3. Отношения между множествами

В математике изучают не только те или иные множества, но и отношения, взаимосвязи между ними. Например, нам известно, что все натуральные числа являются целыми. Поня­тие множества позволяет обобщить конкретные случаи взаи­мосвязи между различными совокупностями, позволяет по­смотреть на них с единой точки зрения.

Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элемен­ты, принадлежащие одновременно А и В, то говорят, что эти множества пересекаются.

Например, если А = {а, Ь, с, d, е), В = {b, d, к, т}, С = {х, у, z), то можно утверждать, что множества А и В пересекаются, так как имеют общие элементы Ъ и d, а множества А и С, В и С не пересекаются, поскольку не имеют общих элементов.

Рассмотрим теперь множества А = {а, Ь, с, d, е}иВ= {с, d_f е}. Они пересекаются, и, кроме того, каждый элемент множества В является элементом множества А. В этом случае говорят, что множество В включается в множество А или что множество В является подмножеством множества А и пишут В с А.

, Определение. Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В явля­ется также элементом множества А. Пустое множест­во считают подмножеством любого множества. Любое

¹ множество является подмножеством самого себя.

Из определения следует, что если В с: А, то множество В мо­жет быть пустым, и тогда 0 с: А, и, кроме того, множество В может совпадать с А, и тогда А а А. Поэтому среди всех под­множеств заданного множества А должно быть обязательно пустое множество и само множество А.

Образуем, например, все подмножества множества А = {2, 3, 4}. Среди них будут одноэлементные подмножества: {2}, {3}, {4}, двухэлементные: {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, а также само множество А и пустое множество 0. Таким образом, данное трехэлементное множество А имеет 8 подмножеств.

Доказано, что если множество А содержит п элементов, то у него 2^я различных подмножеств.

Рассмотрим теперь множества А = {а, Ь, с, d, е} и В = {с, а, d, b, е). Они пересекаются, и каждый элемент множества А является элементом множества В, т.е. А аВ, и наоборот, каж­дый элемент множества В является элементом множества А, т.е. В с А. В этом случае говорят, что множества Am В равны и пишут А = В.

(Определение. Множества А и В называются равными, ес­ли А сВ и В с. А.

Из определения следует, что равные множества состоят из одних и тех же элементов и что порядок записи элементов множества не существен.

Отношения между множествами наглядно представляют при помощи особых чертежей, называемых кругами Эйлера^I.

Рис. 4

Для этого множества представляют в виде кругов, овалов или любых других геометрических фигур. В том случае, если мно­жества А и В имеют общие элементы, но ни одно из них не является подмножеством другого, их изображают так, как

показано на рис. 4а. Если множество В является подмножест­вом А, то круг, изображающий множество В, целиком находит­ся в круге, изображающем множество А (рис. 46). Если А с В, то множества А и В изображают так, как на рисунке 4в. Рав­ные множества представляют в виде одного круга (рис. 4г).

Если множества А и В не пере­секаются, то их изображают в виде двух фигур, не имеющих общих точек (рис. 5).

Понятие подмножества *цшяет- ся обобщением понятия части и целого, которые осваивают млад­шие школьники, выполняя разные задания. Например: «Назови среди данных чисел четные», «Среди данных четырехугольников найди прямоугольники».

Упражнения

1. Даны два множества: 1={2, 4, 6} и У = {0, 2, 4, 6, 8}. Верно ли что:

а) множества Хи Y пересекаются;

б) множество X является подмножеством множества Y;

в) множество Р = {4,0,6, 8, 2} равно множеству У?

2. Известно, что элемент а содержится в множестве А ив множестве В. Следует ли из этого, что:

а)АаВ\ б)ВсА; в )А=В7

3. Из множества К = {216, 546, 153, 171, 234} выпишите числа, которые:

а) делятся на 3; б) делятся на 9;

в) не делятся на 4; г) не делятся на 5.

Есть ли среди полученных подмножеств такое, которое равно множеству К1

4. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения меж­ду множествами С и Z), если:

а) С - множество двузначных чисел, д = {3,43,34, 56, 103};

б) С - множество двузначных чисел,

D- множество четных натуральных чисел;

в) С — множество двузначных чисел, D - множество трехзначных чисел;

г) С - множество двузначных чисел,

D - множество натуральных чисел, не меньших 10.

5. Отношения между множествами всех выпуклых четырехугольников, параллело­граммов, прямоугольников, ромбов и квадратов изображены на рисунке 6.

Покажите каждое из множеств.

6. Дано множество Р = {3, 5, 7, 9}. Об- р_ис.б разуйте всевозможные его подмножества.

Сколько их должно быть?

7. Какое из данных множеств является подмножеством другого:

а) А - множество натуральных чисел, кратных 2, В - множество натуральных чисел, кратных 6, С - множество натуральных чисел, кратных

б) А - множество треугольников,

В - множество прямоугольных треугольников, С - множество остроугольных треугольников.

8. О каких теоретико-множественных понятиях идет речь в следующих заданиях, выполняемых учащимися начальных классов:

а) Запиши по порядку числа от 10 до 19. Подчеркни и прочитай четные числа.

б) Из ряда чисел от 1 до 20 выпиши по порядку числа, которые делятся на 5.

в) Запиши три числа, которые при делении на 7 дают в остатке 4.