а) У продавца имеется три вида мороженого: клубничное, сливочное и ореховое. Наташа и Катя решили купить по од­ной порции. Сколько существует вариантов такой покупки?

б) В понедельник в первом классе должно быть три урока: математика, чтение и физкультура. Сколько различных вари­антов расписания можно составить на этот день?

в) Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?

12. Основные выводы § 1

Изучая материал данного параграфа, мы познакомились с понятиями:

множество; элемент множества;

характеристическое свойство элементов множества; подмножество; равные множества; пересечение множеств; объединение множеств; вычитание множеств; дополнение подмножества; декартово произведение множеств. Мы пополнили наш математический язык обозначениями: ае A, be А (для записи предложений «а принадлежит множеству А» и «Ь не принадлежит множе­ству Л»);

А = {1, 2, 3, 4} (для задания множества путем перечисле­ния всех его элементов); Л = {л:|л:еГ4их<4} (для задания множества путем ука­зания характеристического свойст­ва его элементов); А с В (для записи предложения «А - подмножество В»); А = В (для записи предложения «Множества^ и 2?равны»); АпВ={х\хеА и хе В} (для записи определения пере­сечения множеств А и В); AuB={xlxeA или хе В} (для записи определения объ­единения множеств А и В); А\В={х\хеАихе В} (для записи определения раз­ности множеств АиВ)\

В а = {х | jc е А и х g В) (для записи определения дополнения множества В до множества А);

Ах В = {(х, у) | х е А их е В} (для записи определения де­картова произведения мно­жеств А и В).

Мы познакомились с операциями над множествами: объе­динением, пересечением, вычитанием, декартовым умножени­ем и свойствами этих операций:

коммутативностью пересечения и объединения (А пВ = = В пА, А и В = В и А для любых множеств А и В);

ассоциативностью пересечения и объединения ((АпВ)пС = = Ап(ВпС), (АиВ)иС = А и (В и С) для любых множеств А, В и С);

дистрибутивностью пересечения относительно объедине­ния ((А и В) п С = (А п С) и (В п С) для любых множеств А, В и С);

дистрибутивностью объединения относительно пересече­ния {{А п В) и С = (А и С) п (В и С) для любых множеств А, В и С);

дистрибутивностью декартова умножения относительно объ­единения и вычитания множеств ((А и В) х С = (^4 х С) и (В х Q и (Л \ Я) х С = (Л х С) \ (2? х С) для любых множеств А, В и Q.

Мы познакомились с правилами:

разбиения множества на классы;

нахождения числа элементов в объединении и декартовом произведении конечных множеств:

п(А и В) = п(А) + п(В) - п(А п В); п(А иВ) = п(А) + п(В), если АпВ = 0; п(АхВ) = п(А)п(В).

§2. Математические понятия

Понятия, которые изучаются в начальном курсе математи­ки, обычно представляют в виде четырех групп. В первую включаются понятия, связанные с числами и операциями над ними: число, сложение, слагаемое, больше и др. Во вторую входят алгебраические понятия: выражение, равенство, урав­нение и др. Третью составляют геометрические понятия: пря­мая, отрезок, треугольник и т.д. Четвертую группу образуют понятия, связанные с в^йчдашми-^шхл^^ f

КаОЮггоучйТГтакое обилие самых разных понятий?

Прежде всего, надо иметь представление о понятии как ло­гической категории и особенностях математических понятий.

В логике понятия рассматривают как форму мысли, отра­жающую объекты (предметы или явления) в их существенных и общих свойствах. Языковой формой понятия является слово или группа слов.

Составить понятие об объекте - это значит уметь отли­чить его от других сходных с ним объектов. Математические понятия обладают рядом особенностей. Главная заключает­ся в том, что математические объекты, о которых необходи­мо составить понятие, в реальности не существуют. Матема- тдческие объекты созданы умом человека. Это идеальные объекты, отражающие реальные предметы или явления. На­пример, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие их свойства: цвет, массу, твердость и т.д. От всего этого отвлекаются, абстрагируют­ся. Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят «геометрическая фигура».

JPe^jbTaTOM абстрагирования являются и такие математи­ческие понятия, как «число» и «величина». г^^Ткюбще математические объекты существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые обра- зуют^41емаж^к»№*зык. _ _

^ 1С сказанном^ можно добавить, что, изучая пространст­венные формы и количественные отношения материального мира, математика не только пользуется различными прие­мами абстрагирования, но и само абстрагирование выступа­ет как многоступенчатый процесс. В математике рассматри­вают не только понятия, появившиеся при изучении реаль­ных предметов, но и понятия, возникшие на основе первых. Например, общее понятие функции как соответствия являет­ся обобщением понятий конкретных функций, т.е. абстрак­цией от абстракций.

Чтобы овладеть общими подходами к изучению понятий в начальном курсе математики, учителю необходимы знания об объеме и содержании понятия, об отношениях между поня­тиями и о видах определений понятий.