Лабораторная работа № 4 Тема: «Решение систем линейных алгебраических уравнений»

Цель работы: используя обыкновенные жордановы исключения (ОЖИ), решить систему линейных алгебраических уравнений двумя способами.

1. Постановка задачи

Работу запрограммировать на любом алгоритмическом языке. Результаты проверить в Excel и в Mathcad:

1) В соответствии со своим вариантом составить исходную таблицу для первого способа

2) Получить обратную матрицу

3) Проверить обратную матрицу (умножением на исходную) и получить решение системы первым способом

4) Составить исходную таблицу для второго способа

5) Получить решение системы вторым способом

6) Проверить результаты в Mathcad и в Excel

7) Заполнить отчет со всеми таблицами ОЖИ, текстом программы и проверками. Написать выводы к работе

2. Теоретические сведения

Пусть рассматривается система

, (1)

из линейных форм с независимыми переменными . Эта система может быть записана в виде таблицы

		...		...
		...		...
...	.	.	.	.	.
		......		...
...	.	.	.	.	.
		...		...

(2)

Будем называть шагом обыкновенного жорданова исключения, произведенным над таблицей (2) с разрешающим элементом , с r-й разрешающей строкой и s­м разрешающим столбцом, схематизированную операцию перемены ролями зависимой переменной и независимой , т.е. операцию решения уравнения

(3)

относительно , подстановки его во все остальные уравнения системы (1.1.1) и записи полученной системы в виде новой таблицы, аналогичной (1.1.2).

А именно, если , то из (3):

,

и

Полученная система может быть записана аналогично (2) в виде таблицы:

		...		...
		...		...
...	...	...	...	...	...
		...		...			(4)
...	...	...	...	...	...
		...		...

Таким образом, один шаг ОЖИ с разрешающим элементом переводит таблицу (2) в новую таблицу (4) следующим образом:

1. Элементы с координатами ( ) вычисляются по формуле .

2. Остальные элементы разрешающего столбца (s­го) делятся на .

3. Остальные элементы разрешающей строки (r-ой) делятся на .

4. Разрешающий элемент заменяется на .

5. Зависимая (r-я) и независимая (s­я) переменные в заголовках таблицы меняются местами.

Для решения системы линейных уравнений с неизвестными

, , или (5)

можно указать два способа применения обыкновенных жордановых исключений.

1 способ. Система (5) может быть записана в виде таблицы

		...
		...
...	...	...	...
		...

Проделав последовательно n шагов ОЖИ и упорядочив (если разрешающие элементы брались не по главной диагонали) строки и столбцы, получим:

		...
		...
...	...	...	...	,
		...

т.е. или . Полученная матрица C = {c_ij} является матрицей, обратной заданной , т.е.

2 способ. Перепишем систему (5) в виде

		...		1
		...
...	...	...	...	...
		...

Произведя последовательно n шагов ЖИ с разрешающими столбцами, отличными от столбца свободных членов, и вычеркивая после каждого шага столбец под переброшенным наверх нулем, получим окончательное решение в виде:

	1
...	...

Примечание. Если ранг матрицы меньше n, то второй способ решения приводит к таблице вида:

		...		1
		...
...	...	...	...	...
		...
	0	...	0
...	...	...	...	...
	0	...	0

Если хотя бы один из , , в этой таблице не равен нулю, то система (5) решений не имеет. В противном случае – система имеет множество решений.