8. Понятие разбиения множества на классы

Понятия множества и операций над множествами позво­ляют уточнить наше представление о классификации - дейст­вии распределения объектов по классам.

Классификацию мы выполняем достаточно часто. Так, на­туральные числа представляем как два класса - четные и не­четные. Углы на плоскости разбиваем на три класса: прямые, ос^ыек-тупые.

^Любая классификация связана с разбившем некоторого /,множества объектов на подмножества. При этом считают, что множество Xразбито на классы Xi, Х2,..., Х_щ если,

Рис. 12

Рис. 13

каются, но ни одно из них не является подмножеством друго­го (рис. 13). Проанализируем получившийся рисунок. Конеч­но, разбиения множества натуральных чисел на подмножества А и В не произошло. Но круг, изображающий множество N, можно рассматривать как состоящий из четырех непересе­кающихся областей - на рисунке они пронумерованы. Каждая область изображает некоторое подмножество множества N. Подмножество I состоит из чисел, кратных 3 и 5; подмножест­во II - из чисел, кратных 3 и не кратных 5; подмножество III - из чисел, кратных 5 и не кратных 3; подмножество IV- из чисел, не кратных 3 и не кратных 5. Объединение этих четы­рех подмножеств есть множество N.

Таким образом, выделение двух свойств привело к разбие­нию множества N натуральных чисел на четыре класса.

Не следует думать, что задание двух свойств элементов множества всегда при­водит к разбиению этого множества на четыре класса. Например, при помощи та­ких двух свойств «быть кратным 3» и «быть кратным 6» множество натуральных чисел разбивается на три класса (рис. 14): р_ис. 14

I - класс чисел, кратных 6; II - класс чисел, кратных 3, но не кратных 6; III - класс чисел, не кратных 3.

Упражнения

1. Из множества X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} выде­лили подмножества Х_И Х₂ и Х₃. В каком из следующих случа­ев множество X оказалось разбитым на классы:

^а) Xi⁼ {U 3, 5, 7, 11},Х₂ = {2,4,6, 8, 10, 12}, = {9}; - 0>3,5,7,9,11},Z₂= {2,4,6,8,10,12},Х₃ = {10,11,12};

в) X, = {3, 6, 9, 12), Х₂ ={1,5, 7, 11}, Х₃ = {2, 10}?

2. Из множества X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} выде­лим подмножества:

а) А - четных чисел, В - нечетных чисел;

б) А - чисел, кратных 2; В - чисел, кратных 3; С - чи­сел, кратных 4;

в) А - нечетных однозначных чисел; В - четных дву­значных чисел.

В каком случае произошло разбиение множества X на классы?

3. 

   Из множества треугольников выделили подмножества треугольников:

а) прямоугольные, равнобедренные, равносторонние;

б) остроугольные, тупоугольные, прямоугольные;

в) равносторонние, прямоугольные, тупоугольные.

В каком случае произошло разбиение множества треуголь­ников на классы?

4. На какие классы разбивается множество точек плоско­сти при помощи: а) окружности; б) круга; в) прямой?

5. Перечертите комбинации фигур, приведенные на рисун­ке 15, и на каждой из них выделите (различными видами штри-

ховки) непересекающиеся области.

Рис. 15

6. На множестве натуральных чисел рассматривается свой­ство «быть кратным 7». Сколько классов разбиения множества N оно определяет? Назовите по два элемента из каждого класса.

7. Из множества четырехугольников выделили подмноже­ство фигур с попарно параллельными сторонами. На какие классы разбивается множество четырехугольников с помо­щью свойства «иметь попарно параллельные стороны»? На­чертите по два четырехугольника из каждого класса.

8. Изобразите при помощи кругов Эйлера множество N натуральных чисел и его подмножества: четных чисел и чисел, кратных 7. Можно ли утверждать, что множество N разбито:

а) на два класса: четных чисел и чисел, кратных 7;

б) на четыре класса: четных чисел, кратных 7; четных

чисел, не кратных 7; нечетных чисел, кратных 7; не­четных чисел, не кратных 7?

9. На множестве четырехугольников рассматриваются два свойства: «быть прямоугольником» и «быть квадратом». На какие классы разобьется множество четырехугольников при помощи этих свойств? Начертите по два четырехугольника из каждого класса.

10. Изменится ли ответ в упражнении 9, если на множестве четырехугольников рассмотреть свойства:

а) «быть прямоугольником» и «быть ромбом»;

б) «быть прямоугольником» и «быть трапецией»?

11. На рисунке 16 изображены мно­жество Х- студентов группы, А - мно­жество спортсменов этой группы, В- множество отличников этой группы.

а) Укажите классы разбиения множе­ства X, полученные с помощью свойств «быть спортсменом» и «быть отлични­ком», и охарактеризуйте каждый из них.

б) Сколько получилось бы классов разбиения, если бы ни один отличник группы не был спортсменом?

Выполните соответствующий рисунок и назовите классы разбиения.

12. Покажите, что решение нижеприведенных задач связа­но с разбиением заданного множества на классы:

а) 18 редисок связали в пучки по 6 редисок в каждом. Сколько получилось пучков?

б) 18 карандашей раздали 6 ученикам поровну. Сколько карандашей у каждого?

13. О каких множествах и операциях над ними идет речь в задачах:

а) С одной грядки сняли 25 кочанов капусты, а с другой- 15 кочанов. Всю эту капусту разложили в корзины, по 8 коча­нов в каждую. Сколько потребовалось корзин?

б) Для школьного сада привезли 24 саженца яблонь. На одном участке посадили 6 саженцев, а на другом - остальные, в 3 ряда поровну. Сколько саженцев посадили в каждом ряду?

9. Декартово произведение множеств

Используя две цифры, например, 3 и 5, можно записать че­тыре двузначных числа: 35, 53, 33 и 55. Несмотря на то что числа 35 и 53 записаны с помощью одних и тех же цифр, эти числа различные. В том случае, когда важен порядок следова­ния элементов, в математике говорят об упорядоченных на­борах элементов. В рассмотренном примере мы имели дело с упорядоченными парами.

Упорядоченную пару, образованную из элементов а и Ь₉ принято записывать, используя круглые скобки: (а; Ь). Эле­мент а называют первой координатой (компонентой) пары, а элемент b - второй координатой (компонентой) пары.

Пары (а; Ъ) и (с; d) равны в том и только в том случае, ко­гда a-cub-d.

В упорядоченной паре (а; Ъ) может быть, что а = Ь. Так, запись чисел 33 и 55 можно рассматривать как упорядоченные пары (3; 3) и (5; 5).

Упорядоченные пары можно образовывать как из элемен­тов одного множества, так и двух множеств. Пусть, например, А = {1, 2, 3}, В = {3, 5}. Образуем упорядоченные пары так, чтобы Первая компонента принадлежала множеству А, а вто­рая - множеству В. Если мы перечислим все такие пары, то получим множество:

{(1;3),(1;5),(2;5),(3;3),(3;5)}.

Видим, что имея два множества А и В, мы получили новое множество, элементами которого являются упорядоченные пары чисел. Это множество называют декартовым произведе­нием множеств А и В.

Определение. Декартовым произведением множеств АиВ называется множество всех пар, первая компонента ко­торых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.

Декартово произведение множеств А и В обозначают Ах В. Используя это обозначение, определение декартова произведе­ния можно записать так:

Ах В - {(л:; у) | Л: е Аиуе В}.

Задача 1. Найдите декартово произведение множеств А и В, если:

а)А = {т;р},В={е,/,/с};

б)Л=В={3,5}.

Решение, а) Действуем согласно определению - образуем все пары, первая компонента которых выбирается из А, а вторая - из В:

А хВ = {(т; е), (m;J), (т; к), (р; е), (p;J), (р; к)}.

б) Декартово произведение равных множеств находят, об­разуя всевозможные пары из элементов данного множества: АхА = {(3; 3), (3; 5),,(5; 3), (5; 5)}.

Операцию нахождения декартова произведения множеств называют декартовым умножением. Выясним, какими свойст­вами обладает эта операция. Так как декартовы произведения А х В и В х А состоят из различных элементов, то декартово умножение множеств А к В свойством коммутативности не обладает. Можно доказать, что для декартова умножения не выполняется и свойство ассоциативности. Но декартово про­изведение дистрибутивно относительно объединения и вычи­тания множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполня­ются равенства:

(А и В) х С = (Л х С) и (В х С), (Л \ В) х С = (Л х В) \ (В х С).

Задача 2. Проверьте справедливость свойства диЬтри- бутивиости декартова умножения относительно объедине­ния, если:

А = {3; 4; 5}, В ={5; 7}, С ={7; 8}.

Решение. Найдем объединение множеств А и В: А и В = = {3,4,5,7}. Далее перечислим элементы множества (А и В) х С, используя определение декартова произведения: (Akj В)хС = = {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)}.

Чтобы найти элементы множества (А х С) и (В х С), пере­числим сначала элементы множеств АхСиВхС:

А хС= {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8)} В хС= {(5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)}.

Найдем объединение полученных декартовых произведений: (AxC)\j (В х С) = {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)}.

Видим, что множества (А и В) х С и (А х С) и (В х С) со­стоят из одних и тех же элементов, следовательно, для данных множеств А, В и С справедливо равенство (АиВ)хС = = (А х Q и (В х С).

Выясним теперь, как можно наглядно представлять декар­тово произведение множеств.

Если множества А и В конечны и содержат небольшое чис­ло элементов, то можно изобразить декартово произведение этих множеств при помощи графа или таблицы. Например, декартово произведение множеств А = {1, 2, 3} и В = {3,5} можно представить так, как показано на рисунке 17(а, б).

	3	5
1	0,3)	0,5)
2	(2,3)	(2,3)
3	(3,3)	(3,3)

б)

Рис. 17

Декартово произведение двух числовых множеств (конеч­ных и бесконечных) можно изображать на координатной плоскости, так как каждая пара чисел может быть единст­

венным образом изображена точкой на этой плоскости. На­пример, декартово произведение А х В множеств А = {1, 2, 3} и В = = {3, 5} на координатной плоскости будет выглядеть так, как показано на рисунке 18.

Заметим, что элементы множест­ва А мы изобразили на оси Ох, а элементы множества В-яг. оси Оу.

Такой способ наглядного пред­ставления декартова произведения

двух числовых множеств удобно использовать в случае, когда хотя бы одно из них бесконечное.

Задача 3. Изобразите на координатной плоскости декар­тово произведение Ах В, если: а)Л = {1,2, 3},Я = [3, 5]; 6М = [1,3],Я = [3, 5]; bM=R,2? = [3,5]; t)A=R,B = R.

у t

5

-f'-f—f

1 2 3 Рис. 18

У" 5

О

1 2 3 Рис. 19

Решение, а) Так как множество А состоит из трех элемен­тов, а множество В содержит все действительные числа от 3 до 5, включая и сами эти числа, то декар­тово произведение А х В будет со­стоять из бесконечного множества пар, первая компонента которых либо 1, либо 2, либо 3, а вторая- любое действительное число из про­межутка [3, 5]. Такое множество пар действительных чисел на коорди­натной плоскости изобразится тремя отрезками (рис. 19).

У" 5

0

1 3 Рис. 20

33

б) В этом случае бесконечны оба множества АиВ. Поэто­му первой координатой пары, при­надлежащей множеству Ах В, может быть любое число из промежутка [1,3], и, следовательно, точки, изо­бражающие элементы декартова произведения данных множеств А и В, образуют квадрат (рис. 20). Что­бы подчеркнуть, что элементы де­картова произведения изображают­ся и точками, лежащими внутри квадрата, этот квадрат можно заштриховать.

2 Л. П. Стойлова.

в) Этот случай отличается от предыдущего тем, что множе­ство А состоит из всех действитель­ных чисел, т.е. абсцисса точек, изо­бражающих элементы множества Ах В, принимает все действитель­ные значения, в то время как орди­ната выбирается из промежутка [3, 5]. Множество таких точек обра­зует полосу (рис. 21).

г) Декартово произведение R х R ^Рис-²¹ состоит из всевозможных действительных чисел. Точки, изо­бражающие эти пары, сплошь заполняют координатную плос­кость. Таким образом, декартово произведение R х R содер­жит столько же элементов, сколько точек находится на коор­динатной плоскости.

В математике и других науках рассматривают не только упорядоченные пары, но и упорядоченные наборы из трех, четырех и т.д. элементов. Например, запись числа 367- это упорядоченный набор из трех элементов, а запись слова «ма­тематика» - это упорядоченный набор из 10 элементов.

Упорядоченные наборы часто называют кортежами и различают по длине. Длина кортежа - это число элементов, из которых он состоит. Например, (3; 6; 7) - это кортеж длины 3, (м, а, т, е, м, а, т, и, к, а) - это кортеж длины 10.

Рассматривают в математике и декартово произведение трех, четырех и вообще п множеств.

Определение. Декартовым произведением множеств Aj, А2,..., An называется множество всех кортежей длины п, первая компонента которых принадлежит множеству Ai, вторая - множеству Аг,..., п-я - множеству An.

Декартово произведение множеств A_h А₂, ... , А_п обозна­чают так: Aj х А₂ х ... хА_п.

Задача 4. Даны множества: А₁ = {2, 3}, Л₂ = {3, 4, 5}, А₃ = {6, 7}. Найти Aj хА₂ хА₃.

Решение. Элементами множества AjX А₂х А₃ будут кортежи длины 3 такие, что первая их компонента принад­лежит множеству Aj, вторая - множеству А₂, третья - множе­ству А₃.

А,хА₂ХА₃ = { (2, 3, 6), (2, 3,7), (2,4, 6), (2,4, 7), (2, 5,6), (2, 5, 7), (3, 3,6), (3,3, 7), (3, 4, 6), (3,4, 7), (3, 5,6), (3, 5,7)}.

Упражнения

1. Дано уравнение 2х - 3 = 3. Запишите несколько реше­ний данного уравнения. Что представляет собой каждое решение? Является ли пара (4, 5) решением данного уравне­ния? А пара (5, 4)?

2. Элементами множеств А и В являются пары чисел:

А = {(1,12), (2, 9), (3,6), (4, 3), (5, 0)},

В ={(1,9), (2, 7), (3,6), (4, 7), (5,0)}.

Найдите пересечение и объединение данных множеств.

3. Перечислите элементы декартова произведения Ах В, если:

а)A = {a,b,c,d},B={b,k,l);

б) А = В= {а, Ъ, с};

в)А = {а,Ь, с},В = 0.

4. Запишите различные двузначные числа, используя циф­ры 3, 4 и 5. Сколько среди них таких, запись которых начина­ется с цифры 3? Как связано решение данной задачи с поняти­ем декартова произведения множеств?

5. Даны два множества: А = {1, 3, 5} и В = {2, 4}. Перечис­лите элементы множеств АхВиВхА. Верно ли, что:

а) Множества Ах В и ВхА содержат одинаковое число элементов;

б) Множества АхВиВхА равны?

6. Проверьте справедливость равенства

(А и В) х С = (А х С) и (В х Q для множеств А = {3,5,7},В= {7,9},С= {0, 1}.

Выполняется ли для них равенство (А\В)хС = = (АхС)\(Вх С)?

7. Сколько букв в слове «барабан»? Сколько различных букв в этом слове?

Сформулируйте эту задачу, используя понятия множества и кортежа.

8. Чем отличается множество цифр в записи числа 56576 от кортежа цифр в его записи?

9. Изобразите на координатной плоскости точки: (-1, 0), (-1, 4), (3, 0), (3, 4) и последовательно их соедините. Какая фигура получилась?

10. Какую фигуру образуют точки, если их абсциссы при­надлежат множеству [-2, 2], а ординаты - множеству [-3, 3]?

11. Изобразите в прямоугольной системе координат мно­жество Ах В, если:

а) А = [-2, 2], В = {2, 3, 4};

Т

б) А - [-2, 2], В = (2, 4);

35

5. Докажите, что отношение Р, граф которого изображен на рисунке 104, не обладает ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности, ни свойством транзитивности.

6. 

   Какими свойствами обладает отношение, граф которого изображен на рисунке 105? Является ли оно рефлексивным? Транзитивным? он

Рис. 104 Рис. 105

5. Какие из следующих утверждений истинны:

а) Отношение «х больше у на 3» антисимметрично на мно­жестве N, так как из того, что л: больше у на 3, не следует, что у больше х на 3.

б) Отношение «х больше у на 3» антисимметрично, так как из того, что х больше у на 3, следует, что у не больше х на 3.

в) Отношение «л; больше у на 3» антисимметрично, так как из того, что х больше у на 3, следует, что у меньше х на 3.

5. На множестве отрезков задано отношение «короче». Верно ли, что оно антисимметрично и транзитивно? Рефлек­сивно ли оно?

6. Какими свойствами обладают следующие отношения, заданные на множестве натуральных чисел:

а) «меньше»; б) «меньше на 2»; в) «меньше в 2 раза»?

5. На множестве X = {а, Ь, с} задано отношение R = {(a, b), (а, а), (b, b), (с, с), (b, a), (b, с), (с, 6)}. Какими свойствами оно обладает?

6. На множестве X = {2, 4, 6, 8, 12} заданы отношения «больше» и «кратно». В чем их сходство и различные?

7. Установите, какое отношение рассматривается в зада­че; какие приемы анализа задачи можно использовать:

а) Школьники сделали к карнавалу 15 шапочек для маль^ чиков, а для девочек в 2 раза больше. Сколько всего карна­вальных шапочек они сделали?

б) Второклассники вырезали для елки 26 звездочек, это в 2 раза меньше, чем снежинок. Сколько всего звездочек и снежи­нок вырезали второклассники?