Проверка общего качества уравнения регрессии. Коэффициент детерминации

Для анализа общего качества уравнения регрессии обычно используют коэффициент детерминации R².

R² — коэффициент детерминации (квадрат коэффициента множественной корреляции).

Для частного случая парной регрессии R² — это квадрат коэффициента выборочной корреляции.

Суть R²:

— R² характеризует долю вариации (разброса) зависимой переменной относительно значения аргумента.

— другими словами, R² показывает какая часть колеблемости y обусловлено колебаниями х, (а какая часть колеблемости y объясняется другими факторами (функциями), действующими избирательно.

Очевидно, чем ближе R² к 1, тем более адекватна математическая модель (R² = 1 — между х и y строгая линейная связь).

При некоторых исследованиях значения r = 0,9. Тогда R² = 0,81. Это означает, что 81% общего рассеяния переменной y объясняется линейной связью с х, и только 19% рассеяния y объясняются другими функциями (действующими избирательно).

Вывод: R² является мерой определяемости линейной регрессии и тогда, чем больше R², тем меньше наблюдаемые значения y уклоняются от вычисленной линии регрессии.

Как для коэффициента корреляции r, так и для коэффициента детерминации R², необходимо проводить исследования его статистической значимости. При этом здесь используют F-статистику Фишера:

Суть F-статистики Фишера:

Суть проверяемой гипотезы Н₀ говорит о равенстве нулю всех коэффициентов регрессии, за исключением свободного члена (b=0, тогда r = 0). Это означает, что для генеральной совокупности выдвигают значение , т. е. при этом R² и F-статистика Фишера обращаются в 0 (R² = 0, F = 0).

Альтернативная Н₁ говорит о том, что не все коэффициенты уравнения регрессии обращаются в 0. Следовательно, R² ≠ 0, и он объясняет меру рассеяния переменной y относительно переменной х.

Пусть по наблюдаемым значениям х и y вычисленное значение R² = 0,7. При этом, в расчете используют 15 наблюдений (n = 15). Выполнить исследование статистической значимости r.

По таблице распределения Фишера с (1,13) степенями свободы и при уровне значимости 5% находят критические значения критерия Фишера:

F_кр. = 4,67

Тогда, F_набл. > F_кр., и Н₀ отвергается. Это означает, что значение R² статистически значимо и с вероятностью 0,95 делается вывод об адекватности принятой математической модели.

Построение доверительных интервалов

для коэффициентов регрессии

I. Стандартное отклонение углового коэффициента

и его доверительный интервал

y = a + bx

Стандартное (среднеквадратичное) отклонение параметра b может быть вычислено, принимая во внимание дисперсию, которая для данного параметра будет вычисляться: