Ответы:
1.
4,5. 2.
9. 3.
[8,5; 13) c (13; +∞).
4.
5.
6.
7.
8.
а) f(x) = x2
– 5x + 6;
б)
f(x) = x2
– 14;
в)
f(x) = x2
– 2, x ≠ 0;
г)
f(x) = 12 – x2;
д)
е)
10.
0,8. 11.
2. 12.
f(x) = 2.
13.
133. 14.
Существует (и единственная!)
15.
20012.
Указание.
Достаточно доказать, что функция f(x)
удовлетворяет функциональному уравнению
f(x + a) = f(x – a) + 4ax при любом натуральном
a. Это можно сделать, например, с помощью
метода математической индукции. Тогда,
положив x = a, из уравнения f(2a) = f(0) + 4a2
можно вычислить f(2000): f(2000) = = 20002. Тогда
получим f(2000 + 1) = f(2000) + + 2∙2000 + 1, или
f(2001) = 20012. Замечание.
Можно также доказать, что общее решение
исходного функционального уравнения
имеет вид f(x) = x2
+ g(x), где g(x) — произвольная периодическая
функция с периодом T = 1, определенная на
всей числовой прямой.
16.
Указание.
Установите вначале, что f(0) = 1. Затем,
показав, что f(x) ≠ 0, докажите равенство
Выведите для всех натуральных n
соотношение f(nx) = nn(x).
Поскольку f(4) = f(8∙0,5) или 16 = f8(0,5),
то
(Подумайте,
почему f(x) > 0.) Тогда f(1,5) = f(3∙0,5). Замечание.
Можно также доказать, что f(x) = 2x
для рациональных x.
17.
В.
Бардушин ;
А.
Белов ;
А.
Прокофьев ;
Т.
Фадеичева