2. Теория лабораторной работы Теоретические сведения

Пусть к одному концу проволоки или стержня, закрепленного с другого конца, приложена пара сил ff с моментом M (рис. 6). Под действием этой пары сил проволока будет закручиваться. Отдельные поперечные сечения проволоки, перпендикулярные ее оси, будут поворачиваться относительно соседних сечений на некоторые углы. Нижнее сечение повернется относительно верхнего на угол , который называется углом кручения.

Тогда по закону Гука, справедливому для малых деформаций, момент пары сил M будет прямо пропорционален углу кручения:

М = G_кр ,

где G_кр – модуль кручения.

Между модулем кручения G_кр и модулем сдвига материала проволоки G имеется простое соотношение:

где L – длина проволоки; R – радиус проволоки; G – модуль сдвига материала проволоки.

Если твердое тело, подвешенное на проволоке, закрутить на малый угол  и предоставить самому себе, то оно будет вращаться вокруг оси, совпадающей с осью проволоки. При вращении твердое тело будет совершать колебания вокруг первоначального положения равновесия. Такие колебания вращающегося тела являются крутильными колебаниями, а твердое тело – крутильным маятником.

Второй закон Ньютона для вращательного движения в случае крутильного маятника запишется в виде: M = – I.

Здесь M – вращающий момент относительно оси проволоки; I – момент инерции тела относительно той же оси; – угловое ускорение.

Знак «минус» возник вследствие того, что направление вращающего момента M противоположно направлению углового ускорения .

Таким образом, .

При кручении M = G_кр, поэтому .

Отсюда для крутильного маятника угловое ускорение:

т.е. оно прямо пропорционально угловому смещению  и направлено противоположно ему.

Если ускорение тела прямо пропорционально смещению (линейному или угловому) и направлено противоположно ему, то колебания тела являются гармоническими. Коэффициент пропорциональности между ускорением и смещением есть квадрат круговой частоты колебаний. Таким образом, при малых углах кручения крутильный маятник совершает гармоническое колебательное движение.

Угловая частота этих колебаний определяется из уравнения

а период полного колебания крутильного маятника определяется выражением

Для периода простого колебания имеем:

. (3)

Описание установки

Прибор для определения модуля сдвига состоит из кронштейна, укрепленного на стене, в котором зажата проволока ОО^/ из испытуемого материала. К нижнему концу проволоки прикреплен горизонтальный стержень рр^/ с резьбой (рис. 7), на который навинчиваются грузы (цилиндры) массами m и m₁. Эти грузы навинчиваются в двух положениях: aa₁ и bb₁. Массы грузов одинаковы: m = m₁. Если такую систему закрутить на малый угол и предоставить самой себе, то ее можно рассматривать как крутильный маятник, период простого колебания которого определяется выражением (3).

В данной работе определяются два периода колебаний маятника, соответствующие двум положениям грузов на стержне (рис. 7).

Пусть I₁ – момент инерции системы, когда грузы находились в положении aa₁, I₂ – момент инерции системы, когда грузы находились в положении bb₁, I₀ – момент инерции стержня относительно оси ОО^/.

Тогда: , . (4)