Основные идеи t-статистики Стьюдента

Для анализа выборочного коэффициента корреляции на I этапе рассчитывают t-статистику Стьюдента.

r — коэффициент корреляции, показывает степень статистической линейной связи между переменными (от 0—1).

Говорят, что коэффициент корреляции значим, если . Значимость выборочного коэффициента корреляции проверяется по критерию Стьюдента.

t-статистика имеет распределение Стьюдента с (n – 2) степенями свободы.

Для коэффициента корреляции r выдвигается нулевая гипотеза Н₀, которая состоит в том, что предполагает равенство 0 коэффициента корреляции (r = 0) в генеральной совокупности. Эта гипотеза отклоняется, если выборочное значение коэффициента корреляции r далеко от нулевого значения, тогда принимается гипотеза Н₁.

Н₁ — суть гипотезы в том, что в генеральной совокупности r ≠ 0 и коэффициент корреляции статистически значим. Это означает, что между переменными х и y существует линейная зависимость.

Итак, по t-статистике Стьюдента определяется критическое значение критерия (V_кр.), которое находится в зависимости от принятого уровня значимости.

Уровень значимости α — вероятность ошибки I-го рода: вероятность отвергнуть верную статистическую гипотезу Н₀.

Например, если значение α задано 1% (α =0,01) — то гипотеза принимается с вероятностью 0,99.

Если значение α задано 5% (α =0,05) — то гипотеза принимается с вероятностью 0,95.

|t_набл.| < t_кр

— зона отклонения нулевой гипотезы.

Вывод (в генеральной совокупности значений) :

Если вычисленное значение критерия (наблюдаемое) попадает в зону принятия критерия, то делают вывод о равенстве r = 0 в генеральной совокупности.

Чем дальше вычисленное значение критерия (наблюдаемое) уклоняется от V_кр, тем больше основания отвергать Н₀ (нулевую гипотезу), а принимать Н₁ о статистической значимости r.

Рассмотрим процедуру статистической значимости r на примере. Взяты 10 наблюдений показателей инфляции и безработицы в США в 1931—1940 гг. Для них рассчитаны выборочные значения r (r = –0,227).

Очевидно, что такая связь отрицательна, что соответствует теории (Кривая Филлипса). Однако статистически ли значим этот r?

На I этапе выдвигается гипотеза Н₀ о равенстве r = 0 и вычисляют t-статистическое Стьюдента с (n – 2) степенями свободы.

Далее задают уровень значимости (ошибки отвергнуть верную гипотезу Н₀ о равенстве r = 0) α 5% (α = 0,05) — с вероятностью (принять верную гипотезу Н₀ о равенстве r = 0) 0,95. Вполне очевидно, что соответствующий критерий будет состоять из двух хвостов, площадь каждого равна 0,05/2=0,025.

Тогда, по таблице критических точек распределения Стьюдента отыскивают t_кр. (критическое).

t_кр. = 2,314

t_набл. = –0,66

|t_набл.| = 0,66

Итак, для выполнимого исследования получают |t_набл.| < t_кр.

В этой связи делают вывод — гипотеза Н₀ принимается (в генеральной совокупности r = 0) — это значит, что между инфляцией и безработицей нет линейной связи, но это не значит, что между этими параметрами связь вообще отсутствует. Здесь, скорее всего, необходимо говорить о нелинейной связи с одной стороны, либо о более сложных связях уровня инфляции и безработицы с другими параметрами.