2. Предел и производная.

Раскрытие неопределенностей и вычисление пределов.

Начнем с определения Вейерштрасса предела функции в конечной точке и на бесконечности.

Определение 1. Число называется пределом функции в точке , если для любого найдется такое положительное число , что для любого , удовлетворяющего неравенству , справедлива оценка . В этом случае пишут .

Если соответствующее неравенство в определении предела выполнено только для всех или для всех , то говорят, что существует односторонний предел функции в точке ( или соответственно).

Определение 2. Число называется пределом функции при , если для любого найдется такое число , что при выполнено неравенство .

Если неравенство выполнено только для всех положительных или всех отрицательных значений аргумента , говорят об одностороннем пределе при или при .

Функция называется непрерывной в точке , если . Как правило, любая композиция элементарных функций (типа , , , , , ) является непрерывной в любой точке определения. Поэтому вычисление предела таких функций в произвольной точке сводится к вычислению значения функции в этой точке. Если, однако, функция не определена в точке предела, этот прием не сработает. В таком случае говорят о наличии неопределенности в точке . Есть несколько стандартных типов неопределенностей и приемов вычисления предела (раскрытия неопределенности) в этих случаях.

Пределы алгебраических функций на бесконечности.

Задача 2.1.а. Вычислить

Решение. Старшая степень в числителе и знаменателе данной дроби равна 1. Поделим числитель и знаменатель одновременно на . Результат деления зависит от знака . Если , то тогда получаем:

При получаем:

Здесь использовано очевидное соотношение при любом , и формула , справедливая при .

Пределы алгебраических функций в конечных точках.

Задача 2.1.б. Вычислить

Решение. Убедимся, что мы имеем дело с неопределенностью вида . Подставляя значение в качестве аргумента функции , получим:

.

Многочлен имеет корни и , и потому раскладывается на множители

.

Чтобы “разложить” на множители числитель дроби , умножим и поделим выражение на сопряженное к нему выражение .

Используя формулу , получаем

Сокращая числитель и знаменатель на , мы разрешаем особенность функции в предельной точке , и в результате, получаем

Первый замечательный предел.

Можно показать, что справедливо соотношение, называемое первым замечательным пределом:

.

Рассмотрим на примере, как можно использовать данную формулу для разрешения особенностей тригонометрических функций в конечных точках.

Задача 2.1.в. Вычислить

.

Решение. Убедимся, что мы имеем дело с неопределенностью вида . При получаем:

Прежде всего, сделаем замену переменной , так, чтобы новая переменная стремилась к 0, когда :

Используя формулу преобразования суммы синусов в произведение и формулу для косинуса двойного угла, получаем

.

Отсюда

.

Пусть сначала , тогда . Чтобы свести полученное выражение к формуле , поделим и умножим на , а на :

Заменяя пределы дробей и на 1, получаем

При имеем , и предел отличается только знаком:

.

Второй замечательный предел.

Справедлива формула

Задача 2.1.г. Вычислить .

Решение. Выделим в основании показательной функции выражение вида , где при . Для этого прибавим и вычтем 1 из :

Получаем:

Используя формулу второго замечательного предела, заменим выражение в пределе при на :

Осталось найти предел показателя степени:

Ответ:

Комбинация первого и второго замечательных пределов.

Задача 2.1.д. Вычислить .

Решение. Убедимся сначала, что мы имеем дело с неопределенностью вида . Предел основания степени равен . Предел показателя степени равен . Неопределенность вида указывает, что для ее раскрытия следует воспользоваться вторым замечательным пределом. Выделим структуру второго замечательного предела в нашей формуле:

Теперь остается найти предел показателя степени. Делая замену переменной , получаем

Ответ: .

Особенность вида .

Задача 2.1.е. Вычислить

Решение. Чтобы свести данный предел к формуле первого замечательного предела, проведем следующее преобразование:

.

Мы воспользовались формулой

.

Поскольку

,

получаем

.

Остается сделать замену , откуда , , .

В результате получаем

Ответ: .

Производные.

Производной функции в точке называется предел

.

Наряду с обозначением для производной используется еще обозначение .

Производные основных элементарных функций приведены в следующей таблице.

Имеется два основных приема дифференцирования функций

1) Формула дифференцирования произведения и частного двух функций

,

.

2) Формула дифференцирования композиции (или сложной функции)

.

В задачах 2.2.а2.2.з для функции требуется найти производную .

Задача 2.2.а .

.

Задача 2.2.б .

Задача 2.2.в .

Задача 2.2.г .

Задача 2.2.д .

Решение. При дифференцировании этой функции удобно воспользоваться приемом, который называется логарифмическим дифференцированием. Прежде чем вычислять производную, найдем логарифм функции :

Теперь продифференцируем правую и левую часть полученной формулы, а затем приравняем соответствующие производные. Имеем:

;

Отсюда,

Задача 2.2.е .

Решение. Здесь также удобно воспользоваться приемом логарифмического дифференцирования.

;

откуда следует, что

Задача 2.2.ж , .

Решение. Функция задана в параметрической форме, поэтому следует воспользоваться формулой для параметрической производной:

Получаем:

,

,

откуда

Задача 2.2.з .

Решение. Функция задана неявным уравнением. Чтобы найти производную , продифференцируем тождество . Получаем:

Перегруппируем слагаемые, выделяя члены, содержащие производную :

откуда следует, что

Непрерывность и типы разрыва функций.

Имеется три типа разрывов функций.

а) Устранимый разрыв, когда существует предел функции в точке , но он не равен значению функции в предельной точке

.

б) Разрыв первого рода, когда в точке существует предел слева и предел справа, однако они не равны между собой

.

в) Все остальные виды разрыва называются разрывами второго рода.

Задачи 2.3.а2.3.б. Найти точки разрыва функций

,

и определить тип разрыва. Сделать схематический чертеж.

Решение. Функция может иметь разрыв в точках , . В точке в пределе имеет место соотношение , то есть функция становится неограниченной в окрестности . Поскольку при , и при , то функция стремится к при , и к при .

В точке ситуация сложнее. При в пределе получаем , то есть мы имеем дело с неопределенностью. Чтобы найти предел , воспользуемся правилом Лопиталя:

.

Получаем:

Следовательно,

В случае правостороннего предела ситуация проще:

Таким образом, в точке также имеет место разрыв второго рода.

Схематическое поведение графика изображено на рисунке.

1

0 7 10

Функция может иметь разрывы только в точках и . В окрестности точки функция имеет разрыв второго рода. При получаем, что , а при получаем, что .

Найдем пределы при и при . Вновь используем правило Лопиталя. Пусть сначала .

При вычисления аналогичны:

Следовательно, у функции в точке имеется устранимый разрыв. Эскиз графика изображен на рисунке.

6 7 8 10

Общая схема исследования функций.

Задача 2.4. Исследовать функцию с помощью производных первого и второго порядка и построить её график.

Решение. Исследование функции производится по следующей схеме.

1. Общие особенности функции: область определения, непрерывность и точки разрыва, вертикальные асимптоты, четность – нечетность, периодичность.

В нашем случае область определения функции

;

прямая – вертикальная асимптота, функция общего вида.

2. Нули функции и интервалы знакопостоянства.

Применим метод интервалов для исследования знаков функции.

 +  +

7 10 20

3. Возрастание – убывание функции, точки экстремума. Этот пункт связан с исследованием знаков первой производной функции. Имеем:

Корни квадратного многочлена равны

Знаки определим, используя метод интервалов.

+   +

8.6 20 31.4

max min

Точки и являются точками локального максимума и минимума соответственно.

4. Выпуклость – вогнутость функции, точки перегиба. Данный пункт связан с исследованием второй производной функции. Если , то функция выпукла вверх (как функция ), а если , то функция выпукла вниз (как функция ).

+

20

5. Наклонные асимптоты функции.

Наклонная асимптота функции (если она существует) есть такая прямая на плоскости , к которой “прижимается” график функции при , то есть . Коэффициенты и определяются из соотношений

, .

В нашем случае

Следовательно, прямая является наклонной асимптотой функции.