Гармонические колебания

Гармонические колебания – колебания, при которых физическая величина, характеризующая эти колебания, изменяется во времени по синусоидальному закону

x = A sin (ωt + φ₀).

Графиком гармонических колебаний является синусоида (рис. 3):

Рис. 3.

Выбор начальной фазы позволяет при описании гармонических колебаний перейти от функции синуса к функции косинуса:

.x = A cos (ωt + φ₀ –/2).

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде:

,

или

Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению:

F = ma = –mω² x,

где m – масса колеблющегося тела.

Физическую систему, в которой могут существовать гармонические колебания, называют гармоническим осциллятором, а уравнение гармонических колебаний – уравнением гармонического осциллятора.

Физический маятник

Маятник – твёрдое тело, совершающее под действием приложенных сил колебания около неподвижной точки или оси.

Физическим маятником называется любое твердое тело, имеющее неподвижную горизонтальную ось и способность совершать под действием силы тяжести колебания около этой оси. Такие колебания могут происходить, если ось вращения т. О тела не проходит через центр тяжести т. С (рис.4).

Рис. 4.

Если маятник отклонен от положения равновесия на некоторый малый угол α, то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела момент М возвращающей силы F можно записать в виде:

^{, (1)}

 где I - момент инерции² маятника относительно оси, проходящей через точку О; l – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника; F_τ – возвращающая сила (знак минус обусловлен тем, что направление F_τ и α всегда противоположны); sinα ≈ α  соответствует малым колебаниям маятника, т.е. малым отклонениям маятника из положения равновесия.

 Уравнение (1) можно записать в виде:

 

или

Принимая

(2)

получим уравнение

,

решение которого имеет вид:

⁽³⁾

 Из выражения (6) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой ω_о и периодом:

(4)

Т.о., период колебания физического маятника выражается формулой:

где: I – момент инерции маятника относительно оси вращения; m – его масса; l – расстояние от оси вращения до центра тяжести маятника; g – ускорение свободного падения.

Эта формула даёт результаты приемлемой точности (ошибка менее 1 %) при углах, не превышающих 4°.

Эта зависимость периода колебания маятника от ускорения силы тяжести и используется для его определения.

2. Теория лабораторной работы

В данной работе применяется маятник, состоящий из металлического стержня, на котором укреплены опорные призмы O₁ и О₂, служащие для подвешивания маятника, и двух массивных грузов Р₁ и Р₂, которые можно передвигать вдоль стержня (рис. 5).

Д ля наблюдения за колебаниями маятника его подвешивают на металлической подставке, укрепленной на кронштейне так, чтобы его ось опоры совпадала с ребром одной из призм (допустим, с ребром O₁). Определяют период колебаний маятника относительно этой оси.

Согласно формуле:

,

где I₁ – момент инерции маятника относительно оси, совпадающей с ребром призмы O₁; a₁ – расстояние от оси вращения до центра тяжести с маятника.

Затем маятник подвешивают за призму O₂ и определяют период колебаний относительно оси, совпадающей с ребром призмы O₂:

.

Т.к. оси колебаний маятника (тт. О₁ и О₂) не совпадают с центром его инерции т. С, то момент инерции маятника относительно этих осей определяем по теореме Штейнера⁵: I₁  I₀  m , I₂  I₀  m ,

где I₀ – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через его центр тяжести т. С.

Поэтому T₁ и Т₂ соответственно равны:

; (5)

; (6)

Возводя оба полученных уравнения в квадрат и вычитая квадрат выражения (6) из квадрата выражения (5), исключив из уравнений значение I_o, после преобразований получим:

, (7)

где l = a₁ + a₂ – расстояние между ребрами призм O₁ и O₂.