4. Пересечение множеств

Из элементов двух и более множеств можно образовывать новые множества. Пусть даны два множества: А = {2, 4, 6, 8} и В = {5, 6, 7, 8, 9}. Образуем множество С, в которое включим общие элементы множеств А и В, т.е. С = {6, 8}. Так получен­ное множество С называют пересечением множеств А и В.

[Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, кото­рые принадлежат множеству А и множеству В.

Пересечение множеств А и В обо­значают А п В. Таким образом, по оп­ределению, А<лВ = {х\хе Анхе В).

Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то пере­сечением данных множеств является заштрихованная область (рис. 7).

В том случае, когда множества А и В не имеют общих эле­ментов, говорят, что их пересечение пусто и пишут: Аг\В = 0.

Выясним, как находить пересечение множеств в конкрет­ных случаях.

Если элементы множеств А и В перечислены, то, чтобы- найти А п В, достаточно перечислить элементы, которые од­новременно принадлежат множеству А и множеству В, т.е. их общие элементы.

А как быть, если множества заданы характеристическими свойствами своих элементов?

Из определения пересечения следует, что характеристиче­ское свойство множества А п В составляется из характеристи­ческих свойств пересекаемых множеств с помощью союза «и».

Найдем, например, пересечение множества А - четных натуральных чисел и множества В - двузначных чисел. Ха­рактеристическое свойство элементов множества А - «быть четным натуральным числом», а характеристическое свой- / ство элементов множества В - «быть двузначным числом». Тогда, согласно определению, элементы пересечения данных множеств должны обладать свойством «быть четными нату­ральными и двузначными числами». Таким образом, множе­ство А п В состоит из четных двузначных чисел (союз «и» в данном случае можно опустить). Полученное множество не пусто. Например, 24 е А п В, поскольку число 24 четное и двузначное.

Рассмотрим теперь случай, когда находят пересечение множества А и его подмножества В. Легко видеть, что тогда А пВ = В и, следовательно, характеристическое свойство элементов множества А п В будет таким_? как и свойство эле­ментов множества В.

Упражнения

1. Сформулируйте условия, при которых истинны следую­щие утверждения: а) 5 е А п В; б) 7 £ А п В.

2. Известно, что х е А. Следует ли из этого, что хе А пВ?

3. Известно, что хе А п В. Следует ли из этого, что х € А?

4. Найдите пересечение множеств А иВ, если:

а)A = {a,b,c,d,e,J},B={b,eJ,k} , ,

б) А = {26, 39, 5, 58,17, 81}, В = {17, 26,58}. , [

в) А = {26, 39, 5, 58,17, 81}, В = {17, 26, 58, 5, 39,81), < j

5. Из каких элементов состоит пересечение множества букв в слове «математика» и множества букв в слове «геометрия»?

6. М- множество однозначных чисел, Р- множество не­четных натуральных чисел. Из каких чисел состоит пересече­ние данных множеств? Содержатся ли в нем числа -7 и 9?

7. А - множество точек окружности, В - множество точек прямой /. Из скольких элементов может состоять пересечение данных множеств? Может ли оно быть пустым?

8. Начертите два треугольника так, чтобы их пересечени­ем: а) был треугольник; б) был отрезок; в) была точка.

9. Используя координатную прямую, найдите пересечение множеств решений неравенств, в которых х - действительное число: . , . . ■

а)х> -2 и л; > 0; b)jc>5 и х<-7,5;

б) х > -3,7 и х < 4; г) -2 < л; < 4 и х> -Г,

д) -7 < л; < 5 и -6 < л; < 2.

10. Начертите две фигуры, принадлежащие пересечению множеств С и £>, если:

а) С-множество ромбов,

D - множество прямоугольников,

б) С - множество равнобедренных треугольников, D - множество прямоугольных треугольников,