7. Вычитание множеств. Дополнение множества

Если заданы два множества, то можно не только найти их пересечение и объединение, но и вычесть из одного множества другое. Результат вычитания называют разностью и опреде­ляют следующим образом.

I Определение. Разностью множеств АиВ называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству Айне принадлежат множеству В.

Разность множеств А и В обозначают А \ В. Тогда, по оп­ределению, имеем:А\В~ {х\хе А и хе В}.

В школьном курсе математики чаще всего приходится вы­полнять вычитание множеств в случае, когда одно из них яв­ляется подмножеством другого, при этом разность множеств А\В называют дополнением множества В до множества А, и обозначают символом В'_А, а наглядно изображают так, как представлено на рисунке 11.

Определение. Пусть В с. А. Дополнением множества В до множества А называется множество_f содержащее те и только те элементы множества А, которые не принад­лежат множеству В.

Как уже было сказано, в случае когда ВаА,А\В = В'_Л.

Из определения следует, что В'_А = {х | х е А и jc g В).

Выясним, как находить дополнение подмножества на кон­кретных примерах.

Если элементы множеств А и В перечислены и В с А, то, чтобы найти дополнение множества В до множества А, доста­точно перечислить элементы, принадлежащие множеству А и не принадлежащие множеству В. Так, если А = {1, 2, 3, 4, 5}, а В= {2,4}, то В_А = {1,3,5}.

В том случае, когда указаны характеристические свойства элементов множеств А и В и известно, что В с А, то множест­во В_А задают также с помощью характеристического свойст­ва, общий вид которого «х е А и х & В». Так, если А - множе­ство четных чисел, а В - множество чисел, кратных 4, то В_А - это множество, содержащее такие четные числа, которые не делятся на 4. Например, 22 е В_А, т.к. 22 е А (т.е. оно четное) и 22 £ В (т.е. оно не кратно 4).

Если представить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то разность А\В изобразится заштрихованной обла­стью (рис. 10).

Рис.10 Рис.11

Вычитание - это третья операция над множествами, с ко­торыми мы уже познакомились. Нам известно, что пересече­ние множеств более сильная операция, чем объединение. А как быть с вычитанием? Например, каков порядок выпол­нения действий в выражении А\В п С? Условились считать,

что пересечение - более «сильная» операция, чем вычитание. Поэтому порядок выполнения действий в выражении А\ВглС такой: сначала находят пересечение множеств В и С, а затем полученное множество вычитают из множества А.

Что касается объединения и вычитания множеств, то их считают равноправными. Например, в выражении А\ В и С надо сначала выполнить вычитание (из А вычесть В), а затем полученное множество объединить с множеством С.

Вычитание множеств обладает рядом свойств. В частности, можно доказать, что для любых множеств А, В и С справед­ливы следующие равенства:

1. (A\B)\C = (A\Q\B;

2. (A u В) \ С = (А \ Q u (В\ Q;

3. (А\В) п С = (А пС)\(Вп Q;

4. A\(BuQ = (A\B)n(A\Q;

5. A\(BnQ = (A\B)u(A\Q.

Упражнения

Сформулируйте условия, при которых истинны следую­щие высказывания:

а) 5 еА\В\ б)7е А\В.

V 2. Известно, что хе А\В. Следует ли из этого, что:

а)хе А; 6)х е В1

у 3. Найдите разность множеств А к В, если

а) А = Ц, 2,3,4, 5,6}, В = {2,4,6, 8, 10};

6М = {1, 2, 3,4, 5, 6}, 5 = 0;

в)^ = {1,2,3,4,5,6},5={1,3,5};

г) А = {1_Д Т, 3,4; 5,'6}, В = {6,2, 3,4,5,1}.

^v 4. В каких случаях, выполняя упражнение 3, вы находили дополнение множества В до множества А? v 5. Даны множества: А - натуральных чисел, кратных 3, В - натуральных чисел, кратных 9.

а) Сформулируйте характеристическое свойство эле­ментов множества В'_А.

б) Верно ли, что 123 е В'_А, а 333 g В'_А1

6. Найдите дополнение множества Y до множества X, если:

а) Х- множество точек прямой АВ, Y- множество точек отрезка А В;

б) Х- множество точек квадрата, У- множество то­чек круга, вписанногр в этот квадрат;

в) Х- множество прямоугольников, Y- множество квадратов.

7. Из каких чисел состоит дополнение:

а) множества натуральных чисел до множества целых;

б) множества целых чисел до множества рациональных;

в) множества рациональных чисел до множества дейст­вительных.

S. Постройте три круга, изображающие три попарно пере­секающихся множества А, В и С, и выделите каким-либо об­разом области, представляющие множества:

а)Л'иВ\С; ъ)А\СиВ\С; д)Л\(ЯиС);

б )А\ВпС; г) А \ В и С ; е)(А\В)пС.

Для каждого случая выполните отдельный рисунок.

9. Проиллюстрируйте при помощи кругов Эйлера, что для любых множеств А, В и С верны равенства:

а)A\(BvC) = (A\B)n(A\C);

б) А \ (Вп Q = (А\В) u (А \ Q;

в) (А и В) \ С = (А \ Q и (В \ С);

г) (А \В) п С = (А п Q\(Bп С).

li. А - множество натуральных чисел, кратных 7, В - мно­жество натуральных чисел, кратных 3, С - множеств^ четных натуральных чисел. Из каких чисел состоят множества:

а)(АпВ)\С; в )АпС\В;

б) (А и В) \ С; г)СиВ\А?

11. О какой операции и над какими множествами идет речь в следующих задачах:

а) У Коли 10 книг, 2 книги он подарил товарищу. Сколько книг осталось у Коли?

б) В зале было 100 стульев. После того как вынесли не­сколько стульев, в зале осталось 86 стульев. Сколько стульев вынесли из зала?