5.4.7. Логічний закон, логічне протиріччя, виконувана формула

У сучасній логіці логічний закон — це вираз, який міс­тить тільки логічні константи й змінні, тобто є формулою. Така формула повинна бути істинною у будь-якій предмет­ній області, вона є завжди істинною формулою.

Сучасна логіка досліджує окремі логічні закони як елементи систем таких законів. Кожна із логічних теорій має безліч законів, за допомогою яких описується певний фрагмент або тип міркування.

Окрім логічних законів у будь-якій логічній системі виділяють ще такі види формул, як логічні протиріччя і виконувані формули.

Логічне протиріччя — це формула, яка буде хибною у будь-якій предметній області, вона є завжди хибною формулою.

Виконувана формула на відміну від логічного закону логічного протиріччя може змінювати своє логічне значення. У зв'язку з цим вона буває як істинною, так і хибною.

У логіці існують спеціальні методи, на основі яких можна завжди визначити статус формули, тобто з'ясувати, чи є вона логічним законом, логічним протиріччям або виконуваною формулою.

Метод таблиць істинності

Використовуючи таблиці істинності для логічних сполуч­ників, можна побудувати такі самі таблиці для будь-якої фо­рмули логіки висловлювань, до складу якої входять декілька однакових або різних логічних сполучників.

Алгоритм побудови таблиці істинності для певної форму­ли А такий:

1. У складі формули А виділяються усі під формули. Кожна підформула розпочинає новий стовпчик таблиці.

2. Вписуються в рядки всі можливі набори логічних значень пропозиційних змінних (простих підформул).

3. Обчислюється значення кожної складної підформули при кожному наборі значень змінних.

Значення простих підформул (пропозиційних змінних) здаються на основі формули 2". При обчисленні значень складних підформул використовуються табличні визначення логічних сполучників (~, ,V, , —>, <->). Причому спочатку визначаються значення підформул, до складу яких входить один логічний сполучник, а потім підформул, до складу яких входять два логічних сполучника, і т. д. Наприкінці обчислюється значення підформули з максимальною кількіс­но логічних сполучників, тобто значення самої формули А.

Якщо в результаті побудови таблиці істинності для фор­мули А з'ясується, що ця формула набуває значення «істина» незалежно від того, які логічні значення набувають про-позиційні змінні, що входять до її складу, тоді така формула є логічним законом. У цьому випадку в останньому стовпчику таблиці (або в її результуючому стовпчику) повинні бути лише істинні значення.

Наприклад, побудуємо таблицю істинності для формули: р—> ( q —>p )

№№	Р	q	q —>Р	р—>(q—> р)
1	і	і	і	і
2	і	X	і	і
3	X	і	X	і
4	X	X	і	і

На основі наведених таблиць можна визначити, що фор­мула р—>(q—> р) є логічним законом.

Якщо в результаті побудови таблиці істинності для фор­мули А з'ясується, що ця формула набуває значення «хиба» незалежно від того, які логічні значення набувають пропозиційні змінні, що входять до її складу, тоді така формула є логічним протиріччям. У цьому випадку в останньому стов­пчику таблиці (або її результуючому стовпчику) повинні бу­ти лише хибні значення.

Наприклад, побудуємо таблицю істинності для формули:

№	р	q	q->p	p->(q->p)	~(p->(q->p))
1	і	і	і	і	X
2	і	X	і	і	X
3	X	і	X	і	X
4	X	X	і	і	X

На основі наведених таблиць можна визначити, що фор­мула ~ (р -> ( q -> p )) є логічним протиріччям.

І, нарешті, якщо в результаті побудови таблиці істинності для формули А з'ясується, що формула змінює своє логічне значення залежно від того, які логічні значення набувають пропозиційні змінні, що входять до її складу, тоді така фор­мула є виконуваною формулою. У цьому випадку в остан­ньому стовпчику таблиці (або її результуючому стовпчику) можуть бути як істинні, так і хибні значення.

Наприклад, побудуємо таблицю істинності для формули:

№№	Р	q	~p	p->q	(p->q)V~p
1	і	і	X	і	і
2	і	X	X	X	X
3	X	і	і	і	і
4	X	X	і	і	і

На основі наведених таблиць можна визначити, що фор­мула: (р -> д) V ~ р є виконуваною формулою.

Метод аналітичних таблиць

Метод таблиць істинності є простим і природним мето­дом для визначення статусу формули, якщо ця формула мі­стить мінімальну кількість пропозиційних змінних. Однак він стає все більш громіздким при збільшенні числа пропо­зиційних змінних у формулі. Так, якщо формула міститиме З пропозиційні змінні, тоді рядків у таблиці вже повинно бути 2³ = 8, якщо — 4 пропозиційні змінні, тоді — 2⁴ = 16 і т. ін.

Подивіться, яку громіздку роботу необхідно провести для того, щоб дізнатися, що формула: р V (q r ) є виконуваною.

№№	Р	q	r	q r	p V (q r )
1	і	і	і	і	і
2	і	і	X	X	і
3	і	X	і	X	і
4	і	X	X	X	і
5	X	і	і	і	і
6	X	і	X	X	X
7	X	X	1	X	X
8	X	X	X	X	X