2.4. Задания на моделирование процессов из различных предметных областей в среде mvs.

Задание.

1. Выберите определенную предметную область и модель, относящуюся к этой области.

2. Опишите имеющуюся задачу, опираясь на образец, рассмотренный в предыдущем параграфе.

3. Сформулируйте цели моделирования, реализация которых позволит провести количественный и качественный анализ влияния параметров, входящих в модель на ее поведение.

4. Изучите представленную математическую модель, и на её основе постройте компьютерную модель в среде MVS:

1. создайте проект;

2. введите и опишите все необходимые параметры, переменные, константы, функции или др. объекты;

3. введите уравнение или систему дифференциальных уравнений;

4. сохраните и прокомпилируйте модель;

5. постройте временную диаграмму;

6. постройте фазовую диаграмму, если это целесообразно;

5. Составьте план возможных экспериментов.

6. Проведите эксперименты, воспользовавшись возможностями 2D-анимации (ползунок, линейный индикатор сплошной и др.).

7. Создайте 3D-анимацию, если изучаемая система подразумевает построение наглядного трехмерного изображения, опираясь на «Руководство пользователя».

8. Создайте план прогона для данной компьютерной модели, опираясь на «Руководство пользователя», который будет отражать все проведенные эксперименты на временной или фазовой диаграммах.

9. Изучите особенности работы модели в течение модельного времени и работы согласно плану.

10. Создайте карту поведения, опираясь на «Руководство пользователя».

11. Проанализируйте полученные результаты.

Предметная область «Физика»

Модель «Движение пули» [16]

Математическая модель.

Пуля, двигаясь со скоростью , пробивает стену толщиной и вылетает из нее. Полагая силу сопротивления стены пропорциональной квадрату скорости движения пули, дифференциальное уравнение имеет вид

.

Знак минус взят в связи с тем, что сила сопротивления стены направлена в сторону, противоположную направлению скорости.

Модель «Радиоактивный распад» [25]

Математическая модель.

Радиоактивным распадом называются самопроизвольные превращения ядер атомов некоторых элементов в ядра других элементов, сопровождающимися альфа-, бета- и гамма-излучением. Радиоактивный распад носит статистический характер: ядра атомов распадаются не одновременно все сразу, а в течение всего времени существования данного изотопа. При этом установлено, что количество атомов распадающихся в единицу времени, составляет определенную, постоянную для каждого изотопа часть его нераспавшихся атомов. Эта часть называется постоянной распада и обозначается буквой .

Таким образом, число атомов , распавшихся за время , равно , где – число нераспавшихся атомов в момент времени , и мы емеем дифференциальное уравнение

.

Знак минус показывает, что число нераспавшихся атомов с течением времени уменьшается.

Модель «Охлаждение тела» [15, 16]

Математическая модель.

Природа переноса тепла от чая к окружающему пространству сложна и в общем включает в себя механизмы конвекции, излучения, испарения и теплопроводности. В том случае, когда разность температур между объектом и окружающей средой не очень велика, скорость изменения температуры объекта можно считать пропорциональной этой разности температур. Это утверждение более строго можно сформулировать на языке дифференциального уравнения:

,

где – температура тела, – температура окружающей среды, – коэффициент остывания.

Модель «Поглощение света при прохождении через воду» [16]

Математическая модель.

Поглощение светового потока тонким слоем воды пропорционально толщине слоя и потоку, падающему на его поверхность. Обозначим через световой поток, падающий на поверхность на глубине . При прохождении через слой воды толщиной поглощенный световой поток равен

,

где – коэффициент пропорциональности ( ).

Модель «Ионизация газа» [16]

Математическая модель.

Под действием постоянного излучения в газовой среде происходит процесс ионизации, при котором за одну секунду образуется положительных и столько же отрицательных ионов в данном объеме газа. Вследствие того, что положительные и отрицательные ионы снова соединяются между собой, количество их убывает. Принимая, что из общего количества положительных ионов в каждую секунду соединяется часть, пропорциональная квадрату их количества (коэффициент пропорциональности зависит от природы и состояния газа), установим зависимость количества ионов от времени . Дифференциальное уравнение процесса ионизации

.

Модель «Траектория всплытия подводной лодки» [32]

Математическая модель.

Пусть подводная лодка, находящаяся в момент времени на глубине от поверхности моря и движущаяся с постоянной горизонтальной скоростью , получает приказ подняться на поверхность. Если промежуток времени, за который цистерны подлодки освобождаются от воды и заполняются воздухом, с тем чтобы ее средняя плотность стала меньше плотности воды , невелик, то можно считать, что в момент на подлодку начинает действовать выталкивающая сила, большая, чем вес лодки. По закону Архимеда выталкивающая сила равна , где – ускорение свободного падения, – объем подлодки. Суммарная сила, действующая на подлодку в вертикальном направлении, - разность между и весом тела , а сообщаемое ею ускорение по второму закону Ньютона равно

.

Координата , характеризующая горизонтальное положение подлодки, изменяется по закону движения тела с постоянной скоростью:

.

Модель «Свободное падение тела с учетом сопротивления среды» [24]

Математическая модель.

Скорость падения тела обозначим . При увеличении скорости падения с течением времени, сопротивление среды также возрастает. При малых скоростях сила сопротивления среды равна , где , – динамическая вязкость среды, – радиус шарика. , – коэффициент лобового сопротивления, – площадь поперечного сечения, – плотность среды.

Сила тяжести тела равна . Через некоторое время после начала падения движение станет равномерным, поэтому сила тяжести сравняется с силой сопротивления, т. е. .

Таким образом, математическая модель движения тел с учетом сопротивления среды следующая: . Проецируя это уравнение на ось, направленную вертикально вниз получим:

.

Изучите модель, учитывая, что падающие тело – это деревянный шар, а среда - воздух. Замечание: , кг/м³, м/с², , , HC/м², кг/м³.

Предметные области «Биология» и «Экология»

Модель «Динамика популяции» [16]

Математическая модель.

Пусть в момент биомасса некоторой популяции равна . Скорость увеличения биомассы пропорциональна самой биомассе. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом размножения. Однако с ростом биомассы условия существования организмов ухудшаются пропорционально квадрату биомассы. Это явление называется самоотравлением, а соответствующий коэффициент пропорциональности – коэффициентом самоотравления. Изменение биомассы определяется формулой: или .

Модель «Внутривидовая конкуренция» [24]

Математическая модель.

Обозначим за N численность популяции. Скорость роста можно обозначить как, тогда средняя скорость увеличения численности в расчёте на одну особь определяется величиной .

Без учёта внутривидовой конкуренции получаем или , где – мгновенная удельная скорость роста численности, то есть приращение численности за единицу времени в пересчёте на одну особь.

Теперь попробуем учесть внутривидовую конкуренцию. Когда численность популяции близка к нулю, скорость роста определяется , так как конкуренция ещё не оказывает влияния на прирост популяции. Когда же при возрастании достигается значение (предельная численность популяции), скорость роста популяции снижается до нуля. Учитывая всё это, получаем

Это уравнение известно под названием «логистического», где – скорость роста популяции, – приращение численности за единицу времени в пересчете на одну особь, – предельная плотность насыщения, – начальная численность популяции.

Модель «Хищник-жертва» с логистической поправкой [24]

Математическая модель.

Модель конкурирующих видов – это модель Холлинга-Тэннера. Скорость роста популяции жертв в этой модели равна сумме трех величин: скорости размножения в отсутствие хищников ; влиянию межвидовой конкуренции за пищу при ограниченных ресурсах (для случая конкурирующих производителей – это влияние ограниченных сырьевых ресурсов) ; влиянию хищников, в предположении, что хищник перестает убивать, когда насыщается .

Скорость роста популяции хищников строится так же, как в модели Вольтера-Лотка, в предположении, что жертвы встречаются редко. Если для поддержания жизни одного хищника нужно жертв, то популяция из жертв сможет обеспечить пищей хищников. Модель роста популяции хищников, в которой их число не может превысить эту критическую величину, имеет вид . Таким образом, имеем модель Холлинга-Тэннера:

где .

Модель «Размножение бактерий» [16]

Математическая модель.

Пусть – количество всех бактерий в момент времени , тогда – скорость их размножения.

Дифференциальное уравнение, описывающее закон размножения бактерий имеет следующий вид: , где – заданная постоянная, зависящая от вида бактерий и внешних условий.

Модель «Клеточная популяция» [16]

Математическая модель

Популяция разбита на две группы клеток: молодые и старые. Будем считать, что клетки первой группы интенсивно растут, но не достигли физиологической зрелости и неспособны делиться. Члены второй группы способны к делению. Требуется определить развитие численности старых и молодых клеток при изменении их числа особей, скорости протока.

Будем считать, что клетки первой группы интенсивно растут, но не достигли физиологической зрелости и неспособны делиться. Члены второй группы способны к делению. Процесс деления может быть задержан при помощи различных ингибиторов. Уравнения для численностей молодых ( ) и старых ( ) клеток имеют вид:

,

где – численность «молодых» клеток, – численность «старых» клеток, – среднее время созревания «молодой» клетки, – среднее время пребывания «старой» клетки в детородном периоде, – скорость протока через хемостат.

Модель «Загрязнение воды» [25]

Математическая модель.

Биохимическая потребность кислорода является мерой концентрации органических загрязнений воды и определяется количеством кислорода на единицу объема воды, необходимого для разложения загрязнений (мг/л воды). Обозначим её . Скорость разложения отходов, загрязняющих воду, определяется формулой:

, где – постоянная отбора кислорода.

При отсутствии отходов концентрация кислорода в воде равна равновесной концентрации, являющейся функцией температуры. При наличии отходов концентрация кислорода понижается на величину . Величина может увеличиваться вследствие окисления отходов и уменьшается благодаря поглощению кислорода поверхностью воды. Таким образом, учитывая оба эти процесса имеем:

Модель «Распространение эпидемий» [32]

Математическая модель.

Пусть заболевшие от общества не изолируются. В начальный момент времени в группу здоровых людей попадает один больной. Вводя – количество заболевших людей, получим .

Количество здоровых людей определяется формулой .

Введем – коэффициент заболеваемости. В него входят вероятность встречи с больным, вероятность заражения и вероятность заболеть. Тогда за время от до заболеют людей: , где - количество встреч больных со здоровыми.

Таким образом, .

Предметная область «Химия»

Модель «Химическая реакция» [16]

Математическая модель.

Если – количество вещества , в которое переходит каждое из двух веществ и , то при постоянстве температуры и соблюдении некоторых других условий полагают, что скорость реакции пропорциональна:

1) в случае перехода вещества в вещество – оставшемуся количества вещества , что проводит к дифференциальному уравнению

,

где – начальное количество вещества , а – коэффициент пропорциональности, ;

2) в случае перехода двух веществ и в вещество – произведению реагирующих масс, что приводит к дифференциальному уравнению

,

где и – начальные количества веществ и , а – коэффициент пропорциональности, .

Модель «Закон растворения» [16]

Математическая модель.

В основе теории растворения лежит гипотеза о том, что если температура насыщенного какой – либо солью растворителя получает приращение , то растворитель приобретает способность растворить еще некоторое количество соли , пропорциональное и тому количеству соли, которое может раствориться при температуре .

Дифференциальное уравнение, описывающее закон растворения имеет следующий вид:

,

где – первоначальная температура, – приращение температуры, – коэффициент пропорциональности, – первоначальное количество соли.

Модель «Очищение газа» [16]

Математическая модель.

Для очистки газа от некоторой газообразной примеси его пропускает через скруббер (сосуд, содержащий тот или иной поглотитель). Количество газообразной примеси, поглощаемое тонким слоем поглотителя при установившемся режиме аппарата, пропорционально концентрации примеси, а также толщине и площади поперечного сечения слоя. Скруббер имеет форму конуса с радиусом основания и высотой . Газ поступает через вершину конуса. Зависимость концентрации газообразной примеси в скруббере определяется как функция расстояния слоя от вершины конуса. Учитывается, что концентрация примеси в поступающем газе равна , а в выходящем .

Обозначим концентрацию примеси через , а расстояние слоя от вершины конуса через .

Таким образом,

,

где – радиус сечения тонкого слоя конуса, который связан с размерами конуса соотношением , так что

.

Предметная область «Экономика»

Модель «Изменение зарплаты и занятости» [1]

Математическая модель.

Рынок труда, на котором взаимодействуют работодатели и наемные рабочие, характеризуется зарплатой и числом занятых . Пусть на нем существует равновесие, т. е. ситуация, когда за плату согласны работать человек. Если по каким-то причинам это равновесие нарушается (например, по возрасту часть работников уходит на пенсию либо у предпринимателей возникают финансовые трудности), то функции и отклоняются от значений , .

Будем считать, что работодатели изменяют зарплату пропорционально отклонению численности занятых от равновесного значения. Тогда

.

Предположим, что число работников увеличивается или уменьшается также пропорционально росту или уменьшению зарплаты относительно значения , т. е.

.

Модель «Организация рекламной кампании» [32]

Математическая модель.

Фирма начинает рекламировать новый товар или услугу. Разумеется, что прибыль от будущих продаж должна с лихвой покрывать издержки на дорогостоящую кампанию. Ясно, что вначале расходы могут превышать прибыль, поскольку лишь малая часть потенциальных покупателей будет информирована о новинке. Затем, при увеличении числа продаж, уже возможно рассчитывать на заметную прибыль, и, наконец, наступит момент, когда рынок насытится, и рекламировать товар далее станет бессмысленно.

Модель рекламной кампании основывается на следующих основных предположениях. Считается, что величина - скорость изменения со временем числа потребителей, узнавших о товаре и готовых купить его ( – время, прошедшее с начала рекламной кампании, – число уже информированных клиентов), пропорциональна числу покупателей, еще не знающих о нем, т. е. величине , где – общее число потенциальных платежеспособных покупателей, характеризует интенсивность рекламной кампании (фактически определяемую затратами на рекламу в данный момент времени). Предполагается также, что узнавшие о товаре потребители тем или иным образом распространяют полученную информацию среди неосведомленных, выступая как бы дополнительными рекламными «агентами» фирмы. Их вклад равен величине и тем больше, чем больше число агентов. Величина характеризует степень общения покупателей между собой (она может быть установлена, например, с помощью опросов).

В итоге получаем уравнение

.

Модель «Обеспеченность новым товаром» [1]

Математическая модель.

Обеспеченность новым товаром описывается формулой

,

где – обеспеченность товаром, – насыщенность товаром (предельное значение обеспеченности товаром), – коэффициент пропорциональности, скорость увеличения спроса на товар, – необеспеченность товаром.

Модель «Выравнивание цен по уровню актива» []

Математическая модель.

Модель выравнивания цен по уровню актива имеет вид:

где , – уровень актива, – цена, – начальное значение предложения, – начальное значение спроса, – фиксированный уровень актива, – угловой коэффициент функции предложения,   – угловой коэффициент функции спроса, – коэффициент реакции цены на дисбаланс предложения и спроса,

– коэффициент.

Предметная область «Социология»

Модель «Гонка вооружений между двумя странами» [32]

Математическая модель.

Предполагается, что общее количество вооружений у каждой страны изменяется со временем в зависимости от трех факторов: количества оружия у противника, износа уже существующего вооружения и степени недоверия между противниками. Темпы прироста и уменьшения вооружений пропорциональны указанным факторам, т. е.

,

.

В уравнениях , – объемы вооружений, коэффициенты , , , характеризуют скорости наращивания и «старения» вооружений (аналог процесса амортизации производственных мощностей в моделях экономики), функции , описывают уровень взаимной настороженности (недоверия) конкурентов, который считается не зависящим от количества вооружений, а определяется другими причинами.

Модель не учитывает многие важные факторы, влияющие на динамику гонки вооружений, но, тем не менее, дает возможность проанализировать ряд существенных свойств этого процесса. Анализ наиболее прост в частном случае, когда функции , , не зависят от времени:

,

.

Модель «Боевые действия двух армий» [32]

Математическая модель.

В противоборстве могут принимать участие как регулярные армии, так и партизанские соединения. Главной характеристикой соперников в рассматриваемых моделях являются численности сторон и . Если в какой-то момент времени одна из численностей обращается в нуль, то данная сторона считается потерпевшей поражение (притом, что в этот момент численность другой стороны положительна).

В случае действий между регулярными частями динамика их численности определяется тремя факторами:

• скоростью уменьшения состава из-за причин, непосредственно не связанных с боевыми действиями (болезни, травмы, дезертирство);

• темпом потерь, обусловленных боевыми действиями противоборствующей стороны (которые в свою очередь определяются качеством ее стратегии и тактики, уровнем морального духа и профессионализмом бойцов, вооружениями и т. д.);

• скоростью поступления подкреплений, которая считается некоторой заданной функцией времени.

При этих предположениях для , получаем систему уравнений

,

,

из которой при заданных функциях , , и начальных значениях , однозначно определяется решение в любой момент времени . В уравнениях коэффициенты характеризуют скорости потерь в силу обычных (не боевых) причин, – темпы потерь из-за действий соперника, – скорости поступления подкреплений.

Модель «Война между регулярными и партизанскими частями» [32]

Математическая модель.

Война между регулярными и партизанскими частями описывается другой моделью в отличии от модели боевых действий двух армий. Главное отличие в том, что нерегулярные соединения в сравнении с армейскими менее уязвимы, так как действуют скрытно, зачастую оставаясь невидимыми для соперника, вынужденного действовать неизбирательно, по площадям, занимаемым партизанами. Поэтому считается, что темп потерь партизан, проводящих свои операции в разных местах на некоторой известной территории, пропорционален не только численности армейских соединений , но и численности самих партизан , т. е. определяется членом вида . В результате модель становится нелинейной:

,

,

В уравнениях коэффициенты характеризуют скорости потерь в силу обычных (не боевых) причин, – темпы потерь из-за действий соперника, – скорости поступления подкреплений.

Модель Саймона [1]

Математическая модель.

Модель Саймона является формализацией некоторых постулатов теории малых групп Д. Хоманса. Эти постулаты согласно Д. Хомансу таковы:

1. Если деятельность изменяется, то взаимодействие, вообще говоря, также изменяется, и обратно.

2. Лица, которые часто взаимодействуют друг с другом, стремятся любить друг друга.

3. Если взаимодействие между членами группы часто осуществляется во внешней системе, чувство любви между членами растет, и это чувство, в свою очередь, способствует проявлению взаимодействия во внешней системе.

4. Лица, которые имеют чувство любви друг к другу, будут выражать это чувство сверх деятельности внешней системы, и эта деятельность в дальнейшем будет усиливать чувство любви.

5. Чем больше люди взаимодействуют друг с другом, тем более в некотором отношении они становятся похожими как в своей деятельности, так и в чувствах.

Саймон осуществил «перевод» постулатов Хоманса в следующую математическую модель:

, (1)

, (2)

, (3)

где – интенсивность взаимодействия среди членов группы; – степень дружелюбия среди членов группы; – уровень деятельности, выполненной группой; – объем внешненавязанной деятельности («внешняя система»).

Уравнение (1) – алгебраическое (структурное). В этом уравнении выражается как функция и . Из этого уравнения вытекают постулаты Хоманса о взаимосвязи между степенью дружелюбия среди членов группы , уровнем деятельности, выполненной группой и интенсивностью взаимодействия среди членов группы . Для того чтобы получить постулаты Хоманса о связи этих факторов с объемом внешней деятельности , подставим уравнение (1) в (2). Получим систему двух дифференциальных уравнений (2) и (3). С четырьмя переменными и пятью свободными параметрами .