оно является отношением линейного порядка.

Например, отношение «меньше» на множестве натураль­ных чисел является отношением линейного порядка, так как обладает свойствами антисимметричности, транзитивности и связанности.

[Определение. Множество X называется упорядоченный, если на нем задано отношение порядка.

Так, множество N натуральных чисел можно упорядочить, если задать на нем отношение «меньше».

Если отношение порядка, заданное на множестве X, обла- | дает свойством связанности, то говорят, что оно линейно упо- ] рядочивает множество X. j

Например, множество натуральных чисел можно упоря­дочить и с помощью отношения «меньше», и с помощью отношения «кратно» - оба они являются отношениями по­рядка. Но отношение «меньше», в отличие от отношения «кратно», обладает еще и свойством с&язанности. Значит, отношение «меньше» упорядочивает множество натураль­ных чисел линейно.

Упражнения

Рис. 107

Не следует думать, что все отношения делятся на отноше­ния эквивалентности и отношения порядка. Существует ог­ромное число отношений, не являющихся ни отношениями эквивалентности, ни отношениями порядка.

2. Объясните, почему отношение равенства отрезков яв­ляется отношением эквивалентности, а отношение «короче» не является.

3. Х- множество прямых плоскости. Какое из следующих отношений является отношением эквивалентности на этом множестве: а) «х параллельна у»; б) «х перпендикулярна у»; в) «х пересекает у»?

4. На множестве X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} задано от­ношение «иметь один и тот же остаток при делении на 4». Является ли оно отношением эквивалентности?

5. Можно ли разбить множество X = {7-3; 2², 5-2; 60:6; 1 +3; 0:4; 0 -10; 4:(10-10)} на классы при помощи отношения «иметь равные значения»?

6. На множестве X = {213, 37, 21, 87, 82} задано отноше­ние Р - «иметь в записи одинаковые цифры». Является ли Р отношением эквивалентности?

7. На множестве целых чисел от 0 до 999 задано отноше­ние К - «иметь в записи одно и то же число цифр». Покажите, что К- отношение эквивалентности. На сколько классов эк­вивалентности разбивается данное множество при помощи отношения Ю. Назовите наименьший и наибольший элементы каждого класса.

8. Сколько классов эквивалентности порождает на мно­жестве натуральных чисел отношение «оканчиваться одной и той же цифрой»? Назовите по одному представителю каж­дого класса.

9. Х - множество отрезков. Какие из следующих отноше­ний являются отношениями порядка на этом множестве: а) «х равно у»; б) «х длиннее у»; в) «х длиннее у в 3 раза»?

10. Упорядочивают ли множество натуральных чисел от­ношения: а) «больше в 2 раза»; б) «больше на 2»; в) «непос­редственно следовать за»; г) «х - делитель у»1

11. Отношение Т- «иметь одно и то же число делителей» задано на множестве X = {1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 11}. Является ли Т отношением эквивалентности? Отношением порядка?

12. Выясните, какие из следующих высказываний истинны, а какие ложны; свой ответ обоснуйте:

а) Отношение «х кратно у» на множестве натуральных чи­сел рефлективно и симметрично.

б) Отношение «х кратно у» на множестве натуральных чи­сел антисимметрично и транзитивно.

в) Отношение «х кратно у» на множестве натуральных чи­сел является отношением порядка.

2. Между множествами существуют отношения равенства, равномощности, «быть подмножеством». Какие из них явля* ются отношениями эквивалентности, а какие отношениями порядка?

3. Решите задачи для младших школьников и укажите свойства отношений, которые были при этом использованй'.н

а) Мальчик составил пирамидку из трех колечек: желтого, красного и зеленого. В каком порядке он расположил колеч­ки, если желтое больше зеленого, а красное меньше зеленого?

б) Четверо учащихся получили разные оценки за кон*- трольную работу. Игорь получил оценку выше, чем Петр, Петр ниже, чем Максим, но выше, чем Кирилл. Кто получил самую низкую оценку?