13. 9. Софізми і паралогізми, парадокси, антиномії і абсурд

Суперечки (які відбуваються у формі доведень і спро­стувань) посідають істотне місце в житті суспільства й окремих людей. Нерідко вони стосуються корінних проблем-буття, життєво важливих інтересів людей, а тому й ве­дуться не завжди мирно, дозволеними засобами, не зав­жди узгоджуються з вимогами логіки, нормами моралі й навіть права.

У процесі суперечок трапляються численні фактичні й логічні помилки — софізми та паралогізми.

Софізм — логічна помилка, якої свідомо, навмисне припускають­ся в процесі суперечки.

Паралогізм — логічна помилка, якої несвідомо, ненавмисне при­пускаються в процесі суперечки.

У паралогізмах трапляються помилки переважно того ж типу; що й у софізмах, у них порушуються ті самі зако­ни і правила логіки. Тому розрізнити їх непросто. Спробуй­те здогадатися, наприклад, софізм це чи паралогізм, у ситуації, коли ваш опонент надмірно, як вам здається, уточ­нює вашу тезу, звинувачує вас у неточному і неясному її формулюванні тощо. За такої ситуації існує можливість, що низька логічна культура опонента не дає йому змоги однозначно зрозуміти чітко сформульовану вами тезу. Проте може скластися і так, що ваш опонент просто затягує час, тобто вдається до відомих софістичних засобів.

Звичайно, деякі софізми (і типові софістичні засоби, хитрощі) не спроможна відрізнити від паралогізмів лише людина, яка зовсім не обізнана з історією філософії та ло­гіки. Софізми відзначаються особливою логічною майстер­ністю («майстерністю навпаки»), своєрідним професіоналіз­мом, навіть вишуканістю.

Софізм — інтелектуальне шахрайство!

Софізми зазвичай трактуються побіжно і з очевидним засудженням. І справді, чи варто затримуватися і роздумувати над такими, наприклад, міркуваннями: «Той, що сидить встав; хто встав, той стоїть; отже, той, що сидить стоїть»

«Сократ — людина; людина — не те ж саме, що Сократ; значить, Сократ — це щось інше, чим Сократ», «Цей пес твій; він є отцем; значить, він твій отець»?

А що коштує таке, допустимий, «доказ»: «Для того, щоб бачити, необов'язково мати очі, оскільки без правого ока ми бачимо, без лівого теж видимий; окрім правого і лівого, інших очей у нас немає, тому ясно, що очі не є необхідними для зору»! Або такий несподіваний «висновок»: «Але коли говорять: «камені, колоди, залізо», адже то це — що мовчать, а говорять»!

Софізм «рогатий» став знаменитим ще в Стародавній Греції. І зараз він кочує з енциклопедії в енциклопедію як «зразковий». З його допомогою можна запевнити кожного, що він рогатий: «Що ти не втрачав, то маєш; рогу ти не втрачав; значить, у тебе роги».

Втім, роги — це дрібниця порівняно з тим, що взагалі може бути доведене за допомогою цього і подібних до нього міркувань.

Переконати людину в тому, що у нього є роги, копита і хвіст або що будь-який, довільно узятий отець, у тому числі і що не є взагалі людиною, — це якраз його отець і т. д., можна тільки за допомогою обману або зловживання довірою. А це і є, як говорить кримінальний кодекс, шахрайство. Не випадково вчитель імператора Нерона давньорим-ський філософ Сенека в своїх «Листах» порівнював софізми з мистецтвом фокусників, щодо маніпуляцій яких ми не можемо сказати, як вони здійснюються, хоча і твердо знаємо, що насправді все робиться зовсім не так, як це нам здається.

У звичайному і поширеному розумінні софизм— це умисний обман, заснований на порушенні правил мови або логіки. Але обман тонкий і завуальований, так що його не відразу і не кожному вдається розкрити. Мета його — видати брехню за істину. Удаватися до софізмів негоже, як і взагалі одурювати і вселяти помилкову думку, знаючи, в чому полягає істина.

Софізму як помилці, зробленій умисне, з наміром ввести кого-небудь в оману, зазвичай протиставляється паралогізм, що розуміється як ненавмисна помилка в міркуванні, обумовлена порушенням законів і правил логіки. Паралогізм здається набагато переважно софізму, оскільки є, по суті, не обманом, а щирою помилкою і не пов'язаний з наміром підмінити істину брехнею.

Софізми пов'язані найчастішим як з недостатньою самокритичністю розуму і нездатністю його зробити належні виводи, так і з його прагненням охопити те, що поки йому непідвладно. Нерідко софізм є просто захисною реакцією незнання або навіть неуцтва, неохочого визнати своє безсилля і поступитися знанню.

Софізм традиційно вважається перешкодою в обговоренні і спорі. Використання софізмів відводить міркування убік: замість вибраної теми доводиться говорити про правила і принципи логіки. Але врешті-решт ця перешкода не є чимось серйозним. Використання софізмів має з погляду даної проблеми чисто зовнішній характер і при відомому навику в логічному аналізі міркувань софізм нескладно виявити і переконливо спростувати.

Софізми іноді здаються настільки випадковими і несерйозними, що відомий німецький історик філософії В. Віндельбанд, що не відмовляв загалом софістиці як філософській течії в значності і глибині, відносив їх до жартів: «Той великий успіх, яким користувалися ці жарти в Греції, особливо в Афінах, обумовлюється юнацькою схильністю до дотепних витівок, любов'ю південців до базікання і пробудженням розумної критики повсякденних звичок».

Якщо софізм є всього лише плутаним доказом, спробою видати брехню за істину, має випадковий, не пов'язаний з істотою даної теми характер і є суто зовнішньою перешкодою на шляху міркування, що проводиться, то ясно, що ніякого глибокого і вимагаючого спеціального роз'яснення змісту за ним не коштує. У софізмі як результаті свідомо некоректного застосування семантичних і логічних операцій не виявляються також які-небудь дійсні логічні труднощі. Коротко кажучи, софізм — це уявна проблема.

Таке стандартне тлумачення софізмів.

Воно підкуповує своєю простотою. За ним також багатовікова історія. Проте, не дивлячись на його очевидність, що здається, воно дуже багато що залишає недомовленим і неясним.

Перш за все воно абсолютно відволікається від тих історичних обставин, в яких народжуються софізми і в яких протікає їх подальша, нерідко багате подіями життя. Дослідження софізмів, вирваних з місця їх існування, подібно до спроби скласти повне уявлення про рослини, користуючись при цьому тільки гербаріями.

Софізми існують і обговорюються більше двох тисячоліть. Періодично гострота їх обговорення нагадує ту, яка була у момент їх виникнення. Якщо вони всього лише хитрощі і словесні прийоми, виведені на чисту воду ще Арістотелем, то довга їх історія і стійкий інтерес до них незрозумілі.

Є, звичайно, випадки, і, можливо, нерідкі, коли помилки в міркуванні використо-вуються з наміром ввести когось в оману. Але це явно не відноситься до більшості софіз-мів стародавніх.

Коли софізми вперше формулювалися, про правила логіки ще нічого не було відомо. Говорити в цій ситуації про умисне порушення законів і правил логіки можна тільки з натяжкою. Тут щось інше. Адже несерйозно припускати, що можна за допомогою «рогатого» переконати людину, що він рогатий. Сумнівно також, що за допомогою софізму «лисий» хтось сподівався запевнити що оточують, що лисих людей немає. Неймовірно, що софістичне міркування здатне змусити когось повірити, що його отець — пес. Мова тут, очевидно, йде не про «рогатих», «лисих» і т. п., а про щось абсолютно іншому і значнішому. І якраз щоб підкреслити цю обставину, софізм формулюється так, що його висновок є свідомо помилковим, прямо і фактам, що різко суперечать.

Виникнення софізмів зазвичай зв'язується з філософією софістів (V—IV століття до нової ери), яка їх обгрунтовувала і виправдовувала. Проте софізми існували задовго до філософів-софістів, а найбільш відомі і цікаві були сформульовані пізніше, в тих, що склалися під впливом Сократа філософських школах. Термін «софізм» вперше ввів Арістотель, що охарактеризував софістику як уявну, а не дійсну мудрість. До софізмів їм були віднесені і апории Зєїона, направлені проти руху і множинності речей, і міркування власне софістів, і все ті софізми, які відкривалися в інших філософських школах. Це говорить про те, що софізми не були винаходом одних софістів, а були швидше чимось звичайним для багатьох шкіл античної філософії.

Характерний, що для широкої публіки софістами були також Сократ, Платон і сам Арістотель. Не випадково Арістофан в комедії «Хмари» представив Сократа типовим софістом. У ряді діалогів Платона людиною, що прагне заплутати свого супротивника тонкими питаннями, виглядає іноді більшою мірою Сократ, чим Протагор.

Широку поширеність софізмів в Стародавній Греції можна зрозуміти, тільки якщо припустити, що вони якось виражали дух свого часу і були одній з особливостей антич-ного стилю мислення.

Відносини між софізмами і парадоксами ще одна тема, не одержуюча свого розвитку в рамках звичайного тлумачення софізмів.

Парадокс в широкому сенсі — це твердження, що різко розходиться із загальноприй-нятими, сталими думками. Парадоксами в цьому досить невизначеному сенсі є і афоризми, подібні «люди жорстокі, але людина добра», і так звані «космологічні парадокси», і взагалі будь-які думки і думки, що відхиляються від традиції і протистоять загальноприйнятому, перевіреному, «ортодоксальному». Всі софізми є, звичайно, парадоксами в цьому сенсі.

Парадокс у вужчому і набагато в сучаснішому значенні — це два протилежні твердження, для кожного з яких є аргументи, що представляються переконливими.

Найбільш різкою формою парадоксу, що іменується зазвичай «антиномією», є міркування, що доводить еквівалентність двох тверджень, одне з яких є запереченням іншого.

На відміну від софізмів парадокси трактуються зі всією серйозністю: наявність в теорії парадоксу говорить про явну недосконалість допущень, лежачих в її основі.

Проте очевидно, що грань між софізмами і парадоксами не є скільки-небудь визна-ченою. У разі багатьох конкретних міркувань неможливо вирішити на основі стандартних визначень софізму і парадоксу, до якого з цих двох класів слід віднести дані міркування.

Відділення софізмів від парадоксів є настільки невизначеним, що про цілий ряд конкретних міркувань нерідко прямо мовиться як про софізми, що не є поки парадоксами або не відношуваних ще до парадоксів. Так йде справа, зокрема, з софізмами «медимн зерна», що розглядаються далі, «покритий», «Протагор і Еватл» і цілим поряд інших.

Вже з одних загальних міркувань ясно, що з софізмами справа йде далеко не так просто, як це прийнято зазвичай представляти. Стандартне їх тлумачення склалося, звичайно, не випадково. Але воно очевидним чином не вичерпує всієї істоти справи. Необхідний спеціальний, і притому конкретно-історичний аналіз, який тільки і здатний показати вузькість і ограииченность цього тлумачення. Одночасно він повинен виявити роль софізмів як в розвитку теоретичного мислення, так і, зокрема, в розвитку формальної логіки.

Апорії Зенона

Звернемося тепер до конкретних софізмів і тих проблем, які стоять за ними.

Знамениті міркування старогрецького філософа Зенона «Ахіллес і черепаха», «дихотомія» і ін., звані зазвичай «апориями» («утрудненнями»), були направлені ніби то проти руху і існування багатьох речей. Сама ідея довести, що мир — це одна-єдина і до того ж нерухома річ, нам сьогодні здається дивною. Та дивною вона вважалася і старо-давньою. Настільки дивною, що «докази», Зеноном, що приводилися, відразу ж були віднесені до простих прийомів, причому позбавленим загалом особливій хитрості. Такими вони і вважалися дві з гаком тисячі років, а іноді вважаються і тепер. Подивитеся, читач, як вони формулюються, і звернете увагу на їх зовнішню простоту і нехитрість.

Найшвидша істота не здатна наздогнати найповільніше, швидконогий Ахіллес ніколи не наздожене повільну черепаху. Поки Ахіллес добіжить до черепахи, вона просунеться трохи вперед. Він швидко подолає і це відстань, але черепаха піде ще трішки вперед. І так до безкінечності. Всякий раз, коли Ахіллес досягатиме місця, де була перед цим черепаха, вона виявлятиметься хоч би небагато, але попереду.

У «дихотомії» звертається увага на те, що рухомий предмет повинен дійти до половини свого шляху перш, ніж він досягне його кінця. Потім він повинен пройти половину половини, що залишилася, потім половину цієї четвертої частини і так далі до безкінечності. Предмет постійно наближатиметься до кінцевої крапки, але так ніколи її не досягне.

Це міркування можна декілька переінакшити. Щоб пройти половину шляху, предмет повинен пройти половину цієї половини, а для цього потрібно пройти половину цієї чверті і так далі Предмет у результаті так і не зрушиться з місця.

Цим простеньким на вигляд міркуванням присвячені сотні філософських і наукових робіт. У них десятками різних способів доводиться, що допущення можливості руху не веде до абсурду, що наука геометрія вільна від парадоксів і що математика здатна описати рух без суперечності.

Велика кількість спростувань доводів Зенона показово. Не цілком ясно, в чому саме полягають ці доводи, що вони доводять. Не ясно, як це «щось» доводиться і чи є тут взагалі докази? Відчувається тільки, що якісь проблеми або утруднення все-таки є. І перш ніж спростовувати Зенона, потрібно з'ясувати, що саме він мав намір сказати і як він обґрунтовував свої тези. Сам він не формулював прямо ні проблем, ні своїх вирішень цих проблем. Є, зокрема, тільки коротенька розповідь, як Ахіллес безуспішно намагається наздогнати черепаху.

Витягувана з цього опису мораль залежить, природно, від того ширшого фону, на якому воно розглядається і міняється із зміною цього фону.

Міркування Зенона зараз, треба думати, остаточно виведені з розряду хитромудрих прийомів. Вони, по словах Би. Рассела, «в тій або іншій формі зачіпають підстави майже всіх теорій простору, часу і нескінченності, що пропонувалися з його часу до наших днів».

Спільність цих міркувань з іншими софізмами стародавніх безперечна. І ті та інші мають форму короткої розповіді або опису простої в своїй основі ситуації, за якою не коштує неначе жодних особливих проблем. Проте опис підносить буденне явище так, що воно виявляється явно несумісним із сталими уявленнями про нього. Між цими звичайними уявленнями про явище і описом його в апории або софізмі виникає різка розбіжність, навіть суперечність. Як тільки воно помічається, розповідь втрачає видимість простій і нешкідливій констатації. За ним відкривається несподівана і неясна глибина, в якій смутно вгадується якесь питання або навіть багато питань. Важко сказати з визначеністю, в чому саме полягають ці питання, їх ще належить з'ясувати і сформу-лювати, але очевидно, що вони є. Їх треба витягувати з розповіді подібно до того, як витягується мораль з життєвої притчі. І як у разі притчі, результати роздуму над розповіддю важливим чином залежать не тільки від нього самого, але і від того контексту, в якому ця розповідь розглядається. Через це питання виявляються не стільки постав-леними, скільки навіяними розповіддю. Вони міняються від людини до людини і від часу до часу. І немає повної упевненості в тому, що чергова пара «питання — відповідь» вичерпала весь зміст розповіді.

«Медімн зерна»

Зенон запропонував ще один софізм — «медимн зерна» (приблизно мішок зерна), що послужив прототипом для знаменитих софізмів Евбуліда «купа» і «лисий».

Велика маса дрібних, просяних наприклад, зерен при падінні на землю завжди чинить шум. Він складається з шуму окремих зерен, і, значить, кожне зерно і кожна щонайменша частина зерна винні, падаючи, чинити шум. Проте окреме зерно падає на землю абсолютно безшумно. Значить, і падаючий на землю медимн зерна не повинен був би чинити шум, адже він складається з безлічі зерен, кожне з яких падає безшумно. Але все-таки медимн зерна падає з шумом!

У минулому столітті почала складатися експериментальна психологія. «Медімн зерна» почав тлумачитися — у дусі часу — як перша неясна вказівка на існування тільки що відкритих порогів сприйняття. Це тлумачення багатьом здається переконливим і сьогодні.

Людина чує не всі звуки, а що тільки досягають певної сили. Падіння окремого зерна проводить шум, але він настільки слабкий, що лежить за межами людського слуху. Падіння ж багатьох зерен дає шум, що уловлюється людиною. «Якби Зенон був знайомий з теорією звуку, — писав тоді німецький філософ Т. Брентано, — він не вигадав би, звичайно, свого аргументу».

Якось при такому поясненні абсолютно не помічалося одне просте, але таке, що міняє всю справу обставина: софізм «медимн зерна» строго аналогічний софізмам «купа» і «лисий». Але останні не мають ніякого відношення ні до теорії звуку, ні до психології слуху.

Значить, для них потрібні якісь інші і притому різні пояснення.

Це здається явно непослідовним. Однотипні софізми повинні вирішуватися однаково. Крім того, раз уловлений принцип побудови подібних софізмів, їх можна формулювати скільки заманеться. Було б наївно, проте, для кожного з них шукати якесь своє рішення.

Ясно, що посилання на психологію сприйняття не уловлюють істоти того утруднення, яке обігрується даними софізмами.

Набагато глибшим є їх аналіз, даний Р. Гегелем. Питання: «Чи створює збільшення одного зерна скупчую?», «Чи стає хвіст коня голим, якщо вирвати з нього один волос?» — здаються наївними. Новий їх знаходить свій вираз спроба стародавніх греків представити наочно суперечність всякої зміни.

Поступова, непомітна, чисто кількісна зміна якогось об'єкту не може продовжуватися нескінченно. У певний момент воно досягає своєї межі, відбувається різка якісна зміна і об'єкт переходить в іншу якість. Наприклад, при температурі від 0° до 100°С вода є рідиною. Поступове нагрівання її закінчується тим, що при 100°С вона закипає і різко, стрибком переходить в інший якісний стан — перетворюється на пару. «Коли відбувається кількісна зміна, — пише Р. Гегель, — воно здається спочатку абсолютно безневинним, але за цією зміною ховається ще і щось інше, і це зміна, що здається безневинним, кількісного є як би хитрістю, за допомогою якої уловляется якісне».

Софізми типу «медимн зерна», «купа», «лисий» є також наочним прикладом тих труднощів, до яких веде вживання неточних або «розмитих» понять. Але про це вже мовилося в третьому розділі.

«Неопредметненне» знання

Софізми «Електра» і «покритий» до цих пір приводяться як характерні зразки «уявної мудрості».

У одній з трагедій Евріпіда є сцена, в якій Електра і Орест, брат і сестра, зустрічаються після дуже довгої розлуки. Чи знає Електра свого брата? Так, вона знає Ореста. Але він стоїть перед нею, несхожий на того, якого вона бачила останній раз, і вона не знає, що ця людина — Орест. Значить, вона знає те, що вона не знає?

Близькою варіацією на цю ж тему є «покритий». Я знаю, скажімо, Сидорова, але не знаю, що поряд зі мною, чимось накрившись, стоїть саме він. Мене питають: «Чи знаєте ви Сидорова?» Моя ствердна відповідь буде і вірним і невірним, оскільки я не знаю, що за чоловік поряд зі мною. Якби він відкрився, я міг би сказати, що всього лише не дізнався його.

Іноді цьому софізму надають форму, в якій, як здається, його порожнеча і безпорадність стають особливо наочними.

— Чи знаєте ви, про що я зараз хочу вас запитати?

— Немає.

— Невже ви не знаєте, що брехати — недобре?

— Звичайно, знаю.

— Але саме про це я і збирався вас запитати, а ви відповіли, що не знаєте.

Справа, проте, не у формі викладу, наскільки б порожній вона не здавалася. Річ у тому, що такі ситуації «незнаючого» знання звичайні в пізнанні, і притому не тільки в абстрактній науці, що захопилася теоретизуванням, але і в самих елементарних актах пізнання. Читачеві така думка може показатися, мабуть, дивною. Але не варто поспішати із запереченнями, надалі прості приклади наочно покажуть, що це дійсно так.

Арістотель намагався вирішувати подібні софізми, посилаючись на двозначність дієслова «знати». Дійсно, момент двозначності тут є. Можна знати, що брехня негожа, і не знати, що саме про це вас хочуть запитати.

Але обмежитися тут простій посиланням на двозначність — означає не зрозуміти глибини самої двозначності і упустити найважливіше і цікавіше.

Чи можуть вважатися істинними знання про предмет, якщо їх не вдається поставити у відповідність з самим предметом? Ця проблема безпосередньо стоїть за даними софізмами. Вони фіксують живу суперечність між наявністю знання про предмет і пізнанням цього предмету. Про те, наскільки важливою є така суперечність, говорить вся історія теоретической науки і особливо розвиток сучасної, зазвичай високоабстрактної науки.

Істина є нескінченним наближенням до свого об'єкту. Абстрактної істини, як відомо, немає, істина завжди конкретна. Ототожнюючи наші знання про деякий предмет з конкретним предметом, ми тим самим змінюємо і заглиблюємо їх. Очевидно, що конкретне застосування знань вимагає пізнавання предмету, і недивно, що пізнавання є важливій складовій пізнавальної діяльності.

Завжди є розбіжність між уявленнями, що склалися, про досліджуваний фрагмент дійсності і самим цим фрагментом. У разі наукової теорії — це розбіжність або розузгод-ження між теоретичними уявленнями про об'єкти, що вивчаються, і самими емпіричними даними в досвіді об'єктами. Така розбіжність особливо велика на початкових етапах дослідження, коли цілому ряду теоретичних виводів ще не вдається поставити у відповідність ніяких емпіричних даних.

Хорошим прикладом тут може служити прогноз видатним російським хіміком Д. Менделєєвим існування нових хімічних елементів. Оскільки емпірично вони не були ще відкриті і існували тільки в «теоретичному просторі», який само ще не устоявся і не мав виразних контурів, Д. Менделєєв декілька років не наважувався обнародувати свій прогноз.

Характерним прикладом, що відноситься вже до сучасної фізики, є прогноз на початку 30-х років англійським фізиком П. Діраком існування елементарної частинки нейтрино. Фізики відразу ж погодилися, що введення цієї «високотеоретичної» частинки було корисним і, можливо, навіть необхідним з погляду теорії. Але тільки опісля приблизно два десятиліття безпосередні сліди нейтрино вдалося виявити в сцинтиляційних камерах. Теорія давала певне знання про цю частинку, але знадобився порівняно великий проміжок часу, поки воно було нарешті доповнене пізнанням самої частинки. Чисте теоретичне до того часу знання було з цієї миті пов'язано з емпіричними явищами і тим самим «опредмечено».

Неспівпадання теоретичного виводу і емпіричного результату завжди означає існування «неопредмеченного» знання, або знання про «непізнані» об'єкти, яке було образно названо «незнаючим» знанням. Софізми, подібні «покритому», якраз і звертають увагу на можливість і загалом звичайність такого знання.

Вони ставлять також питання про те, що є критерієм істинності теоретичних тверджень, об'єкти яких ще не виявлені насправді або взагалі не існують реально, подібно «абсолютно чорному тілу» або «ідеальному газу».

Істинною є думка, відповідна описуваному нею об'єкту. Але якщо цей об'єкт невідомий, з чим тоді повинна зіставлятися думка для думки про її істинність? Відповідь на це питання складна і викликає немало суперечок в сучасній методології науки.

Ця і інші проблеми можуть бути «вичитані» з обговорюваних софізмів тільки при достатньо високому рівні наукового знання і знання про саме цьому знанні. Але ці проблеми, хай в самій «зародковій» і іносказанні формі, все-таки піднімалися даними софізмами.

Що стосується двозначності слова «знать», як і двозначності взагалі, то потрібно відмітити, що вона далеко не завжди є прикрою помилкою окремого, недостатньо послідовного розуму. Двозначність може носити не тільки суб'єктивний характер, будучи виразом деякій логічній нетренованості. Розбіжність теоретичного і емпіричного — постійний і цілком об'єктивне джерело невизначеності і двозначності.

Вічно перебудовувана будівля

Софізм «покритий» можна переформулировать так, що виявиться ще одна сторона проблеми, що ховається за ним.

Допустимо, що поряд зі мною стоїть, накрившись, не Сидоров, а якийсь інша людина, але я не знаю про це. Чи знаю я Сидорова? Звичайно, знаю. Але поряд зі мною хтось невідомий. А раптом це якраз Сидоров? Відповідаючи «знаю», я в якійсь мірі ризикую, бо знову можу опинитися в положенні, коли, знаючи Сидорова, я не дізнався його, поки він не розкрився.

Можна навіть спростити ситуацію. Поряд зі мною, не ховаючись, коштує Сидоров. Чи знаю я його? Так, знаю і дізнаюся. А чи знаю я, що у Сидорова п'ятеро дітей? Ні, цього я якраз і не знаю. Але без знання такого важливого факту, що визначає швидше за все все останнє в житті Сидорова, чого коштують розрізнені відомості, що є у мене, про нього?

Ці спрощені до межі і звучні наївно приклади натякають, проте, на важливі моменти, що стосуються знання. Воно завжди є в певному значенні неповним і ніколи не набуває остаточних, скостенілих контурів. Елементи знання багатообразно зв'язані між собою. Сумнів в якихось з них неодмінно иррадиирует на інші області і елементи, і неясність навіть на околицях системи знання легким серпанком розтікається по всій системі. Введення нових елементів, особливо якщо вони виглядають істотними з погляду даної системи, нерідко примушує перестроїти її всю.

Наукова теорія як система тверджень нагадує в цьому плані будівлю, яку доводиться перебудовувати знизу доверху з надбудовою кожного нового поверху.

Всі ці натяки на неповноту, системність і постійну перебудову знання теж можна — при великому, правда, бажанні — угледіти за софізмами типу «покритого».

Багато що з сказаного тут про наукове знання прикладемо і до всіх інших форм знання.

Є знання про Гамлета, принцові данському, описаному в трагедії В. Шекспіра. Але скільки є талановитих акторів, стільки і різних Гамлетів. Відомий російський актор В. Качалов зображав в своєму Гамлеті майже і виключно одну синову любов до матери.

У всій трагедії він підкреслював раніше всього слова, що виражають цю любов. Інші актори висувають на перший план самоту, покинутость, безпорадність, крайній відчай і повне безсилля Гамлета. Іноді, навпаки, в нім бачаться воля, сила і потужність, і всім його вчинкам додається характер запланированное™ і заздалегідь замысленного зла. Існували Гамлети-філософи, абстрактні мислителі, не стільки що діють і відчувають, скільки над всім що рефлектують і всі аналізують. Були Гамлети, що загубилися в палацовому оточенні.

Гамлет в описі В. Шекспіра — це тільки літературний персонаж, так би мовити, теоретичний, «неопредмеченний» Гамлет. Гамлет в спектаклі по Шекспірові — це «опредмечивание» літературногоГамлета.

Повне знання Гамлета вимагає єдності теоретичного і наочного, літературного і сценічного. При зовсім вже поганого виконання п'єси можна сказати: «Знаю Гамлета, але не дізнаюся його».

Дані софізми зачіпають, крім загальних питань, і власне логічні проблеми. Вони звертають, зокрема, увагу на відмінність між экстенсиональными і интенсиональными контекстами, що має важливе значення в сучасній логіці. Особливість других в тому, що вони не допускають заміни один на одного різних імен, що позначають один і той же предмет. Форма «Електра знає, що X — її брат» є якраз окремим випадком интенсиональных виразів. Підстановка в цю форму замість змінною X імені «Орест» дає дійсний вислів. Але, підставивши ім'я «ця покрита людина», що позначає ту ж людину, що і ім'я «Орест», отримаємо вже помилковий вислів.

Звичайно, тепер ця відмінність є добре відомою в логіці. Але в сивій античності, коли ще і логіки як науки не існувало, вдалося все-таки якщо і не виразити його явно і виразно, то хоч би відчути. Це і зробили «Електра» і «покритий». Вони вказали, понад те, на небезпеки, пов'язані із зневагою даною відмінністю.

Софізми і зародження логіки

Дуже багато софізмів виглядають як позбавлена сенсу і мети гра з мовою; гра, що спирається на багатозначність мовних виразів, їх неповноту, недомовленість, залежність їх значень від контексту і так далі Ці софізми здаються особливо наївними і несерйозними.

Платон описує, як два софісти заплутують простодушну людину на ім'я Ктесипп.

— Скажи, чи є у тебе собака?

— І дуже зла, — відповідав Ктесипп.

— А чи є у неї щенята?

— Так, теж злі.

— А їх отець, звичайно, собака ж?

— Я навіть бачив, як він займається з самкою.

— І цей отець теж твій?

— Звичайно.

— Значить, ти стверджуєш, що твій отець — собака і ти брат щенят!

Смішно, якщо і не Ктесиппу, то що всім оточує, адже такі бесіди зазвичай відбувалися при великому збігу народу. Але чи тільки смішно?

Або «доказ» того, що очі не потрібні для зору, оскільки, закривши будь-який з них, ми продовжуємо бачити. Чи тільки комічна нісенітниця тут?

Або таке міркування:

«Той, хто бреше, говорить про справу, про яку йде мова, або не говорить про нього; якщо він говорить про справу, він не бреше; якщо він не говорить про справу, він говорить про щось неіснуюче, а про нього неможливо ні мислити, ні говорити».

Цю гру поняттями Платон представляв просто як смішне зловживання мовою і сам, придумуючи софізми, не раз показував софістам, наскільки легко наслідувати їх мистецтву грати словами. Але чи немає тут і другого, глибшого і серйознішого плану? Чи не витікає звідси цікава для логіки мораль?

І, як це не здається спочатку дивним, такий план тут безумовно є і таку мораль, поза сумнівом, можна витягувати. Потрібно тільки пам'ятати, що ці і подібні ним міркування велися дуже давно. Так давно, що не було навіть натяків на існування особливої науки про доказ і спростування, не були відкриті ні закони логіки, ні сама ідея таких законів.

Всі ці софістичні ігри і жарти, несерйозність і вивертливість в спорі, схильність відстоювати найбезглуздіше положення і з однаковою легкістю говорити «за і проти» будь-якої тези, словесна еквілібристика, що є викликом як звичайному вживанню мови, так і здоровому глузду, — все це тільки поверхня, за якою ховається глибокий і серйозний зміст. Воно не усвідомлювалося ні самими софістами, ні їх супротивниками, включаючи Платона і Арістотеля, але воно очевидне зараз.

У софістиці загаснув інтерес до питання, як влаштований світ, але залишилася та ж потужність абстрагуючої діяльності, яка була у попередніх філософів. І одним з об'єктів цієї діяльності стала мова. У софістичних міркуваннях він піддається всесторонньому випробуванню, оглядається, обмацується, перевертається з ніг на голову і так далі Це випробування мови дійсно нагадує гру, нерідко комічну і безглузду для стороннього спостерігача, але в основі своїй подібну до ігор підростаючих хижаків, що відпрацьовують в них прийоми майбутнього полювання. У словесних вправах, якими були софістичні міркування, неусвідомлено відпрацьовувалися перші, звичайно, ще ніякові прийоми логічного аналізу мови і мислення.

Зазвичай Арістотеля, що створив першу послідовну логічну теорію, малюють як прямого і недвозначного супротивника софістів у всіх аспектах. Загалом це так. Проте відносно логічного аналізу мови він був прямим продовжувачем початого ними поділа. І можна сказати, що, якби не було Сократа і софістів, не створилося б грунт для його подвигу.

Софісти надавали виняткове значення людському слову і першими не тільки підкреслили, але і показали на ділі його силу. «Слово, — говорив софіст Горгий, — є великий володар, який, володіючи вельми малим і абсолютно непомітним тілом, здійснює чудові справи. Бо воно може і страх вигнати, і печаль знищити, і радість вселити, і співчуття збудити... Те ж саме значення має сила слова у відношенні до настрою душі, яку сила ліків щодо природи тіл. Бо подібно до того, як з ліків одні виганяють з тіла одні соки, інші — інші, і один з них усувають хворобу, а інші припиняють життя, так само і з мов одні засмучують, інші радують, треті устрашають, четверті підбадьорюють, деякі ж отруюють і зачаровують душу, схиляючи її до чого-небудь поганого».

Питання про «силу слова» — це, використовуючи вираз Арістотеля, питання про витоки «примусової сили наших мов». Кінець кінцем це питання про логічну необхідність, що примушує нас прийняти виведення міркування, якщо прийняті його посилки.

Мова, що була до софістів тільки непомітним склом, через яке розглядається мир, з часу софістів вперше став непрозорим. Щоб зробити його таким, а тим самим перетворити його на об'єкт дослідження, необхідно було зухвало і грубо поводитися із сталими і інстинктивними правилами його вживання. Перетворення мови на серйозний предмет особливого аналізу, в об'єкт систематичного дослідження було першим кроком у напрямі створення науки логіки.

Важливим є також типове для софістів підкреслено формальне відношення до мови. Відриваючи думку від її об'єкту, вони відсовують убік питання про відповідність її цьому об'єкту, що поглинає звичайна вся увага, і замикають думку, що втратила інтерес до дійсності і істини, тільки на слові. Якраз на цьому шляху, на шляху переважного структурного сприйняття мови і відвернення від виразимого ним змісту, і виникло центральне поняття логіки — поняття про чисту, або логічною, формі думки.

«...О чим би не йшла мова, — говорить про софістів Платон, про істинний або помилковий, вони спростовували все досконало однаково». Зі всіх, мабуть, точок зору така поведінка негожа, окрім однієї, саме тій, що пов'язана з логічною формою. Виявлення цієї форми вимагає якраз повного відвернення від конкретного змісту і, таким чином, від питання про істину. У ідеї аргументації з рівною силою «за і проти» будь-якого положення, ідеї, що проводиться свідомо і послідовно, можна убачати зародок основного принципу формальної логіки: правильність міркування залежить тільки від його форми, і ні від чого іншого. Вона не залежить, зокрема, від існування або неіснування обговорюваного об'єкту, від його цінності або нікчемності і так далі Вона не залежить і від істинності або помилковості вхідних в міркування тверджень — ця думка смутно є видимою неначе за вольним поводженням софістів з істиною і брехнею.

У софізмах є смутне передбачення багатьох конкретних законів логіки, відкритих набагато пізніше. Особливо часто обіграється в них тема неприпустимості суперечностей в мисленні.

— Скажи, — звертається софіст до молодого любителя суперечок, — може одна і та ж річ мати якусь властивість і не мати її?

— Очевидно, немає.

— Подивимося. Мед солодкий?

— Так.

— І жовтий теж?

— Так, мед солодкий і жовтий. Але що з цього?

— Значить, мед солодкий і жовтий одночасно. Але жовтий — це солодкий чи ні?

— Звичайно, немає. Жовтий — це жовтий, а не солодкий.

— Значить, жовтий — це не солодкий?

— Звичайно.

— Про мед ти сказав, що він солодкий і жовтий, а потім погодився, що жовтий, значить, не солодкий, і означає, як би сказав, що мед є солодким і не солодким одночасно. Адже спочатку ти твердо говорив, що жодна річ не може і володіти і не володіти якоюсь властивістю.

Звичайно, софістові не вдалося довести, що мед має ті, що суперечать один одному властивості, будучи солодким і несолодким разом. Подібні твердження неможливо довести: вони несумісні з логічним законом суперечності, що говорить, що вислів і його заперечення («мед солодкий» і «мед не є солодким») не можуть бути істинними одночасно.

І навряд чи софіст серйозно прагне спростувати цей закон. Він тільки вдає, що нападає на нього, адже він дорікає співбесідникові, що той плутається і противоречит собі. Така спроба оспорити закон суперечності виглядає швидше захистом його. Ясного формулювання закону тут, зрозуміло, немає, мова йде тільки про додаток його до окремого випадку.

«Софісти, — пише французький історик філософії Э. Гратрі, — це ті, які не допускають ні в умогляді, ні в практиці тієї основної і необхідної аксіоми розуму, що неможливо і затверджувати і заперечувати одне і те ж, в один і той же час, в одному і тому ж сенсі і в одному і тому ж відношенні».

Очевидно, що це абсолютно несправедливе звинувачення. Акторство софістів, розігрування ними сумніву в справедливості додатків закону суперечності приймається Е. Гратрі за чисту монету. Коли софіст говорить від себе, а не по ролі, що, втім, буває украй рідко, він зовсім не здається захисником суперечливого мислення. У діалозі «Софіст» Платон помічає, що випробування думок на суперечність є безперечною вимогою справедливості. Ця думка Платона є тільки повторенням затвердження софіста Горгия.

Таким чином, софізми стародавніх, сформульовані ще в той період, коли логіки як теорії правильного міркування ще не було, в більшості своїй прямо ставлять питання про необхідність її побудови. «Прямо» у тій мірі, в якій це взагалі можливо для софістичного способу постановки проблем. Саме з софістів почалося осмислення і вивчення доказу і спростування. І в цьому плані вони з'явилися прямими попередниками Арістотеля.

Трагедія і фарс

Найчастіше аналіз софізму не може бути завершений розкриттям логічної або фактичної помилки, допущеної в нім. Це якраз найпростіша частина справи. Складніше з'ясувати проблеми, що стоять за софізмом, і тим самим розкрити джерело подиву і неспокою, що викликається їм, і пояснити, що додає йому видимість переконливого міркування.

У звичайному уявленні і в спеціальних роботах, що стосуються розвитку науки, загальним местомом є положення, що всяке дослідження починається з постановки проблеми. Послідовність «проблема — дослідження — рішення» вважається прикладеним до всіх стадій розвитку наукових теорій і до всіх видів людської діяльності. Хороша, тобто ясна і Виразна, формулювання завдання розглядається як неодмінна умова успіху майбутнього дослідження або іншої діяльності.

Все це вірно, але лише стосовно розвинених наукових теорій і достатньо діяльності, що стабілізувалася і відпрацьованої. У теоріях, що знаходяться на початкових етапах свого розвитку і лише що нащупують свої основні принципи, висунення і з'ясування проблем багато в чому співпадає і переплітається з самим процесом дослідження і не може бути однозначно відокремлене від нього. Аналогічно у разі інших видів людської діяльності.

У обстановці, коли немає ще зв'язкової, єдиної і прийнятої більшістю дослідників теорії, твердої в своєму ядрі і розвиненої в деталях, проблеми ставляться багато в чому з розрахунку на майбутню теорію. І вони є такими ж розпливчатими і невизначеними, як і ті теоретичні побудови і відомості, в рамках яких вони виникають.

Цю особливу форму висунення проблем можна назвати «парадоксальною» або «софістичною». Вона подібна в своїй істоті до того способу, яким в античності піднімалися перші проблеми, що стосуються мови і логіки.

Відмітною особливістю софізму є його подвійність, наявність, крім зовнішнього, ще і визначеного внутрішнього змісту. У цьому він подібний до символу і притчі.

Німецький письменник Й. Гебель написав розповідь-притчу «Каннітферштан», на тему якої російський поет В. Жуковський створив віршовану баладу. У розповіді мовиться про німецького ремісника, що приїхав до Голландії і не знав мови цієї країни. Кого він не намагався запитати про що-небудь, всі відповідали одне і те ж: «Каннітферштан». Врешті-решт ремісник уявив собі особлива всесильна і зла істота з таким ім'ям і вирішив, що страх перед цією істотою заважає всім говорити. По-голландськи ж «каннитферштан» означає просто «не розумію».

За зовнішньою невитіюватістю цієї розповіді є інший план.

Всьому, що назване якимсь ім'ям або просто якимсь словом, що нагадує ім'я, приписується зазвичай існування. Навіть само «ніщо» іноді не представляється у вигляді якогось особливого предмету. Звідки ця постійна тенденція до объективизации імен, до відшукування серед існуючих речей особливого об'єкту для кожного імені? Але ж можна дійти до пошуків «коня взагалі» або навіть захотіти побачити «неіснуючий предмет».

Інший момент, пов'язаний з цією розповіддю, — ответность, диалогичность всякого розуміння. Саме диалогичность примушує розуміти вислів, наступний за якимсь питанням, як відповідь на це питання. Якраз тому ремісник сприйняв сказане по-голландськи «не розумію» як позитивну відповідь, що посилає до чогось абсолютно конкретного.

Якби за розповіддю й. Гебеля не стояло цей прихований зміст, він був би лише викладом забавного — але і тільки — непорозуміння.

Подібно до притчі, зовні софізм говорить про добре відомі речі. При цьому розповідь зазвичай будується так, щоб поверхня не привертала самостійної уваги і тим або іншим способом — найчастіше шляхом суперечності здоровому глузду — натякала на інше, лежачий в глибині зміст. Останнє, як правило, неясно і. багатозначно. Воно містить в нерозгорненому вигляді, як би у зародку, проблему, яка відчувається, але не може бути скільки-небудь ясно сформульована до тих пір, поки софізм не поміщений в достатньо широкий і глибокий контекст. Тільки у нім вона виявляється в порівняно виразній формі. Із зміною контексту і розглядом софізму під кутом зору іншої теоретичної побудови зазвичай виявляється, що в тому ж софізмі прихована абсолютно інша проблема.

У російських казках зустрічається мотив дуже невизначеного завдання. «Піди туди, не знаю куди, принеси те, не знаю що». Як це ні дивно, проте герой, відправляючись «невідомо куди», потрапляє якраз туди, куди потрібний, і, відшукуючи «невідомо що», знаходить саме те, що потрібне. Завдання, яке ставить софізм, подібне до цього завдання, хоча і є набагато визначенішою.

У притчі «Перед параболами» Ф. Кафка пише: «Слова мудреців подібні до парабол. Коли мудрець говорить: «Йди туди», то він не має на увазі, що ти повинен перейти на іншу сторону. Ні, він має на увазі якесь легендарне «Там», щось, чого ми не знаємо, що і він сам не міг би точніше позначити». Це точна характеристика софізму як різновиди притчі. Не можна тільки погодитися з Ф. Кафкой, що «всі ці параболи тільки одне — незбагненне незбагненно. На закінчення обговорення проблем, пов'язаних з софізмами, необхідно підкреслити, що не може бути і мови про реабілітацію або якесь виправдання тих міркувань, які переслідують мету видати брехню за істину, використовуючи для цього логічні або семантичні помилки.

Мова йде тільки про те, що слово «софізм» має, окрім цього сучасного і добре сталого сенсу, ще і інший сенс. У цьому іншому сенсі софізм є неминучим на певному етапі розвитку теоретичного мислення форму постановки проблем. Схожим чином і само слово «софіст» означає не тільки «інтелектуального шахрая», але і філософа, що вперше задумався над проблемами мови і логіки.

Все в історії повторюється, з'являючись вперше як трагедія, а в другій — як фарс. Перефразовуючи цей афоризм, можна сказати, що софізм, що вперше висуває деяку проблему, є, по суті, трагедією недостатньо зрілого і недостатньо знаючого розуму, що намагається якось зрозуміти те, що він поки не здатний виразити навіть у формі питання. Софізм, що вуалює відому і, можливо, вже розв'язану проблему, повторює тим самим те, що вже пройдене, є, звичайно, фарсом.

Розуміння проблем доведення і спростування було б неповним без з'ясування понять парадоксу і антиномії.

Парадокс - певною мірою вмотивоване судження, що супере­чить здоровому глузду. В широкому значенні - неочевидне вис­ловлювання, істинність якого встановлюється досить важко, в цьому розумінні парадоксальними прийнято називати будь-які несподівані висловлювання, особливо якщо несподіваність їх смис­лу виражена в дотепній формі.

У логіці парадоксом називають висловлювання в точно­му розумінні слова такі, що суперечать логічним законам: недоведеність парадоксів — основна вимога, яка ставиться до логічних і логіко-математичних числень, аксіоматичних наукових теорій .

Деякі парадокси були висловлені ще мислителями Дав­нього світу. До найвідоміших із них належать «Брехун», «Купа», «Ахіллес і черепаха» тощо. Причини виникнення парадоксів пояснюють по-різному. Радянські філософи ос­новну увагу звертали на наявність у матеріальному світі об'єктивних суперечностей, які відображаються в мисленні, зокрема й у формі парадоксів та антиномій. Логічними при­чинами парадоксаль-них думок вважають те, що в теоре­тичних системах, які містять парадокси, недостатньо з'я­совані деякі фундаментальні поняття.

«Король логічних парадоксів»

Найбільш відомим і, мабуть, найцікавішим зі всіх логічних парадоксів є парадокс «брехуна». Він-то головним чином і прославив ім'я що відкрив його згадуваного вже Евбуліда з Мілета.

Є багато варіантів цього парадоксу, або антиномії, багато хто з яких є тільки по видимості парадоксальними.

У простому варіанті «брехуна» чоловік вимовляє всього одну фразу: «Я брешу». Або говорить: «Вислів, який я зараз вимовляю, є помилковим». Або:«Цей вислів помилковий».

Якщо вислів помилковий, то той, що говорить сказав правду і, значить, сказане їм не є брехнею. Якщо ж вислів не є помилковим, а той, що говорить стверджує, що воно помилкове, то це його вислів помилковий. Виявляється, таким чином, що, якщо той, що говорить бреше, він говорить правду, і навпаки.

В середні віки поширеним було таке формулювання:

— Сказане Платоном — помилково, — говорить Сократ.

— Те, що сказав Сократ, — істина, — говорить Платон.

Виникає питання, хто з них висловлює істину, а хто — брехня?

А ось сучасне перефразовування цього парадоксу. Допустимо, що на лицьовій стороні картки написані тільки слова: «На іншій стороні цієї картки написаний дійсний вислів». Ясно, що ці слова є осмисленим твердженням. Перевернувши картку, ми повинні або виявити обіцяний вислів, або його немає. Якщо воно написане на обороті, то воно є або істинним, або немає. Проте на обороті коштують слова: «На іншій стороні цієї картки написаний помилковий вислів» — і нічого більш. Допустимо, що твердження на лицьовій стороні істинно. Тоді твердження на обороті повинне бути істинним, і, значить, твердження на лицьовій стороні повинне бути помилковим. Але якщо твердження з лицьового боку помилково, тоді твердження на обороті також повинне бути помилковим, і, отже, твердження на лицьовій стороні повинне бути істинним. У результаті — парадокс.

Парадокс «брехуна» справив величезне враження на греків. І легко зрозуміти чому. Питання, яке в нім ставиться, з першого погляду здається зовсім простим: чи бреше той, хто говорить тільки те, що він бреше? Але відповідь «та» приводить до відповіді «кет», і навпаки. І роздум нітрохи не прояснює ситуацію. За простотою і навіть повсякденністю питання воно відкриває якусь неясну і невимірну глибину.

Ходить навіть легенда, що якийсь Філіт Косський, зневірившись вирішити цей парадокс, наклав на себе руки. Говорять також, що один з відомих старогрецьких логіків, Діодор Кронос, вже на схилі віку дав обітницю не приймати їжу до тих пір, поки не знайде вирішення «брехуна», і незабаром помер, так нічого і не добившись.

В середні віки цей парадокс був віднесений до так званих «нерозв'язних пропозицій» і зробився об'єктом систематичного аналізу.

У новий час «брехун» довго не привертав ніякої уваги. За ним не бачили ніяких, навіть малозначних утруднень, що стосуються вживання мови. І лише в наше, так званий новітній час розвиток логіки досяг нарешті рівня, коли проблеми, що стоять, як представляється, за цим парадоксом, стало можливим формулювати вже в строгих термінах.

Тепер «брехун» — цей типовий «колишній софізм» — нерідко іменується «королем логічних парадоксів». Йому присвячена обширна наукова література.

І проте, як і у разі багатьох інших парадоксів, залишається не цілком ясним, які саме проблеми ховаються за ним і як слід позбавлятися від нього.

«Розшарування» мови

Зараз «брехун» зазвичай вважається характерним прикладом тих труднощів, до яких веде змішення двох мов: «наочної мови», на якій мовиться про лежачу поза мовою дійсність, і «метамови», на якій говорять про найнаочнішу мову.

У повсякденній мові немає відмінності між цими рівнями: і про дійсність, і про мову ми говоримо на одній і тій же мові. Наприклад, людина, рідною мовою якого є російська мова, не бачить ніякої особливої різниці між твердженнями: «Стекло прозоро» і «Вірно, що стекло прозоро», хоча одне з них говорить про скло, а інше — про вислів щодо скла.

Якби у когось виникла думка про необхідність говорити про світ на одній мові, а про властивості цієї мови — на іншому, він міг би скористатися двома різними існуючими мовами, допустимий російським і англійським. Замість того, щоб просто сказати: «Корова — цей іменник» сказав би «Корова is а noun», а замість: «Твердження «Стекло не прозоро» помилково» вимовив би: «Стекло не прозоро» is a false» . При такому використанні двох різних мов сказане про світ ясно відрізнялося б від сказаного про мову, за допомогою якої говорять про світ. Насправді, перші вислови відносилися б до російської мови, тоді як другі — до англійського.

Якби далі нашому знавцеві мов захотілося висловитися з приводу якихось обставин, що стосуються вже англійської мови, він міг би скористатися ще однією мовою, допустимий німецьким. Для розмови про це останнє можна було б удатися, покладемо, до іспанської мови і так далі.

Виходить, таким чином, своєрідна драбинка, або ієрархія мов, кожен з яких використовується для цілком певної мети: на першому говорять про наочний світ, на другому — про цю першу мову, на третьому — про другу мову і так далі Таке розмежування мов по області їх застосування — рідкісне явище в звичайному житті. Але в науках, що спеціально займаються, подібно до логіки, мовами, воно іноді виявляється вельми корисним. Мова, на якій міркують про світ, зазвичай називають наочною мовою. Мову, використовувану для опису наочної мови, іменують метамовою.

Ясно, що, якщо мова і метамова розмежовуються вказаним чином, твердження «Я брешу» вже не може бути сформульовано. Воно говорить про помилковість того, що сказане російською мовою, і, значить, відноситься до метамови і повинне бути висловлене англійською мовою. Конкретно, воно повинне звучати так: («Все сказане мною по-російськи помилково»), в цьому англійському твердженні нічого не мовиться про нього самого, і ніякого парадоксу не виникає.

Розрізнення мови і метамови дозволяє усунути парадокс «брехуна». Тим самим з'являється можливість коректно, без суперечності визначити класичне поняття істини: істинним є вислів, відповідний описуваній ним дійсності.

Поняття істини, як і все інші семантичні поняття, має відносний характер: воно завжди може бути віднесене до певної мови.

Як показав польський логік А. Тарський, класичне визначення істини повинне формулюватися в мові ширшому, ніж та мова, для якої воно призначене. Іншими словами, якщо ми хочемо вказати, що означає оборот «вислів, істинний в даній мові» потрібно, крім виразів цієї мови, користуватися також виразами, яких в нім немає.

А. Тарський ввів поняття семантично замкнутої мови. Така мова включає, крім своїх виразів, їх імена, а також, що важливо підкреслити, вислову про істинність формульо-ваних в нім пропозицій.

Межі між мовою і метамовою в семантично замкнутій мові не існує. Засоби його настільки багаті, що дозволяють не тільки щось затверджувати про внеязыковой реальність, але і оцінювати істинність таких тверджень. Ці засоби досить, зокрема, для того, щоб відтворити в мові антиномію «брехуна». Семантично замкнута мова вияв-ляється, таким чином, внутрішньо суперечливим. Кожна природна мова є, очевидно, семантично замкнутим.

Єдино прийнятний шлях для усунення антиномії, а значить, і внутрішній суперечності — це згідно А. Тарському відмова від вживання семантично замкнутої мови. Цей шлях прийнятний, звичайно, тільки у разі штучних, формалізованих мов, що допускають ясний підрозділ на мову і метамову. У природних же мовах з їх неясною структурою і можливістю говорити про все на одній і тій же мові такий підхід не дуже реальний. Ставити питання про внутрішню несуперечність цих мов не має сенсу. Їх багаті виразні можливості мають і свою зворотну сторону — парадокси.

«Бути спантеличеним завжди...»

Отже, існують вислови, що говорять про свою власну істинність або помилковість. Ідея, що такого роду вислови не є осмисленими, дуже стара. Її відстоював ще старо-грецький логік Хрісіпп.

В середні віки англійський філософ і логік У. Оккам заявляв, що твердження «Всякий вислів помилковий» безглуздо, оскільки воно говорить в числі іншого і про свою власну помилковість. З цього твердження прямо виходить суперечність. Якщо всякий вислів помилковий, то це відноситься і до самого даного твердження; але те, що воно помилкове, означає, що не всякий вислів є помилковим. Аналогічно йде справа і з твердженням «Всякий вислів істинний». Воно також повинне бути віднесене до безглуздих і також веде до суперечності: якщо кожен вислів істинний, то істинним є і заперечення саме цього вислову, тобто вислів, що не всякий вислів істинний.

Чому, проте, вислів не може осмислено говорити про свою власну істинність або помилковість?

Вже сучасник У. Оккама, французький філософ XIV століття Ж. Бурідан, не був згоден з його рішенням. З погляду звичайних уявлень про безглуздя виразу типу «Я брешу», «Всякий вислів істинний (помилково)» і тому подібне цілком осмислені. Про що можна подумати, про те можна висловитися — такий загальний принцип Же. Бурідана. Людина може думати про істинність твердження, яке він вимовляє, значить, він може і висловитися про це. Не всі твердження, що говорять про самих собі, відносяться до безглуздих. Наприклад, твердження «Ця пропозиція написана по-російськи» є істинним, а твердження «В цій пропозиції десять слів» помилкові. І обидва вони абсолютно осмислені. Якщо допускається, що твердження може говорити і про саме собі, то чому воно не здатне з сенсом говорити і про таке своїй властивості, як істинність?

Сам Ж- Бурідан рахував вислів «Я брешу» не безглуздим, а помилковим. Він обґрунтовував це так. Коли чоловік затверджує якась пропозиція, він стверджує тим самим, що воно істинне. Якщо ж пропозиція говорить про себе, що воно само є помилковим, то воно є тільки скороченим формулюванням складнішого виразу, що затверджує одночасно і свою істинність, і свою помилковість. Цей вираз суперечливий і, отже, помилково. Але воно ніяк не безглузде.

Аргументація Ж. Бурідана і зараз іноді вважається переконливою.

Є і інші напрями критики того вирішення парадоксу «брехуна», яке було в деталях розвинено А. Тарським. Чи дійсно в семантично замкнутих мовах — а адже такі всі природні мови — немає ніякої протиотрути проти парадоксів цього типу?

Якби це було так, те поняття істини можна було б визначити строгим чином тільки у формалізованих мовах. Тільки у них вдається розмежувати наочну мову, на якій міркують про навколишній світ, і метамову, на якій говорять про цю мову. Ця ієрархія мов будується за зразком засвоєння іноземної мови за допомогою рідного. Вивчення такої ієрархії привело до багатьом цікавим виводам, і в певних випадках вона істотна. Але її немає в природній мові. Чи дискредитує це його? І якщо так, то в якій саме мірі? Адже в нім поняття істини все-таки уживається, і зазвичай без всяких ускладнень. Чи є введення ієрархії єдиним способом виключення парадоксів, подібних до «брехуна»?

У 30-і роки відповіді на ці питання представлялися, поза сумнівом, ствердними. Проте зараз минулої одностайності вже немає, хоча традиція усувати парадокси даного типу шляхом «розшаровування» мови залишається пануючою.

Останнім часом все більше уваги привертають так звані егоцентричні вирази. У них зустрічаються слова, подібні «я», «це», «тут», «тепер», і їх істинність залежить від того, коли, ким і де вони уживаються. Відома розповідь про купця, який з міркувань реклами вивісив оголошення: «Сьогодні — за готівку, завтра — в кредит». Він вирішив, що це оголошення ні до чого його не зобов'язує: ні у який день не можна сказати, що сьогодні якраз той день, коли наступило завтра. Висловлюється думка, що така ж приблизно хитрість ховається і за «брехуном».

У твердженні «Цей вислів є помилковим» зустрічається слово «це». До якого саме об'єкту воно відноситься? «Брехун» може говорити про те, що слово «це» не відноситься до сенсу даного твердження. Але тоді до чого воно відноситься, що позначає? І чому даний сенс не може бути все-таки позначений словом «це»?

Не вдаючись тут до деталей, варто відзначити тільки, що в контексті аналізу егоцентричних виразів «брехун» наповнюється абсолютно іншим змістом, ніж раніше. Виявляється, він вже застерігає не від змішення мови і метамови, а указує на небезпеки, пов'язані з неправильним вживанням слова «це» і подібні до нього егоцентричних слів.

Проблеми, що зв'язувалися впродовж століть з «брехуном», радикально мінялися залежно від того, чи розглядався він як приклад двозначності, або ж як вираз, що зовні представляється осмисленим, але за своєю суттю безглузде, або ж як зразок змішення мови і метамови, або ж, нарешті, як типовий приклад невірного вживання егоцентричних виразів. І немає упевненості в тому, що з цим парадоксом не виявляться зв'язаними в майбутньому і інші проблеми.

Відомий сучасний фінський логік і філософ Р. фон Врігт писав про свою роботу, присвячену «брехунові», що даний парадокс у жодному випадку не повинен розумітися як локальна, ізольована перешкода, усунена одним винахідливим рухом думки. «Брехун» зачіпає багато найбільш важливих тем логіки і семантики; це і визначення істини, і тлумачення суперечності і докази, і ціла серія важливих відмінностей: між пропозицією і виразимою ним думкою, між вживанням виразу і його згадкою, між сенсом імені і об'єктом, що позначається ним.

Аналогічно йде справа і з іншими логічними парадоксами. «Антиномії логіки, — пише Р. фон Врігт, — спантеличили з моменту свого відкриття і, ймовірно, спантеличуватимуть нас завжди. Ми винні, я думаю, розглядати їх не стільки як проблеми, чекаючі рішення, скільки як невичерпний сирий матеріал для роздуму. Вони важливі, оскільки роздум про них піднімає найбільш фундаментальні питання всієї логіки, а значить, і всього мислення».

На закінчення цієї розмови про «брехуна» можна пригадати курйозний епізод з того часу, коли формальна логіка ще викладалася в школі. У підручнику логіки, виданому в кінці 40-х років, школярам восьмого класу пропонувалося як домашнє завдання — в порядку, так би мовити, розминки — знайти помилку, допущену в цьому простенькому на вигляд парадоксі: «Я брешу». І хай це не покажеться дивним, вважалося, що школярі в більшості своїй успішно справляються з таким завданням.

Нерозв'язна суперечка

У основі одного знаменитого парадоксу лежить неначе невелика подія, що трапилася дві з гаком тисячі років назад і не забуте до цих пір.

У знаменитого софіста Протагора, що жив в V столітті до нової ери, був учень на ім'я Еватл, що навчався праву. За укладеним між ними договором Еватл повинен був заплатити за навчання лише в тому випадку, якщо виграє свій перший судовий процес. Якщо ж він цей перший процес програє, він взагалі не зобов'язаний платити. Проте, закінчивши навчання, Еватл не почав брати участь в процесах. Це тривало досить довго, терпіння вчителя вичерпалося, і він подав на свого учня до суду. Таким чином, для Еватла це перший процес; від нього йому вже не відкрутитися. Свою вимогу Протагор обґрунтував так:

— Яким би не було вирішення суду, Еватл повинен буде заплатити мені. Він або виграє цей свій перший процес, або програє. Якщо виграє, то заплатить через наш договір. Якщо програє, то заплатить згідно цьому рішенню.

Судячи з усього, Еватл був здібним учнем, оскільки він відповів Протагору:

— Дійсно, я або виграю процес, або програю його. Якщо виграю, вирішення суду звільнить мене від обов'язку платити. Якщо вирішення суду буде не в мою користь, значить, я програв свій перший процес і не заплачу через наш договір.

Спантеличений таким оборотом справи, Протагор присвятив цій суперечці з Еватлом особливий твір «Тяжба про плату». На жаль, воно, як і велика частина написаного Протагором, не дійшло до нас. Проте потрібно віддати належне Протагору, що відразу відчув за простим судовим казусом проблему, заслуговуючу спеціального дослідження.

Р. Лейбніц, сам юрист за освітою, також віднісся до цієї суперечки серйозно. У своїй докторській дисертації «Дослідження про заплутані казуси в праві» він намагався показати, що всі випадки, навіть найзаплутаніші, подібно до тяжби Протагора і Еватла, повинні знаходити правильний дозвіл на основі здорового глузду. По думці Р. Лейбніца, суд повинен відмовити Протагору за невчасністю пред'явлення позову, але залишити, проте, за ним право зажадати сплати грошей Еватлом пізніше, а саме після першого виграного ним процесу.

Було запропоновано багато інших вирішень даного парадоксу.

Посилалися, зокрема, на те, що вирішення суду повинне мати велику силу, чим приватна домовленість двох осіб. На це можна відповісти, що, не будь цій домовленості, якій би незначній вона ні здавалася, не було б ні суду, ні його рішення. Адже суд повинен винести свою ухвалу саме по її приводу і на її основі.

Зверталися також до загального принципу, що всяка праця, а значить і праця Прота-гора, повинні бути сплачений. Але ж відомо, що цей принцип завжди мав виключення, тим більше в рабовласницькому суспільстві. До того ж він просто неприкладений до конкретної ситуації суперечки: адже Протагор, гарантуючи високий рівень навчання, сам відмовлявся приймати плату у разі невдачі в першому процесі свого учня.

Іноді міркують так. І Протагор і Еватл — обидва мають рацію частково, і жоден з них в цілому. Кожен з них враховує тільки половину можливостей, вигідну для себе. Повний або всесторонній розгляд відкриває чотири можливості, з яких тільки половина вигідна для одного з тих, що сперечаються. Яка з цих можливостей реалізується, це вирішить не логіка, а життя. Якщо вирок суддів матиме велику силу, чим договір, Еватл повинен буде платити, тільки якщо Програє процес, тобто через вирішення суду. Якщо ж приватна домовленість ставитиметься вище, ніж вирішення суддів, то Протагор отримає плату тільки у разі програшу процесу Еватлу, тобто через договір з Протагором.

Ця апеляція до «життя» остаточно все заплутує. Чим, якщо не логікою, можуть керуватися судді в умовах, коли обставини, що все відносяться до справи, абсолютно ясні? І що це буде за «керівництво», якщо Протагор, що претендує на оплату через суд, доб'ється її, лише програвши процес?

Втім, і вирішення Р. Лейбніца, що здається спочатку переконливим, тільки небагато чим краща рада суду, чим неясне зіставлення «логіки» і «життя». По суті, Г. Лейбніц пропонує змінити заднім числом формулювання договору і звести наклеп, що першим за участю Еватла судовим процесом, результат якого вирішить питання про оплату, не повинен бути суд за позовом Протагора. Думка ця глибока, але не має відношення до конкретного суду. Якби в початковій домовленості була така обмовка, потреби в судовому розгляді взагалі не виникло б.

Якщо під вирішенням даного утруднення розуміти відповідь на питання, винен Еватл сплатити Протагору чи ні,, то всі ці, як і всі інші мислимі рішення, є, звичайно, неспроможними. Вони ппедстчвляют собою не більше ніж відхід від істоти суперечки, є, так би мовити, софістичними прийомами і хитрощами в безвихідній і нерозв'язній ситуації. Бо ні здоровий глузд, ні якісь загальні принципи, що стосуються соціальних відносин, не здатні вирішити суперечку.

Неможливо виконати разом договір в його первинній формі і вирішення суду, яким би останнє не було. Для доказу цього достатньо простих засобів логіки. За допомогою цих же засобів можна також показати, що договір, не дивлячись на його цілком безневинний зовнішній вигляд, внутрішньо суперечливий. Він вимагає реалізації логічно неможливого положення: Еватл винен одночасно і сплатити за навчання і разом з тим не платити.

«Вихід» з безвихідного положення

Людському розуму, звиклому не тільки до своєї сили, але і до своєї гнучкості і навіть виверткості, важко, звичайно, змиритися з цією абсолютною безвихідністю і визнати себе загнаним в безвихідь. Це особливо важко тоді, коли тупикова ситуація створюється самим цим розумом: він, так би мовити, оступається на рівному місці і догоджає в свої власні мережі. І проте доводиться визнати, що іноді, і втім не так вже рідко, угоди і системи правив, що склалися стихійно або введені свідомо, приводять до нерозв'язних, безви-хідних положень. Приклад з недавнього шахового життя ще раз підтвердить цю думку.

Міжнародні правила проведення шахових змагань зобов'язують шахістів записувати партію хід за ходом, ясно і розбірливо. До недавнього часу в правилах було вказано також, що шахіст, що пропустив через нестачу часу запис декількох ходів, винен, «як тільки його цейтнот закінчиться, негайно доповнити свій бланк, записавши пропущені ходи». На основі цієї вказівки один суддя на шаховій олімпіаді 1980 року (Мальта) перервав партію, що проходила в жорстокому цейтноті, і зупинив годинник, заявивши, що контрольні ходи зроблені і, отже, пора привести в порядок запису партій.

— Але дозвольте, — закричав учасник, що знаходився на межі програшу і розраховував тільки на загострення пристрастей в кінці партії, — адже жоден прапорець ще не впав і ніхто і ніколи (так теж записано в правилах) не може підказувати, скільки зроблено ходів!

Суддю підтримав, проте, головний арбітр, що заявив, що дійсно, оскільки цейтнот закінчився, треба, слідуючи букві правив, приступити до запису пропущених ходів.

Сперечатися в цій ситуації було безглуздо: самі правила завели в безвихідь. Залишалося тільки змінити їх формулювання так, щоб подібні випадки не могли виникнути в майбутньому.

Це і було зроблено на конгресі Міжнародної шахової федерації, що проходив в той же час: замість слів «як тільки цейтнот закінчиться» в правилах тепер записано: «Як тільки прапорець вкаже на закінчення часу».

Цей приклад наочно показує, як слід поступати в тупикових ситуаціях. Сперечатися про те, яка сторона має рацію, марно: суперечка нерозв'язна, і переможця в нім не буде. Залишається тільки змиритися з досадою з сьогоденням і поклопотатися про майбутньє. Для цього потрібно так переформулировать початкові угоди або правила, щоб вони не заводили більш за нікого в таку ж безвихідну ситуацію.

Зрозуміло, подібний спосіб дій не ніяке «вирішення нерозв'язної суперечки» і не «вихід з безвихідного положення». Це швидше зупинка перед непереборною перешкодою і дорога в обхід його.

У Стародавній Греції користувалася великою популярністю розповідь про крокодила і матери, співпадаючий по своєму логічному змісту з парадоксом «Протагор і Еватл».

Крокодил вихопив у єгиптянки, що стояла на березі ріки, її дитини. На її благання повернути дитину крокодил, проливши, як завжди, крокодилову злізу, відповів:

— Твоє нещастя зворушило мене, і я дам тобі шанс отримати назад дитину. Вгадай, віддам я його тобі чи ні. Якщо відповіси правильно, я поверну дитину. Якщо не вгадаєш, я його не віддам.

Подумавши, мати відповіла:

— Ти не віддаси мені дитини.

— Ти його не отримаєш, — уклав крокодил. — Ти сказала або правду, або неправду. Якщо те, що я не віддам дитини — правда, я не віддам його, оскільки інакше сказане мною не буде правдою. Якщо сказане — неправда, значить, ти не вгадала, і я не віддам дитини по домовленості.

Проте матери це міркування не здалося переконливим.

— Але ж якщо я сказала правду, то ти віддаси мені дитину, як ми і домовилися. Якщо ж я не вгадала, що ти не віддаси дитини, то ти винен мені його віддати, інакше сказане мною не буде неправдою.

Хто має рацію: мати або крокодил? До чого зобов'язує крокодила дана ним обіцянка? До того, щоб віддати дитину або, навпаки, щоб не віддавати його? І до того і до іншого одночасно. Це обіцянка внутрішньо суперечливо, і, таким чином, воно нездійсненно через закони логіки.

Парадокс Рассела

Найзнаменитішим з відкритих вже в нашому віку парадоксів є антиномія, виявлена Б. Расселом і повідомлена їм в листі к Г. Фреге. Цю ж антиномію обговорювали одночасно в Геттінгене німецькі математики Е. Цермело и Д. Гільберт.

Ідея носилася в повітрі, і її публікацію провело враження бомби, що розірвалася. Цей парадокс викликав в математиці, на думку Д. Гільберта, «ефект повної катастрофи». Нависнула загроза над найпростішими і важливішими логічними методами, найзвичайнішими і кориснішими поняттями.

Відразу ж стало очевидним, що ні в логіці, ні в математиці за всю довгу історію їх існування не було вироблено абсолютно нічого, що могло б послужити основою для усунення антиномії. Явно виявився необхідним відхід від звичних способів мислення. Але з якого місця і в якому напрямі? Наскільки радикальною повинна була стати відмова від сталих способів теоретизування?

З подальшим дослідженням антиномії переконання в необхідності принципово нового підходу неухильно росло. Через півстоліття після її відкриття фахівці з підстав логіки і математики А. Френкель і І. Бархиллел вже без всяких обмовок затверджували: «Ми вважаємо, що будь-які спроби вийти з положення за допомогою традиційних (тобто що мали ходіння до XX сторіччя) способів мислення, що до цих пір незмінно провалювалися, свідомо недостатні для цієї мети».

Сучасний американський логік X. Каррі писав трохи пізніше про цей парадокс: «В термінах логіки, відомої в XIX столітті, положення просто не піддавалося поясненню, хоча, звичайно, в наше освічене століття можуть знайтися люди, які побачать (або поду-мають, що побачать), в чому ж полягає помилка».

Парадокс Рассела в первинній його формі пов'язаний з поняттям множини, або класу.

Можна говорити про безліч різних об'єктів, наприклад про безліч всіх людей або про безліч натуральних чисел. Елементом першої множини буде всяка окрема людина, елементом другого — кожне натуральне число. Допустимо також самі множини розглядати як деякі об'єкти і говорити про безліч множин. Можна ввести навіть такі поняття, як безліч всіх множин або безліч всіх понять.

Щодо будь-якої довільно узятої множини представляється осмисленим запитати, є воно своїм власним елементом чи ні. Множини, що не містять себе як елементу, назвемо звичайними. Наприклад, безліч всіх людей не є людиною, так само як множина атомов—это не атом. Незвичайними будуть множини, що є власними елементами. Наприклад, мно-жиною, об'єднуючою всі множини, є множина і, значить, містить само себе як елемент.

Очевидно, що кожна множина є або звичайною, або незвичайною.

Розглянемо тепер безліч всіх звичайних множин. Оскільки воно множина, про нього теж можна питати, звичайне воно або незвичайне. Відповідь, проте, виявляється такою, що бентежить. Якщо воно звичайне, то згідно своєму визначенню повинно містити само себе як елемент, оскільки містить всі звичайні множини. Але це означає, що воно є незвичайним множиною. Допущення, що нашою множиною є звичайна множина, приводить, таким чином, до суперечності. Значить, воно не може бути звичайним. З іншого боку, воно не може бути також незвичайним: незвичайна множина містить само себе в яккості елемента, а елементами нашої множини є тільки звичайні множини. У результаті приходимо до висновку, що безліч всіх звичайних множин не може бути ні звичайною, ні незвичайною множиною.

Отже, безліч всіх множин, що не є власними елементами, є свій елемент в тому і лише тому випадку, коли воно не є таким елементом. Це явна суперечність. І отримано його на основі найправдоподібніших припущень і за допомогою безперечних неначе кроків.

Суперечність говорить про те, що такої множини просто не існує. Але чому воно не може існувати? Адже воно складається з об'єктів, що задовольняють чітко певній умові, причому само умова не здається якоюсь винятковою або неясною. Якщо так просто і ясно задана множина не може існувати, то в чому, власне, полягає відмінність між можливими і неможливими множинами? Вивід про неіснування даної множини звучить несподівано і вселяє неспокій. Він робить наше загальне поняття множини аморфним і хаотичним, і немає гарантії, що воно не здатне породити якісь нові парадокси.

Парадокс Рассела чудовий своєю крайньою спільністю. Для його побудови не потрібні які-небудь складні технічні поняття, як у разі деяких інших парадоксів, достатньо понять «множини» і «елементу множини». Але ця простота якраз і говорить про його фундаментальність: він зачіпає найглибші підстави наших міркувань про множини, оскільки говорить не про якісь спеціальні випадки, а про множини взагалі.

Парадокс Рассела не має специфічно математичного характеру. У нім використовується поняття множини, але не зачіпаються якісь особливі, пов'язані саме з математикою його властивості. Це стає очевидним, якщо переформулировать парадокс в чисто логічних термінах.

Про кожну властивість можна, ймовірно, питати, прикладено воно до самого собі чи ні. Властивість бути гарячим, наприклад, неприкладено до самого собі, оскільки само немає гарячим; властивість бути конкретним теж не відноситься до самого собі, бо це абстрактна властивість. Але властивість бути абстрактним, будучи абстрактним, прикладено до самого собі. Назвемо ці непридатні до самих собі властивості неприкладений ы мі. Чи застосовна властивість бути неприкладеним до самого собі? Виявляється, що незастосовність є неприкладеною тільки в тому випадку, якщо вона немає такій. Це, звичайно, парадоксально.

Логічна, така, що стосується властивостей різновид антиномії Рассела такий же парадоксальний, як і математична, така, що відноситься до множин, її різновид.

Б. Рассел запропонував також наступний популярний варіант відкритого ним парадоксу.

Уявимо, що рада одного села так визначила обов'язки перукаря цього села: голити всіх чоловіків села, які не голяться самі, і лише цих чоловіків. Чи винен він голити самого себе? Якщо так, то він відноситиметься до тим, хто голиться сам, а тих, хто голиться сам, він не повинен голити. Якщо немає, він належатиме до тим, хто не голиться сам, і, значить, він повинен буде голити себе. Ми приходимо, таким чином, до висновку, що цей перукар голить себе в тому і лише тому випадку, коли він не голить себе. Це, зрозуміло, неможливо.

Міркування про перукаря спирається на допущення, що такий перукар існує. Отримана суперечність означає, що це допущення помилкове, і немає такого жителя села, який голив би всіх тих і лише тих її жителів, які не голяться самі.

Обов'язки перукаря не здаються на перший погляд суперечливими, тому вивід, що його не може бути, звучить декілька несподівано. Але цей вивід не є все-таки парадоксальним. Умова, якій повинен задовольняти «сільський цирульник», насправді внутрішньо суперечливо і, отже, нездійсненно. Подібного перукаря не може бути в селі з тієї ж причини, по якій в ній немає людини, яка була б старша за саме себе або який народився б до свого народження.

Міркування про перукаря може бути назване псевдопарадоксом. По своєму ходу воно строге аналогічно парадоксу Рассела і цим цікаво. Але воно все-таки не є справжнім парадоксом.

Іншим прикладом такого ж псевдопарадоксу є відоме міркування про каталог.

Якась бібліотека вирішила скласти бібліографічний каталог, в який входили б все ті і лише ті бібліографічні каталоги, які не містять посилання на самих себе. Чи повинен такий каталог включати посилання на себе?

Неважко показати, що ідея створення такого каталога неосуществима; він просто не може існувати, оскільки винен одночасно і включати посилання на себе і не включати.

Цікаво відзначити, що складання каталога всіх каталогів, що не містять посилання на самих себе, можна представити як нескінченний процес, що ніколи не завершується.

Допустимо, що в якийсь момент був складений каталог, скажемо Кь що включає всі відмінні від нього каталоги, що не містять посилання на себе. Із створенням К1 з'явився ще один каталог, що не містить посилання на себе. Оскільки завдання полягає в тому, щоб скласти повний каталог всіх каталогів, що не згадують себе, то очевидно, що Кл не є її рішенням. Він не згадує один з таких каталогів — самого себе. Включивши в К.1 це згадка про нього самого, отримаємо каталог К2 В нім згадується К1 але не сам К2 додавши до К2 таку згадку, отримаємо Кз, який знову-таки неповний через те, що не згадує самого себе. І так далі без кінця.

Парадокси Греллінга і Беррі

Цікавий логічний парадокс був відкритий німецькими логіками К. Греллінгом и Л. Нельсоном («парадокс Греллінга»). Цей парадокс можна сформулювати дуже просто.

Деякі слова, що позначають властивості, володіють тим самим властивістю, яку вони називають. Наприклад, прикметник «російське» само є російським, «багатоскладове» — само багатоскладове, а «п'ятискладове» само має п'ять складів. Такі слова, що відносяться до самих собі, називаються самозначними, або ауто-логічними. Подібні слів не так багато, в переважній більшості прикметники не володіють званими кожним з них властивістю. «Нове» немає, звичайно, новим, «гарячіше» — гарячим, «одно-складове» — що складається з одного складу, а «англійське» — англійським. Слова, що не мають властивості, що позначається ними, називаються іншозначними або гетерологічними. Очевидно, що всі прикметники, що позначають властивості, неприкладені до слів, будуть гетерологічними.

Це розділення прикметників на дві групи здається ясним і не викликає заперечень. Воно може бути поширене і на іменники: «слово» є словом, «іменник» — іменником, але «годинник» — це не годинник і «дієслово» — не дієслово.

Парадокс виникає, як тільки задається питання: до якої з двох груп відноситься само прикметник «гетерологічне»? Якщо воно аутологическое, воно володіє властивістю, що позначається ним, і повинно бути гетеро-логічним. Якщо ж воно гетерологічне, воно не має званої ним властивості і повинно бути тому аутологічним. У наявності парадокс.

По аналогії з цим парадоксом легко сформулювати інші парадокси такої ж структури. Наприклад, є або не є самоубийцей той, хто вбиває кожного несамоубийцу і не вбиває жодну самовбивцю?

Виявилось, що парадокс Греллінга був відомий ще в середні століття як антиномія виразу, що не називає самого себе. Можна уявити собі відношення до софізмів і парадоксів в новий час, якщо проблема, що вимагала перед цим відповіді і що викликала жваві спори, виявилася раптом забутою і була переоткрыта тільки п'ятсот років опісля!

Ще одна, зовні проста антиномія була вказана на самому початку нашого століття Д. Беррі.

Безліч натуральних чисел нескінченна. Безліч же тих імен цих чисел, які є, наприклад, в російській мові і містять менше ніж, допустимий, сто слів, є кінцевим. Це означає, що існують такі натуральні числа, для яких в російській мові немає імен, що складаються менш ніж із ста слів. Серед цих чисел є, очевидно, найменше число. Його не можна назвати за допомогою російського виразу, що містить менше ста слів. Але вираз: «Найменше натуральне число, для якого не існує в російській мові його складне ім'я, що складається менш ніж із ста слів», є якраз ім'ям цього числа! Це ім'я тільки що сформульоване в російській мові і містить тільки дев'ятнадцять слів. Очевидний парадокс: названим виявилося те число, для якого немає імені!

Два-три приклади

Добре відомий опис Н. Гоголем ігри Чичикова з Ніздряним в шашки. Їх партія так і не закінчилася. Чичиков відмітив, що Ноздрев шахраює, і відмовився грати, побоюючись програшу. Недавно один фахівець з шашок відновив по репліках тих, що грали хід цієї партії і показав, що позиція Чичикова не була ще безнадійною.

Допустимо, що Чичиков все-таки продовжив гру і врешті-решт виграв партію, не дивлячись на шахрайство партнера. По домовленості Ноздрев, що програв, повинен віддати Чичикову п'ятдесят рублів і «яке-небудь щеня середньої руки або золота печатка до годинника». Але Ноздрев швидше за все відмовляється платити, упираючи на те, що він сам всю гру шахраював, а гра не по правилах — це як би і не гра. Чичиков може заперечити, що розмова про шахрайство тут ні до місця: шахраював сам проигравший, значить, він тим більше повинен платити.

Насправді, повинен був би платити Ноздрев в подібній ситуації чи ні? З одного боку, так, оскільки він програв. Але з іншої — ні, оскільки гра велася не по правилах, а це зовсім і не гра. Значить, ні що виграв, ні проигравшего в такій «грі» не може бути. Якби шахраював сам Чичиков, Ноздрев, звичайно, не зобов'язаний був би платити. Але, проте, шахраював Ноздрев, що якраз програв...

Тут відчувається щось парадоксальне: «з одного боку...», «з іншого боку...» і «з обох боків» в рівній мірі переконливо, хоча ці сторони несумісні. Винен все-таки Ноздрев платити чи ні?

Є сенс залишити рішення цього питання читачеві.

У кожного з нас є певні інтуїтивні уявлення про логіку, вироблені деякі сталі навики послідовного і доказового міркування. Корисно було б зараз, спираючись на них, спробувати вирішити, дійсно тут парадокс чи ні. Такий самостійний роздум дозволить в якійсь мірі відчути, наскільки невизначеною і навіть ненадійною є наша інтуїтивна логіка і наскільки складно буває відокремити просте утруднення від справжнього парадоксу. Ще чого один приклад для роздуму.

Раніше йшла мова про сенс безглуздого. З'ясувалося неначе, що сенс безглуздого в тому, що воно не має сенсу. Чи не є це положення парадоксальним?

Мовилося також про спроби відхилитися від парадоксу «брехуна», обмежуючи круг об'єктів, про які можна висловитися. Чи не є парадоксом само твердження: «Жоден вислів не повинен говорити про саме собі»? Адже воно стосується всіх висловів і, значить, говорить щось і про саме собі.

Ці приклади для роздуму не настільки складні, щоб читач не справився з ними самостійно.

Що таке логічний парадокс!

Ніякого вичерпного переліку логічних парадоксів не існує, та він і неможливий.

Розглянуті парадокси — це тільки частина зі всіх виявлених до теперішнього часу. Цілком імовірно, що в майбутньому будуть відкриті і багато інших і навіть абсолютно нові їх типи. Само поняття парадоксу не є настільки визначеним, щоб вдалося скласти список хоч би вже відомих парадоксів.

«Теоретико-множинні парадокси є дуже серйозною проблемою, не для математики, проте, а швидше для логіки і теорії пізнання», — пише австрійського математика і логіка До. Гедель. «Логіка несуперечлива. Не існує ніяких логічних парадоксів, — затверджує соьетский математик Д. Бочвар. — Такого роду розбіжності іноді істотні, іноді словесны. Справа багато в чому в тому, що саме розуміється під «логічним парадоксом».

Необхідною ознакою логічних парадоксів вважається логічний словник. Парадокси, відношувані до логічних, повинні бути сформульовані в логічних термінах. Проте в логіці немає чітких критеріїв ділення термінів на логічних і внелогические. Логіка, що займається правильністю міркувань, прагне звести поняття, від яких залежить правильність практично вживаних виводів, до мінімуму. Але цей мінімум не зумовлений однозначно. Крім того, в логічних термінах можна сформулювати і позалогічні твердження. Чи використовує конкретний парадокс тільки чисто логічні посилки, далеко не завжди вдається визначити однозначно.

Логічні парадокси не відділяються жорстко від всіх інших парадоксів, подібно до того кал останні не відмежовуються ясно від всього непарадоксального і такого, що узгод-жується з пануючими уявленнями.

На перших порах вивчення логічних парадоксів здавалося, що їх можна виділити по порушенню деякого, ще не дослідженого положення або правила логіки. Особливо активно претендував на роль такого правила введений Б. Расселом «принцип порочного круга». Цей принцип стверджує, що сукупність об'єктів не може містити членів, визначних тільки за допомогою цієї ж сукупності.

Всі парадокси мають одну загальну властивість — самозастосовність, або цірдоулярність. У кожному з них об'єкт, про який йде мова, характеризується за допомогою деякої сукупності об'єктів, до якої він сам належить. Якщо ми виділяємо, наприклад, людину як найхитрішого в класі, ми робимо це за допомогою сукупності людей, до якої відноситься і дана людина (за допомогою «його класу»). І якщо ми говоримо: «Цей вислів помилковий», ми характеризуємо вислів, що цікавить нас, шляхом посилання на сукупність всіх помилкових висловів, що включає його.

У всіх парадоксах має місце самозастосовність, а значить, є як би рух по кругу, що приводить врешті-решт до початкового пункту. Прагнучи охарактеризувати об'єкт, що цікавить нас, ми звертаємося до тієї сукупності об'єктів, яка включає його. Проте виявляється, що сама вона для своєї визначеності потребує даного об'єкту і не може бути ясним чином зрозуміла без нього. У цьому крузі, можливо, і криється джерело парадоксів.

Ситуація ускладнюється, проте, тим, що такий круг є також в багатьох абсолютно непарадоксальних міркуваннях. Циркулярною є величезна безліч найзвичайніших, нешкідливіших і разом з тим зручніших способів виразу. Такі приклади, як «найбільший зі всіх міст», «найменше зі всіх натуральних чисел», «один з електронів атома заліза» і т. п., показують, що далеко не всякий випадок самоприменимости веде до суперечності і що вона важлива не тільки в звичайній мові, але і в мові науки.

Просте посилання на використання самоприменимых понять недостатнє, таким чином, для дискредитації парадоксів. Необхідний ще якийсь додатковий критерій, відокремлюючий самопримевимость, ведучу до парадоксу, від всіх інших її випадків.

Були багато пропозицій із цього приводу, але вдалого уточнення циркулярное™ так і не було знайдено. Неможливим виявилося охарактеризувати циркулярність так, щоб кожне циркулярне міркування вело до парадоксу, а кожен парадокс був підсумком деякого циркулярного міркування.

Спроба знайти якийсь специфічний принцип логіки, порушення якого було б відмітною особливістю всіх логічних парадоксів, ні до чого визначеному не привела.

Поза сумнівом корисною була б якась класифікація парадоксів, що підрозділяє їх на типи і види, групує одні парадокси і що протиставляє їх іншим. Проте і в цій справі нічого стійкого не було досягнуто.

Англійський логік Ф. Рамсей, померлий в 1930 році, коли йому ще не виповнилося і двадцяти семи років, запропонував розділити всі парадокси на синтаксичних і семантичних. До перших відноситься, наприклад, парадокс Рассела, до других — парадокси «брехуна», Греллінга і ін.

На думку Ф. Рамсея, парадокси першої групи містять тільки поняття, що належать логіці або математиці. Другі включають такі поняття, як «істина», «визначність», «іменування», «мова», що не є строго математичними, а відносяться швидше до лінгвістики або навіть теорії пізнання. Семантичні парадокси зобов'язані, як здається, своїм виникненням не якійсь помилці в логіці, а смутності або двозначності деяких нелогічних понять, тому поставлені ними проблеми стосуються мови і повинні вирі-шуватися лінгвістикою.

Ф. Рамсею здавалося, що математикам і логікам немає чого цікавитися семантичними парадоксами.

Надалі виявилось, проте, що деякі з найбільш значних результатів сучасної логіки були отримані якраз у зв'язку з глибшим вивченням саме цих «нелогічних» парадоксів.

Запропоноване Ф. Рамсєєм ділення парадоксів широко використовувалося на перших порах і зберігає деяке значення і тепер. Разом з тим стає все яснішим, що це ділення досить-таки розпливчато і спирається по перевазі на приклади, а не на поглиблений порівняльний аналіз двох груп парадоксів. Семантичні поняття зараз отримали точні визначення, і важко не визнати, що ці поняття дійсно відносяться до логіки. З розвитком семантики, що визначає свої основні поняття в термінах теорії множин, відмінність, проведене Ф. Рамсєєм, все більш стирається.

Усунути ще не означає пояснити

Які висновки для логіки виходять з існування парадоксів?

Перш за все наявність великого числа парадоксів говорить якраз про силу логіки як науки, а не про її слабкість, як це може показатися. Виявлення парадоксів не випадково співпало якраз з періодом найбільш інтенсивного розвитку сучасної логіки і найбільших її успіхів.

Перші парадокси були відкриті ще до виникнення логіки як особливої науки. Багато парадоксів було виявлено в середні віки. Пізніше вони опинилися, проте, забутими і були знов відкриті вже в нашому віку.

Середньовічним логікам не були відомі поняття «множина» і «елемент множини», введені в науку тільки в другій половині XIX століття. Але «чуття» на парадокси було вигострене в середні віки настільки, що вже в той давній час висловлювалися певні побоювання з приводу «самозастосовних» понять. Простим їх прикладом є поняття «Бути власним елементом», що фігурує в багатьох нинішніх парадоксах.

Проте такі побоювання, як і взагалі всі застереження, що стосуються парадоксів, не були до нашого століття в належній мірі систематичними і визначеними. Вони не вели до яких-небудь чітких пропозицій про перегляд звичних способів мислення і виразу.

Тільки сучасна логіка витягувала із забуття саму проблему парадоксів, відкрила або переоткрыла більшість конкретних логічних парадоксів. Вона показала далі, що способи мислення, що традиційно дослідилися логікою, абсолютно недостатні для усунення парадоксів, і вказала принципово нові прийоми поводження з ними.

Парадокси ставлять важливе питання: у чому, власне, підводять нас деякі звичайні методи утворення понять і методи міркувань? Адже вони представлялися абсолютно природними і переконливими, поки не виявилося, що вони парадоксальні.

Парадоксами підривається віра в те, що звичні прийоми теоретичного мислення самі по собі і без жодного особливого контролю за ними забезпечують надійне просування до істини.

Вимагаючи радикальних змін в надмірно довірливому підході до теоретизування, парадокси є різкою критикою логіки в її наївній, інтуїтивній формі. Вони грають роль чинника, контролююче і ставляче обмеження на шляху конструювання дедуктивних систем логіки. І цю їх роль можна порівняти з роллю експерименту, перевіряючого правильність гіпотез в таких науках, як фізика і хімія, і що примушує вносити до цих гіпотез зміни.

Парадокс в теорії говорить про несумісність допущень, лежачих в її основі. Він виступає як своєчасно виявлений симптом хвороби, без якого її можна було б і продивитися.

Зрозуміло, хвороба виявляється багатообразно, і її врешті-решт вдається розкрити і без таких гострих симптомів, як парадокси. Скажімо, підстави теорії множин були б проаналізовані і уточнені, якби навіть ніякі парадокси в цій області не були виявлені. Але не було б тієї різкості і невідкладності, з якою поставили проблему перегляду теорії множин виявлені в ній парадокси.

Парадоксам присвячена обширна література, запропоновано велике число їх пояснень. Але жодне з цих пояснень не є загальновизнаним, і скільки-небудь повної згоди в питанні про походженні парадоксів і способах позбавлення від них немає.

«За останні шістдесят років сотні книг і статей були присвячені цілі дозволу парадок-сів, проте результати вражаюче бідні порівняно з витраченими зусиллями», — пише А. Френкель. «Схоже на те, — укладає свій аналіз парадоксів X. Каррі, — що потрібний повна реформа логіки, і математична логіка може стати головним інструментом для проведення цієї реформи».

Слід звернути увагу на одну важливу відмінність. Усунення парадоксів і їх дозвіл — це зовсім не одне і те ж. Усунути парадокс з деякої теорії — означає перебудувати її так, щоб парадоксальне твердження опинилося в ній недоказовим. Кожен парадокс спирається на велике число визначень, допущень і аргументів. Його вивід в теорії є деяким ланцюжком міркувань. Формально кажучи, можна поставити під сумнів будь-яку її ланку, відкинути його і тим самим розірвати ланцюжок і усунути парадокс. У багатьох роботах так і поступають і цим обмежуються.

Але це ще не дозвіл парадоксу. Мало знайти спосіб, як його виключити, треба переконливо обгрунтувати пропоноване рішення. Само сумнів в якомусь кроці, ведучому до парадоксу, повинно бути добре обгрунтовано.

Перш за все рішення про відмову від якихось логічних засобів, використовуваних при виведенні парадоксального твердження, повинно бути пов'язано з нашими загальними міркуваннями щодо природи логічного доказу і іншими логічними інтуіціями. Якщо цього немає, усунення парадоксу виявляється позбавленим твердих і стійких підстав і вироджується в технічне по перевазі завдання.

Крім того, відмова від якогось допущення, навіть якщо він і забезпечує усунення деякого конкретного парадоксу, зовсім не гарантує автоматично усунення всіх парадоксів. Це говорить про те, що за парадоксами не слід «полювати» поодинці. Виключення одне з них завжди повинно бути настільки обґрунтовано, щоб з'явилася певна гарантія, що цим же кроком будуть усунені і інші парадокси.

Кожного разу, як виявляється парадокс, пише А. Тарський, «ми повинні піддати наші способи мислення ґрунтовної ревізії, відкинути якісь посилки, в які вірили, і удосконалити способи аргументації, якими користувалися. Ми робимо це, прагнучи не тільки позбавитися від антиномій, але і з метою не допустити виникнення нових».

І нарешті, непродумана і необережна відмова від дуже багато або дуже сильних допущень може привести просто до того, що вийде що хоча і не містить парадоксів, але істотно слабкіша теорія, що має тільки приватний інтерес.

Яким може бути мінімальний, найменш радикальний комплекс мерів, що дозволяють уникнути відомих парадоксів?

Один шлях — це виділення разом з дійсними і помилковими пропозиціями також безглуздих пропозицій. Цей шлях був прийнятий Би. Расселом. Парадоксальні міркування були оголошені ним безглуздими на тій підставі, що в них порушуються вимоги логічної граматики. Не всяка пропозиція, що не порушує правил звичайної граматики, є осмисленою — воно повинне задовольняти також правилам персоною, логічної граматики.

Б. Рассел побудував теорію логічних типів — своєрідну логічну граматику, завданням якої було усунення всіх відомих антиномій. Надалі ця теорія була істотно спрощена і отримала назву простій теорії типів.

Основна ідея теорії типів — виділення різних в логічному відношенні типів предметів, введення своєрідної ієрархії, або сходів, даних об'єктів. До нижчого, або нульовому, типу відносяться індивідуальні об'єкти, що не є множинами. До першого типу відноситься безліч об'єктів нульового типу, тобто індивідів; до другого — безліч безлічі індивідів і так далі Іншими словами, проводиться відмінність між предметами, властивостями предметів, властивостями властивостей предметів і так далі При цьому вводяться певні обмеження на конструювання пропозицій. Властивості можна приписувати предметам, властивості властивостей — приписувати властивостям і так далі Але не можна осмислено стверджувати, що властивості властивостей є у предметів.

Візьмемо серію пропозицій:

Цей будинок — червоний.

Червоне — це колір.

Колір — це оптичне явище.

У цих пропозиціях вираз «цей будинок» позначає певний предмет, слово «червоний» указує на властивість, властиву даному предмету, «бути кольором» — на властивість цієї властивості («бути червоним») і «бути оптичним явищем» — указує на властивість властивості «бути кольором», що належить властивості «бути червоним». Тут ми маємо справу не тільки з предметами і їх властивостями, але і з властивостями властивостей («властивість бути червоним має властивість бути кольором»), і навіть з властивостями властивостей.

Всі три пропозиції з приведеної серії є, звичайно, осмисленими. Вони побудовані відповідно до вимог теорії типів. А скажемо, пропозиція «Цей будинок є колір» порушує дані вимоги. Воно приписує предмету ту характеристику, яка може належати тільки властивостям, але не предметам. Аналогічне порушення міститься і в пропозиції «Цей будинок є оптичним явищем». Обидва ці пропозиції повинні бути віднесені до безглуздих.

Проста теорія типів усуває парадокс Рассела. Проте для усунення парадоксів «брехуна» і Беррі просте розділення даних об'єктів на типи вже недостатньо. Необхідно вводити додатково деяке впорядкування усередині самих типів.

Виключення парадоксів може бути досягнуте також на шляху відмови від викори-стання «дуже великих» множин, подібних до безлічі всіх множин. Цей шлях був запропонований німецьким математиком Е.Цермело, що зв'язав появу парадоксів з необмеженим конструюванням множин. Допустимі множини були визначені ним деяким списком аксіом, сформульованих так, щоб з них не виводилися відомі парадокси. Разом з тим ці аксіоми були достатньо сильні для виводу з них звичайних міркувань класичної математики, але без парадоксів. Ні ці два, ні інші шляхи усунення парадоксів, що пропонувалися, не є загальновизнаними. Немає єдиного переконання, що якась із запропонованих теорій вирішує логічні парадокси, а не просто відкидає їх без глибокого пояснення. Проблема пояснення парадоксів як і раніше відкрита і як і раніше важлива.

Парадокси — тільки симптом

У Р. Фреге, що визнається тепер багатьма найбільшим логіком минулого століття, був, на жаль, дуже поганий характер. Крім того, він був беззастережний і навіть жорстокий в своїй критиці сучасників. Можливо, тому його внесок в логіку і обґрунтування математики довго не отримували визнання. І ось коли воно почало приходити до нього, молодий англійський логік Б. Рассел написав йому, що в системі, опублікованій в першому томі його найбільш важливої книги «Основні закони арифметики», виникає суперечність. Другий том цієї книги був вже у пресі, і Г. Фреге лише додав до нього спеціальне застосування, в якому виклав цю суперечність (пізнє назване «парадоксом Рассела») і визнав, що він не здатний його усунути.

Наслідки були для Г. Фреге трагічними. Йому було тоді всього п'ятдесят п'ять років, але після випробуваного потрясіння він не опублікував більше жодної значної роботи по логіці, хоча прожив ще більше двадцяти років. Він не відгукнувся навіть на жваву дискусію, названу парадоксом Рассела, і ніяк не прореагував на численні рішення, що пропонувалися, цього парадоксу.

Враження, проведене на математиків і логіків тільки що відкритими парадоксами, добре виразив Д. Гільберт: «...стан, в якому ми знаходимося зараз відносно парадоксів, на тривалий час нестерпно. Подумайте: у математиці — цьому зразку достовірності і істинності — утворення понять і хід висновків, як їх всякий вивчає, викладає і застосовує, приводить до безглуздості. Де ж шукати надійність і істинність, якщо навіть само математичне мислення дає осічку?»

Г. Фреге був типовим представником логіки кінця XIX століття, вільної від яких би то не було парадоксів, логіки, що упевненої в своїх можливостях і претендує на те, щоб бути критерієм строгості навіть для математики. Парадокси показали, що «абсолютна строгість», досягнута нібито логікою, була не більше ніж ілюзією. Вони безперечно показали, що логіка — в тому інтуїтивному вигляді, який вона мала на рубежі століть, — потребує глибокого перегляду.

Пройшло більш за півстоліття з тих пір, як почалося жваве обговорення парадоксів. Зроблена ревізія логіки так і не привела, проте, до недвозначного їх дозволу.

І разом з тим такий стан навряд чи кому здається тепер нестерпним. З часом відношення до парадоксів стало спокійнішим і навіть терпимішим, ніж у момент їх виявлення.

Річ не лише в тому, що парадокси зробилися чимось хоча і неприємним, але проте звичним. І зрозуміло, не в тому, що з ними змирилися. Вони все ще залишаються в центрі уваги логіків, пошуки їх рішень активно продовжуються.

Ситуація змінилася перш за все в тому відношенні, що парадокси опинилися, так би мовити, локалізованими. Вони знайшли своє певне, хоча і неспокійне місце в широкому спектрі логічних досліджень.

Стало ясно, що абсолютна строгість, якою вона малювалася в кінці минулого століття і навіть іноді на початку нинішнього, — це в принципі недосяжний ідеал.

Було усвідомлено також, що немає одної-єдиної, вартою осібно проблем парадоксів. Проблеми, пов'язані з ними, відносяться до різних типів і зачіпають, по суті, всі основні розділи логіки. Виявлення парадоксу примушує глибше проаналізувати наші логічні інтуїції і зайнятися систематичною переробкою основ науки логіки. При цьому прагнення уникнути парадоксів немає ні єдиною, ні навіть, мабуть, головним завданням. Вони є хоча і важливими, але тільки приводом для роздуму над центральними темами логіки. Продовжуючи порівняння парадоксів з особливо виразними симптомами хвороби, можна сказати, що прагнення негайне виключити парадокси було б подібно до бажання зняти такі симптоми, не особливо піклуючись про саму хворобу. Потрібний не просто дозвіл парадоксів, необхідне їх пояснення, що заглиблює наші уявлення про логічні закономірності мислення.

Антиномія (суперечність закону самому собі) — поєднання обопільних суперечних висловлювань про предмет, які припуска­ють однаково переконливі логічні обґрунтування; неусувна супе­речність, що мислиться в ідеї чи законі й виявляється за спроби їх доказового формулювання.

Вчення про антиномії було ґрунтовно викладено в Кан­та, хоча елементи його зустрічалися вже у вченнях Зенона Елейського, Платона, Аристотеля та ін. Тривалий час антиномічні положення називалися апоріями. Термін «антино­мія» був уведений у науковий вжиток німецьким філософом Р. Гокленом (XVI — XVII ст.), котрий, як відомо, відкрив один з різновидів складного скороченого силогізму, де про­пущені більші засновки (тому він і називається гокленієвсь-ким соритом).

Антиномію часто розглядають як один з різновидів па­радоксу.

У логіці під абсурдом зазвичай розуміється внутрішньо суперечливий вираз. У такому виразі щось затверджується і заперечується одночасно, як, скажімо, у вислові «Русалки існують, і русалок немає».

Абсурдним вважається також вираз, який зовні не є суперечливим, але з якого все-таки може бути виведене суперечність. Наприклад, в вислові «Іван Грізний був сином бездітних батьків» є тільки твердження, але немає заперечення і немає відповідно явної суперечності. Але ясно, що з цього вислову витікає очевидна суперечність: «Деяка жінка є матерью, і вона ж не є матерью».

Абсурдне як внутрішньо суперечливе не відноситься, звичайно, до безглуздого. «Розбійник четвертувався на три нерівні половини» — це, зрозуміло абсурдно, проте не безглуздо, а помилково, оскільки внутрішньо суперечливо.

Логічний закон суперечності говорить про неприпустимість одночасного твердження і заперечення. Абсурдним висловом є пряме порушення цього закону.

Розуміння абсурду як заперечення або порушення якогось встановленого закону широко поширено в природних науках.

Згідно фізиці до абсурдних відносяться такі, наприклад, твердження, що не узгоджуються з її принципами, як: «Космонавти долетіли з Юпітера до Землі за три хвилини» і «Щира молитва долає земне тяжіння і підносить людину до бога». Біологічно абсурдні вислови: «Мікроби зароджуються з грязі» і «Людина з'явився на Землі відразу у такому вигляді, в якому він існує зараз».

Ніякої особливої твердості у вживанні слова «абсурд», зрозуміло, не немає. Навіть у логіці «безглузде» і «абсурдне» нерідко уживаються як що мають одне і те ж значення і взаимозаменимые. У звичайній мові абсурдним називається і внутрішньо суперечливе, і безглузде, і взагалі все безглуздо перебільшене, окарикатурене і тому подібне

У логіці розглядаються докази шляхом «приведення до абсурду»: якщо з деякого положення виводиться суперечність, то це положення є помилковим.

Є також художній прийом — доведення до абсурду, що має, втім, з даним доказом тільки зовнішня схожість.

Про ніс американської актриси Барбари Стрейзанд один рецензент сказав: «Її довгий ніс починається від коріння волосся і кінчається у тромбона в оркестрі». Це — абсурдне перебільшення, що претендує на комічний ефект.

І ще приклад — з армійського життя, цікавий не стільки сам по собі, скільки коментарем до нього.

Новобранець-артилерист недурний, але мало цікавиться службою. Офіцер відводить його убік і говорить: «Ти для нас не годишся. Я дам тобі добру раду: купи собі гармату і працюй самостійно».

Звичайний коментар до цієї ради такий: «Рада — явна нісенітниця. Купити гармату не можна, до того ж одна людина, навіть з гарматою, не воїн. Проте за зовнішнім безглуздям переглядає очевидна і осмислена мета: офіцер, що дає артилеристові безглузду пораду, прикидається дурнем, щоб показати, як безглуздо поводиться сам артилерист».

Цей коментар показує, що в звичайній мові «безглуздим» може бути названо і цілком осмислений вислів.

«Він ходжу»

Кожна мова має певні правила побудови складних виразів кз простих, правила синтаксису. Як і всякі правила, вони можуть порушуватися, і це веде до найпростішого і, як здається, найпрозорішому типу безглуздого.

Скажімо, «якщо стіл, то стілець» безглуздо, оскільки синтаксис вимагає, щоб у фразі з «якщо... то...» на місцях многоточий стояли деякі твердження, а не імена. Пропозиція «Червоне є колір» побудовано відповідно до правил. Вираз же «є колір», що розглядається як повний вислів, синтаксично некоректно і, значить, безглуздо.

У штучних мовах логіки правила синтаксису формулюються так, що вони автоматично виключають безглузді послідовності знаків.

У природних мовах справа йде складніше. Їх синтаксис також орієнтований на те, щоб виключати безглузде. Правила його визначають круг синтаксично можливого і в більшості випадків дозволяють виявити те, що, порушуючи правила, виходить з цього круга.

В більшості випадків, але не завжди. У всіх таких мовах правила синтаксису вельми розпливчаті і невизначені, і іноді просто неможливо вирішити, що стоїть ще на межі їх дотримання, а що вже перейшло за неї.

Допустимо, вислів «Місяць зроблений із зеленого сиру» фізично неможливо і, отже, помилково. Але синтаксично воно бездоганне. Щодо ж висловів «Роза червона і одночасно блакитна» або «Звук тромбона жовтий» важко сказати з визначеністю, залишаються вони в рамках синтаксично можливого чи ні.

Крім того, навіть дотримання правил синтаксису не завжди гарантує свідомість. Пропозицію «Квадратічность п'є уява» є, судячи з усього, безглуздим, хоча і не порушує жодного правила синтаксису російської мови.

У звичайному спілкуванні багато що не висловлюється явно. Немає необхідності вимовляти вголос те, що співбесідник зрозуміє і без слів. Сенс сказаної фрази з'ясовується з контексту, в якому вона спожита. Один і той же неповний вираз в одній ситуації звучить осмислено, а в іншій опиняється позбавленим сенсу. Почувши, як хтось сказав: «Більше чотирьох», далеко не завжди можна бути упевненим, що це якась нісенітниця. Як відповідь на питання: «Котра година?» — це вираз цілком осмислено. І в загальному випадку воно всегда буде осмисленим, якщо з ситуації його вживання виявиться можливим відновити ті, що не дістають його ланки.

Контекст — це завжди відома невизначеність. Думка, що спирається на нього, про синтаксичну правильність так же невизначено, як і він сам.

Поет В. Шершеневіч вважав синтаксичні порушення хорошим засобом подолання застылости, омертвіння мови і конструював вислови, подібні «Він ходжу».

Зовні тут явне порушення правил синтаксису. Але тільки контекст здатний показати, чи відсутній в цій конструкції сенс чи і так незрозуміла вона співбесідникові. Адже вона може бути виразом незадоволеності утрудняючими рамками синтаксису. Може підкреслювати якусь незвичність або неприродність ходи того, хто «ходжу», або, навпаки, схожість її з манерою ходити що самого говорить («Він ходить, як я ходжу») і так далі Якщо відступ від правил не є простій недбалістю, а несе якийсь сенс, що уловлюється слухачем, то навіть це синтаксично свідомо неможливе поєднання не можна беззастережно віднести до безглуздого.

І потім, немає правил без порушень. Синтаксичні правила важливі, без них неможлива мова. Проте спілкування людей зовсім не демонстрація всемогутності і безумовної корисності цих правил. Дрібні, мимовільні відступи від них в практиці живої мови явище звичайне.

Іноді синтаксис порушується цілком усвідомлено, з наміром досягти за допомогою цього якогось цікавого ефекту.

Ось цитата з сучасного французького філософа: «Що таке релігійна міфологія, як не абсурдна мрія про ідеальне суспільство? Якщо всяка апологія неприборканого бажання веде до репресії? Якщо заяви про загальну майбутню свободу приховують жадання влади? Якщо релігія — це інше найменування для варварства?» При суто формальному підході тут неправильний синтаксис. Три рази умовний вислів обривається на своїй підставі і залишається без слідства. Але насправді це тільки риторичний прийом, що використовує для більшої виразності видимість відступу від синтаксичних правил.

Відоме всім з шкільних років «Подорож з Петербургу до Москви» А. Радіщева написано мовою, звучною для сучасного слуху незвично: «У одну з ночей, коли цей безстрашний коханець відправився через вали на зір своєю люб'язною, внезапу повстав ветр, йому осоружний, будущу йому на середовищі шляху його. Всі сили його немічні були на подолання розлючених вод». І дивне звучання пов'язане не з тим перш за все, що це проза віддаленого XVIII століття. «Філософи і наставники, — міркував в цей же час Д. Фонвізін, — обписали багато стоп паперу про науку жити щасливо; але видно, що ні прямого шляху до счастию не знали, бо самі жили майже в бідності, тобто нещасно». Це зовсім близько до нашої сучасної мови. У «Подорожі» ж мова нерідко нарочито ос-транеганый (від слова «дивний»), своєрідно пародіюючий піднесений стиль і архаїку. І одним із засобів цієї остранения мови служить вільне поводження з правилами синтаксису російської мови XVIII століття, не особливо, втім, що відрізняються від нинішніх його правил. Очевидно, що порушення синтаксису не веде тут ні до якої неясності сенсу.

Особливо часто страждають правила мови при зіткненні з гумором, для якого кожен штамп — серйозна загроза. «Так це давно трапилося, — жалкує один фейлетоніст, — що нікого як слід і не увиноватишь». «Учені зчіплюються, — констатує інший, — з проблеми «хижак — жертва». «Все рідше зустрічається хутряних виробів», «отшибноеть тут для молодого», «говорить охололо мисливець, заглиблюючись в точіння пили», «яка вивергнеться строгість», «мисливець, сносив самодіяльність обуток, по скелях і чертолому за мисливським об'єктом біжить босоніж», «замокнув на рундуку і текстура: «Закрито» — всі ці вирази, узяті з фейлетонів, в конфлікті з правилами мови. Але це свідомий, творчий конфлікт, покликаний змусити фразу звучати свіжо і ново. І що важливе, правила порушені, а сенс і що спирається на його розуміння залишаються.

ЗАПИТАННЯ ДО РОЗДІЛУ

1. Що ви можете сказати про терміни «доведення» і «ар­гументація»?

2. Яка будова доведення?

3. Що спільного і відмінного мають теза доведення і висновок умовиводу, з допомогою якого вона обґрунтовується?

4. Які є види аргументів?

5. Як визначається «демонстрація»?

6. Які ви знаєте види доведення?

7. Чим прямі доведення відрізняються від непрямих?

8. Що характерне для непрямого доведення?

9. Яке доведення називається апагогічним?

10. Що таке розділове доведення?

11. Які ви знаєте правила стосовно тези доведення?

12. Які помилки виникають внаслідок порушення правил сто­совно тези?

13. Які є правила стосовно аргументів?

14. Які ви знаєте помилки, що виникають при порушенні правил стосовно аргументів?

15. Як формулюється правило стосовно демонстрації дове­дення?

16. Які помилки виникають внаслідок порушення правила стосовно демонстрації?

17. Що таке суперечка, дебати, диспут, полеміка?

18. Як визначається поняття «спростування»?

19. Що таке спростування тези?

20. Що характерне для спростування шляхом обґрунтуван­ня істинності антитези?

21. Яка специфіка спростування шляхом зведення до аб­сурду?

22. Що характерне для спростування аргументів?

23. У чому полягає специфіка спростування демонстрації?

24. Який вид спростувань є найсильнішим і чому?

25. Чи має підстави пропонент повторно проголосити свою тезу, вдаючись до тих самих аргументів, які щойно були спростовані?

26. Чи має підстави опонент, спростувавши аргументи пропонента, оголосити його тезу хибною?

27. Чи має підстави пропонент повторно проголосити свою тезу, вдаючись до тієї ж форми міркування, неспро­можність якої щойно була обґрунтована опонентом?

28. Чи має підстави опонент, встановивши неспроможність форми міркування (демонстрації) пропонента, зробити висновок, що його теза хибна?

29. Чи має підстави опонент, спростувавши і аргументи, і демонстрацію доведення пропонента, оголосити його тезу хибною?

30. Чи має підстави опонент, встановивши невідповідність тези пропонента правилам стосовно тези, оголосити ос­танню хибною?

31. Чи має підстави опонент оголосити свою повну перемогу над пропонентом, обґрунтувавши хибність його тези?

32. Чи має підстави пропонент повторно проголосити свою тезу після того, як він підшукає інші аргументи або іншу демонстрацію замість спростованих опонентом?

33. Як визначаються поняття антиномії та парадоксу?

34. Які види суперечки ви знаєте?

35. Які ви знаєте коректні й некоректні засоби ведення су­перечки?

ВПРАВИ І ЗАДАЧІ

1. Визначте тезу, аргументи і демонстрацію в таких дове­деннях:

а) Всі слова, що означають назву предмета і відповіда­ють на питання «хто?» або «що?», є іменниками, а сло­во «калина» означає назву предмета і відповідає на пи­тання «що?»; отже, слово «калина» є іменником;

б) Чотирикутник АВСD — ромб, оскільки всі сторони його рівні, а чотирикутники, які мають рівні сторони, називаються ромбами;

в) Будь-яка думка, в якій щось стверджується або за­перечується і яка є або істинною, або хибною, є суд­женням. В думці «Клімат Сахари — різко континенталь­ний» наявне ствердження, і вона істинна. Отже, ця думка є судженням;

г) Всі метали електропровідні, оскільки відомо, що за­лізо електропровідне, мідь електропровідна, алюміній електропровідний, золото електропровідне. А залізо, мідь, алюміній, золото — метали. Отже, метали електро­провідні;

д) Кути бувають або гострими, або прямими, або ту­пими. Цей кут гострий. Отже, він не належить ні до прямих, ні до тупих;

є) Сократ (коли переможений ним у словесній дуелі вда­рив його, а хтось із публіки висловив здивування з того, що Сократ змовчав образу) сказав:

— А коли б мене брикнув осел, хіба став би я подавати на нього в суд?

є) Всі прямокутники — паралелограми, бо сторони їх попарно паралельні.

Всі квадрати — прямокутники, оскільки кути їх прямі.

Отже, всі квадрати — паралелограми.

ж) В болотистих місцевостях з теплим кліматом і бага­тою рослинністю часто бувають пропасниці; долина Ріону, що на Кавказі, болотиста, має теплий клімат і ба­гату рослинність; ймовірно, що там теж буває пропас­ниця.

з) А>С, бо А>В, а В>С.

2. Обґрунтуйте ці тези, підшукавши відповідні аргументи та вид міркування (умовиводу):

а) Сума кутів трикутника дорівнює 180°;

б) Всі студенти нашої академічної групи займаються спортом;

в) У цьому році буде добрий урожай картоплі;

г) В цій місцевості можуть бути золоті самородки;

д) Земля обертається навколо Сонця;

є) Будь-яка диктатура несумісна з гуманізмом;

є) Двохтисячний рік буде високосним;

ж) Кількість самогубств у країні не залежить від добро­буту її громадян.

3. У формі яких умовиводів побудовані ці доведення:

а) Це число просте, бо воно ділиться лише на одини­цю і саме на себе;

б) Позаяк живі організми проходять у своєму розвитку ступені народження, розквіту, занепаду і загибелі, то й Суспільство у своєму розвитку проходить такі ж сту­пені

(О. Шпенглер);

в) Столиця України розташована на березі ріки, столиця Китаю розташована на березі ріки, столиця Франції розташована на березі ріки. Отже, ймовірно, що сто­лиці всіх держав розташовані на берегах рік;

г) Або люди походять від інших тварин, або вони існу­вали вічно. Проте останнє неможливе. Тому доводиться визнати, що люди походять від інших тварин.

4 Визначте вид та будову таких доведень:

а) В силогізмі першої фігури менший засновок пови­нен бути стверджувальним. Щоб обґрунтувати цю дум­ку, припустимо, що цей засновок може бути запе­речним. Але тоді й висновок буде заперечним. Більший же засновок має бути неодмінно стверджувальним (з двох заперечних засновків не можна зробити ніякого висновку), а в стверджувальному судженні предикат є нерозподіленим. Оскільки цей силогізм побудований за першою фігурою, то предикат більшого засновку, як більший термін, займе у висновку місце предика­та і стане розподіленим (як предикат заперечного суд­ження), що суперечить правилу стосовно крайнього терміна. Оскільки антитеза («Менший засновок сило­гізму першої фігури може бути нестверджувальним»), виявилася хибною, то теза («Менший засновок у си­логізмі першої фігури повинен бути стверджувальним») є істинною;

б) Цей термін є середнім, оскільки він повторюється в обох засновках силогізму і пов'язує їх між собою;

в) Судження «Всі метали електропровідні» — істинне, оскільки встановлено, що судження «Деякі метали не є електропровідними» — хибне;

г) Кити — ссавці, оскільки вигодовують своїх дітей мо­локом.

5. Чи правильні ці доведення? Якщо ні, то які закони логіки і правила доведення в них порушено (визначте вид помилок):

а) Мешканці Санкт-Петербурга на підставі багатолітніх спостережень дійшли висновку, що ладозький льодохід на Неві псує в цьому місті погоду;

б) — Ви повинні підтримувати нашу партію, оскільки вона складається з людей, гідних поваги. В цьому не може бути сумніву, бо наша партія відстоює справед­ливу справу.

— На жаль, я сумніваюся саме в тому, що ваша партія відстоює справедливу справу.

— Даремно! Не може не бути справедливою та справа, яка ведеться людьми, гідними поваги, а наша партія складається саме з таких людей;

в) «Хтось узявся довести, що 3 рази по 2 буде не 6, а …

4. Реалізовуючи свою дивну витівку, він узяв у руки звичайний сірник і попросив присутніх уважно стежи­ти за ходом його думки.

«Переламавши сірник навпіл, — заявив дивний мате­матик, — будемо мати один раз 2. Проробивши те саме над однією з половинок, будемо мати другий раз 2. На­решті, проробивши цю ж операцію над другою з поло­винок, одержимо третій раз 2».

Отже, беручи три рази по два, ми одержимо чотири, а не шість, як прийнято звичайно вважати» (В.М. Брадіс, В.Л. Мінковський, А.К. Харчева. Ошибки в математических рассуждениях);

г) — Раб не може бути морально високою людиною, оскільки він не може мати мужності та внутрішньої сво­боди, тобто якостей, необхідних для моральної висоти.

— А Спартак?

— Спартака я не вважаю рабом, оскільки він, перебу­ваючи в залежності від зовнішніх сил, все ж таки зумів зберегти свободу духу.

д) «Будь-яка тварина здатна мислити, оскільки вона здатна відчувати... і людина не так уже й різко відрізняється в цьому відношенні від тварини... Отже, головною відмінністю людини від тварини є не розум, а свобода волі» (Ж.-Ж. Руссо);

е) Я сумлінно працював над освоєнням курсу логіки. Про це свідчать такі факти: я не пропустив жодної лекції з логіки; перед кожним практичним заняттям з логіки я ретельно готувався до нього (це може підтвердити бібліотекар); я придбав підручники з логіки кількох ав­торів. Таким чином, я заслуговую на високу оцінку з цієї дисципліни;

є) Старість мудріша від юності, отже, раціонально ке­руватися поглядами предків;

ж) Ніч завжди передує дню, отже, ніч є причиною дня;

з) Опій викликає сон, оскільки він має снодійну силу;

и) До того, що не залежить від волі людини, не можна примусити кримінальними законами. Теоретичні переконан­ня людини не залежать від її волі. Таким чином, не можна з допомогою кримінальних законів змушувати людей мати ті чи інші теоретичні переконання. Державний устрій, який не рахується з цими висновками, є злочинним;

і) Якщо хтось украв якусь річ, то він намагається її сховати. Підозрюваний цю річ сховав. Отже, він її ук­рав;

ї) Люди, які копіюють чужі підписи, є злочинцями. Гра­вер копіює чужі підписи. Отже, гравер — злочинець;

й) У книзі ціниться або її зміст, або форма викладу. В науковій книзі ціниться зміст. Таким чином, у науковій книзі не ціниться форма викладу;

к) Якщо засновки умовиводу, є хибними, то й висновок у ньому буде хибним. У цьому умовиводі хибні засновки. Отже, і висновок у ньому є хибним;

л) Якщо засновки умовиводу є хибними, то й висновок у ньому буде хибним. У цьому умовиводі хибний висно­вок. Отже, в ньому хибні засновки;

м) Сніг не може лежати на високих горах, бо чим ближ­че до Сонця, тим тепліше. До того ж сніг завжди тане раніше на високих місцях, хоча у видолинках ще три­мається;

н) Це судження істинне, оскільки воно було висловле­не геніальною людиною;

о) Лікар пацієнту:

— У вас дуже небезпечна хвороба! Пацієнт:

— Невже вона невиліковна? Лікар:

— Вам повезло, бо ви потрапили до мене. З десяти людей, що хворіють на цю хворобу, десять помирає. Проте у мене вже було дев'ять пацієнтів, і всі вони померли від цієї хвороби;

п) Цей пес має дітей, отже, він батько. Але ж це твій пес, отже, він твій батько. Ти його інколи б'єш, отже, ти б'єш свого батька;

р) Ліки, які приймає хворий, — добро. Чим більше добра, тим краще. Отже, ліків треба приймати якомога більше;

с) Злодій не бажає дістати нічого поганого. Придбати щось добре — це добра справа. Отже, злодій, дістаючи (крадучи) добрі речі, робить добру справу;

т) — Чи знаєш ти цю людину, що в масці?

— Ні, не знаю.

— Це твій батько. Отже, ти не знаєш свого батька. Визначте вид таких спростувань:

а) Ваш висновок про підозрюваного Н. не можна вважа­ти достовірним, бо він ґрунтується на аналогії, яка, як відомо, не може гарантувати достовірність висновку;

б) Теза вашого міркування «Всі метали тонуть у воді» хибна, оскільки відомо, що є метали, легші від води;

в) Ваше доведення не витримує критики, оскільки воно побудоване за схемою силогізму, в якому середній термін є нерозподіленим в обох засновках, а це суперечить пра­вилу силогізму стосовно середнього терміна;

г) Спростовуючи софістів, Аристотель сказав: «Хто ого­лошує все істинним, тим самим робить істинним і твер­дження, протилежне його власному»;

д) — Отже, по-вашому, переконань немає?

— Ні — і не існує.

— Це ваше переконання?

— Так.

— Як же ви говорите, що їх немає? Ось вам уже одне на перший випадок (І. Тургенєв);

є) — П'яницю неважко розпізнати, досить поглянути на його ніс: якщо ніс у нього червоний, то це п'яниця.

— Це не так: мій брат спиртного в рот не бере, а ніс у нього червоний — від золотухи.

7. Проаналізуйте відомі софізми «Рогатий», «Брехун», «Софізм Еватла» та парадокси — «Купа», «Ахіллес і черепаха».

а) «Рогатий:

Те, чого ти не втратив, ти маєш.

Ти не втратив роги.___________

Отже, ти маєш роги.

б) «Брехун»: Критянин Епименід говорить, що всі кри­тяни брехуни, але Епименід — сам критянин, отже, і він брехун. Та якщо він брехун, то й те, що він гово­рить, неістинне, і, отже, критяни правдиві; але Епи­менід — критянин, і, отже, те, що він говорить, — правда. Таким чином, критяни — брехуни, Епименід теж брехун, і те, що він говорить, неправда. В такий спосіб ми можемо по черзі доводити, що Епименід і критяни — правдиві і неправдиві;

в) Еватл брав уроки софістики у Протагора з тією умовою, що гонорар він заплатить тільки в тому разі, якщо після закінчення навчання виграє перший су­довий процес. Та після навчання Еватл не проводив жодного судового процесу і тому вважав, що має право не платити Протагору гонорар. Тоді останній пригрозив, що він подасть скаргу в суд, кажучи Еватлу таке:

— Судді або присудять тобі заплатити гонорар, або не присудять. В обох випадках ти змушений будеш запла­тити мені. В першому випадку згідно з рішенням суду, а в другому — згідно з нашим договором («коли ти ви­граєш перший судовий процес, тоді й заплатиш»). На це Еватл, навчений Протагором секретів софістики, відповів:

— Ні в тому, ні в іншому разі я не заплачу. Якщо при­судять заплатити, то я, як той, хто програв перший судовий процес, не заплачу згідно з нашим договором, а якщо не присудять, то я не заплачу згідно з рішен­ням суду;

г) «Купа»: одна зернина не становить собою купу. До­давши ще одну зернину, знову-таки не одержиш купу. Як же отримати купу, додаючи по одній зернині, жод­на з яких не становить купу. Яка по порядку зернина (дев'яносто дев'ята, сота чи тисячна), зрештою, зро­бить з некупи купу?

д) «Ахіллес і черепаха»: прудкий Ахіллес ніколи не може догнати найповільнішу тварину — черепаху, — оскіль­ки за умови одночасного початку їх руху в момент до­сягнення Ахіллесом стартового положення черепахи, ос­тання вже віддалилася звідти на '/₁₀ їх стартової віддалі. Коли ж він пройде цю віддаль (¹/₁₀), черепаха за цей час відповзе на ¹/₁₀₀ і т.д. в усіх до нескінченності точках шляху їх руху.

Знаючи сутність, структуру і правила доведення, про­аналізуйте такі міркування (взяті з книги відомого анг­лійського логіка В. Мінтр «Дедуктивная и индуктивная логика». —М., 1901.— С. 526—532):

а) Якщо людина не може прогресувати і наближатися до досконалості, то вона є або твариною, або боже­ством; проте людина не є ні тим, ні іншим; отже, кож­на людина здатна до прогресу;

б) Хто прагне розвивати свій розум, для того нагороди за успіхи в навчанні зайві; а на людей лінивих, таких, що ставляться байдуже до розумового розвитку, нагороди не мають ніякого впливу; тому нагороди або зайві, або недієві;

в) Якби всі люди були здатні досягти досконалості, то деякі з них досягли б її; та оскільки жодна людина не досягла досконалості, то звідси випливає, що жодна людина не здатна її досягти;

г) Якщо страждання — це зло, то для якої частини твоєї істоти? Якщо для тіла, то нехай воно і скаржить­ся; якщо для духу, то йому надана влада приглушувати свої страждання. В розумну сутність твою не може вторгатися ніякий біль (Марк Аврелій);

д) Тіт Лівій виражає дилемою те скрутне становище, в яке був поставлений римський сенат, коли мешканці Тарквіній просили його повернути їхні багатства: «Якщо їм не повернути багатств, то цим ми дамо привід поча­ти війну; якщо ж повернути, то це означає дати їм у руки зброю і засоби для нападу».

9. Які логічні помилки мають місце в таких доведеннях і спростуваннях:

а) Кажуть, ніби прийменник не може виконувати роль підмета в реченні. Щоб спростувати цю думку, досить наве­сти бодай один приклад речення, в якому прийменник ви­конує роль підмета. Ось такий приклад: «У» належить до іменника навіть тоді, коли стоїть перед прикметником».

б) Пропонент:

— «Через» не може бути підметом. Опонент:

— Пробачте, але ж у Вашому реченні «через» виконує роль підмета.

в) Милосердя викликає в гуманістів симпатію.

«Милосердя» — слово._________________________

Отже, деякі слова викликають у гуманістів симпатію.

ЗРАЗКИ ВІДПОВІДЕЙ

1а. Оскільки тезу тут попередньо не названо, то про неї доводиться лише здогадуватися, орієнтуючись на ви­сновок доведення (якщо тезу не підмінено, то вона повністю збігається з висновком, повинна збігатися). Судження, з яких робиться висновок і які тут передують висновку, викону­ють роль аргументів. Демонстрацією в цьому доведенні є силогізм, побудований за схемою першої фігури.

До речі, це міркування є доведенням лише в тому разі, коли метою побудови його є встановлення істинності відпо­відного положення. Не кожен умовивід виконує роль дове­дення.

16. Тезою в цьому доведенні є «Чотирикутник АВСБ — ромб», оскільки саме ця думка тут проголошується, а потім обґрунтовується. Судження, розташовані після тези, є ар­гументами. Демонстрація тут така сама, як і в задачі 1а.

Треба зазначити, що ймовірність того, що тезою тут є саме судження «Чотирикутник АВСD — ромб», значно вища, ніж у попередньому прикладі, але стовідсоткової підстави для цього все ж таки немає. Більш того, це мірку­вання взагалі може виявитися не доведенням. «Відмінність доведення від виводу або умовиводу, — писав В. Асмус, — полягає зовсім не в тому, що у виводі думка йде від зас­новків до висновків, а в доведенні — навпаки. І у виводі, і в доведенні однаковою мірою можливі обидві форми руху думок. Головна відмінність доведення від виводу полягає в тому, що вивід є виявленням необхідного зв'язку між по­няттями, які утворюють судження-висновок, доведення ж є не тільки виявленням зв'язку між поняттями, але й ви­явленням істинності судження». Загалом погоджуючись з цитованим автором, вважаємо, що тезу раціональніше все ж таки попередньо проголошувати.

2а. Візьмемо будь-який трикутник АВС. Треба довести, що сума його кутів (<ВАС+<АВС+<ВСА) дорівнює 180°.

Доведення. Продовжимо сторону АС і, провівши СЕ||АВ, робимо висновок, що <ЕСD=<ВАС (як відповідні кути) і <ВСЕ=<АВС — як внутрішні перехресні кути. Звідси випливає:

<ВAС+<АВС+<ВСА=<ЕСD+<ВСЕ+<ACB.

Оскільки ж <ЕСD+<ВСЕ+<АСВ = 180°, то<ВAС+ <АВС+<ВСА=180°, що й треба було довести.

Зв. Це доведення побудоване у формі неповної індукції, яка дає лише ймовірні висновки. Коли б навіть столиці кожної держави були розташовані на березі рік, то про це ми не змогли б з певністю довідатися, вдавшися до неповної індукції.

4в. Це непряме апагогічне доведення. Тезою тут є суд­ження «Всі метали електропровідні», а антитезою — «Деякі метали не є електропровідними». Аргументами послужили такі твердження:

1) з двох суперечних суджень одне неодмінно є істин­ним, друге — хибним, а третього і бути не може (це суд­ження домислюється в доведенні;.

2) судження «Всі метали електропровідні» і «Деякі мета­ли не є електропровідними» суперечні;

3) судження «Деякі метали не є електропровідними» - хибне.

Роль демонстрації тут виконує схема розділово-катего­ричного умовиводу:

АvА: А

А

5а. Ладозький льодохід і псування погоди не перебува­ють у причинному зв'язку, а зумовлені третім явищем —північно-східним вітром, який гонив ладозький лід до ви­токів Неви і змінював погоду в Санкт-Петербурзі.

У міркуванні мешканців Санкт-Петербурга порушено закон достатньої підстави. Помилка, якої вони припускали­ся, називається «після цього — внаслідок цього».

5в. Відомо, що в цьому міркуванні порушено правило стосовно тези, а помилка називається «підміною тези». Замість того, щоб доводити судження «2x3=4», тут дово­диться: «якщо сірник (чи будь-що) поділити навпіл, а потім кожну половинку в свою чергу поділити навпіл, то в ре­зультаті одержимо чотири частини сірника». Проте бага­тьох не задовольняє така загальна відповідь, тому проана­лізуємо детально це міркування.

Переламавши сірник навпіл, ми справді одержали 2, та перш ніж ламати навпіл першу половинку, її необхідно відняти від того, що ми мали (2 — 1 = 1)- Одержане «дру­ге» 2 треба додати до того, що ми мали, — до одиниці (1+2=3). Щоб переламати навпіл другу половинку, її по­передньо треба відняти від того, що в нас було, — від трійки (3—1=2). І, нарешті, результат поділу другої поло­винки («третє» 2) треба додати до того, що мали: 2+2=4. У цьому доведенні порушено і закон тотожності, і закон достатньої підстави.

5д. Розв'язання цієї й подібних задач пов'язане з певни­ми труднощами. Назвемо деякі з причин цих труднощів. По-перше, в цьому доведенні один аргумент (найважливі­ший) пропущено, і він лише домислюється. По-друге, інший аргумент «на ходу» обґрунтовується, що відволікає від справжньої тези. І по-третє, правила доведення іноді вихо­дять за межі власне логічних вимог, і той, хто налаштова­ний на пошуки логічної недосконалості доведення, часто абстрагується від проблеми пошуку фактичних помилок, які наявні в цьому доведенні.

Щоб подолати першу трудність, треба вміти знаходити думки, що «підказують», який же аргумент тут пропуще­но. Такою думкою є судження: «Отже, головною відмінністю людини від тварини є не розум, а свобода волі людини». Це судження-висновок «підказує», що пропущений аргумент-засновок є розділовим судженням: «Головною відмінністю людини від тварини є або її розум, або свобода волі». Дру­гий аргумент-засновок наявний — «Людина не так уже й різко відрізняється в цьому відношенні (здатністю мисли­ти, наявністю розуму — М.Т,) від тварин». Звідси випливає той висновок, який збігається з проголошеною тезою.

Твердження «Будь-яка тварина здатна мислити» нагадує тезу, воно в певному відношенні й є тезою. Проте стосовно основного положення, яке тут обґрунтовується («Головною відмінністю людини від тварини є не розум, а свобода волі»), це твердження є аргументом. Автор доведення, враховуючи його не достовірність, тут же, «на ходу» обґрунтовує це по­ложення (до речі, так буває завжди, коли аргументами ви­ступають ентимеми з пропущеним засновком).

Малоймовірно, щоб такий видатний мислитель, як Ж.-Ж. Руссо, міг припуститися логічної помилки. А ось від фак­тичних ніхто не застрахований. І справді, обидва аргумен­ти в цьому доведенні є хибними. В основному аргументі (більшому засновку) вказані не всі альтернативи, оскільки головну відмінність людини від тварини можна вбачати не тільки в наявності розуму або свободи волі, а також у на­явності моралі, віри в бога, естетичних смаків тощо.

Хибним є і другий аргумент. Щоб виявити джерела його хибності та недостовірності, необхідно здогадатися, що роль цього аргументу відіграє ентимема, а здогадавшись, відно­вити її в повний силогізм, що полегшить пошуки недоліків у цьому аргументі. Після відновлення цей силогізм набуде такого вигляду:

Всі істоти, які здатні відчувати, здатні мислити.

Будь-яка тварина здатна відчувати.__________

Отже, будь-яка тварина здатна мислити.

Силогізм цей, безумовно, правильний, проте його ви­сновок (який використовується Ж.-Ж. Руссо як аргумент) є хибним. Хибність цього висновку пояснюється хибністю більшого (пропущеного в Руссо) засновку — «Всі істоти, які здатні відчувати, здатні мислити».

Отже, доведення Руссо суперечить правилам щодо ар­гументів, згідно з якими аргументи повинні бути істинними і достовірними.

У цьому доведенні порушено закон достатньої підстави.

5м. Це доведення неправильне. В ньому порушено пра­вило стосовно аргументів, згідно з яким аргументи повинні бути істинними і достовірними. Помилка ця називається «від умовного до безумовного». Загалом положення «Чим ближ­че до Сонця, тим тепліше» істинне. Проте істинність його залежить від певних умов (істина завжди конкретна). За названих умов воно не відповідає дійсності.

У цьому доведенні порушено закон достатньої підстави.

6в. Це спростування шляхом критики демонстрації. В ньому встановлюється, що доведення пропонента супере­чить тому загальному правилу, яке твердить: демонстра­ція повинна відповідати правилам того виду умовиводу, у формі якого здійснюється це доведення. Дане доведення здійснюється у формі простого категоричного силогізму, який суперечить правилу стосовно середнього терміна, згідно з яким середній термін силогізму повинен бути роз­поділеним принаймні в одному із засновків.

Саме доведення тут не наведене, і про нього відомо лише те, що говорить про це доведення опонент.

7а. Аналіз софізму «Рогатий».

«Рогатый» — один из античных софизмов (автор — Алек­син), заключающийся в следующем рассуждении:

То, чего тьі не потерял, тьі имеешь;

Тьі не потерял рогов;

Тьі имеешь рога.

Данньш софизм основан на неопределенности среднего тер-мина, т.е. в данном случае — понятий о потере. В первой посьілке потерей назьшается лишение того, что мьі имеем, во второй же посьілке под потерей понимается вообще неимение чего-либо. Естественно позтому, что вьшод в таком рассуждении не может бьіть правильним. Но поскольку между терминами «потеря», употребленньши в разном значений в каждой из посьі-лок, єсть внешнее звуковое сходство, софист использует зто обстоятельство, чтобьі ввести слушателей в заблуждение.

Чтобы опровергнуть подобньш софизм, надо раскрьіть дву-смьісленность среднего термина «потеря». Когда удастся пока­зать зту двусмьісленность, тогда дальнейшее рассуждение должно вестись так: назначение среднего термина состоит в том, чтобьі связать две посьілки, но поскольку в первой посылке в средний термин вкладьівается одно содержание («по­теря того, что ты имеешь»), а во второй посьілке — совершен-но другое содержание («потеря того, что тьі никогда не имел»), то естественно, что средний термин не может связать зти посылки, а раз так, то и вьівода из них сделать нельзя» .

Як буде показано нижче, середній термін у цьому си­логізмі М. Кондаков встановлює неправильно.

Неточно з'ясовується сутність софізму «Рогатий» і в дея­ких нових посібниках з логіки. Подібна помилка трапилась у «Логіці» О. Івіна (очевидно, це редакційна помилка): «Неваж­ко помітити, що у софізмі «рогатий» обігрується двозначність вислову «те, чого не загубив». Іноді воно означає «те, що мав, але загубив», а іноді просто «те, чого не загубив, неза­лежно від того, мав чи ні».

Щоб з'ясувати суть помилки в міркуванні, відомому під назвою «Рогатий», треба сформулювати судження, які вхо­дять до цього міркування, максимально коректно:

Невтрачене тобою є тим, що ти маєш.

Невтраченими тобою є роги.

Отже, принаймні деякі¹ роги є тим, що ти маєш.

¹ Словосполучення «принаймні деякі» вказуює на невизначеність розпо­діленості терміна «роги», який у меншому засновку займає положення предиката стверджувального судження.

Це міркування здійснюється у формі силогізму, побудо­ваному за схемою третьої фігури. Загальноприйнято, що в цьому софізмі порушено правило стосовно кількості термінів у силогізмі, наслідком чого є логічна помилка, яку називають «почетверінням термінів». Проте обґрунтування цього виснов­ку часто є абстрактним, а іноді й неправильним. Скажімо, не можна погодитися з М. Кондаковим, ніби середнім терміном у цьому силогізмі є «втрата» («потеря»). Як видно з уточненого варіанту міркування «Рогатий», середнім терміном тут є по­няття «невтрачене тобою» (точніше — це той термін, який лише на перший погляд здається середнім).

До речі, в цьому силогізмі порушено й деякі інші правила: правило стосовно розподіленості середнього терміна (в обох за­сновках він є нерозподіленим) і правило засновків, згідно з яким з двох часткових суджень не можна зробити ніякого висновку. Ретельно проаналізуємо це міркування спочатку в його наявному вигляді, а потім, — надаючи йому відповідних інтер­претацій.

Оскільки суб'єктом більшого засновку («невтрачене то­бою») є і не одиничне поняття, і не поняття, яке супровод­жується кванторним словом «усі», то немає підстав вважати цей термін розподіленим. Отже, більший засновок цього силогіз­му треба формулювати таким чином: «Принаймні дещо з не-втраченого тобою є тим, що ти маєш», а графічно відношення обсягів термінів більшого заснов­ку можна зобразити так (схема 1). Саме таке зображення відно­шення обсягів термінів більшого засновку цього силогізму ґрун­тується на знанні нерозподіленості обох цих термінів, які не . повністю включаються один в другий.

Аналогічне відношення об­сягів суб'єкта і предиката має місце і в меншому засновку (схе­ма 2).

Зараз на цьому етапі аналі­зу софізму «Рогатий» немає сен-

(схема 1).

(схе­ма 2).

су вдаватися до інших тонкощів цього міркування. Досить того, що середній термін тут є нерозподіленим, звідки випливає висновок, що цей силогізм неправильний.

Відношення між обсягами термінів цього силогізму можна передати з допомогою схеми (схема 3):

(схема 3)

Уже такі дві можливості відношення обсягів крайніх термінів (а їх фактично є більше, що пояснюється невизначе­ністю середнього терміна) свідчать про неправильність цього силогізму.

Навіть деякі викладачі логіки чомусь не помічають нерозподіленості терміна «роги» (мабуть, це поняття асоціюється в їх уяві з образом певної пари ріг). Але цей термін був би розпо­діленим у стверджувальному судженні лише в таких двох випадках: коли йшлося б або про конкретну пару ріг, або про всі роги, які були, є й будуть.

Та зрештою, якби цей термін і був розподіленим, це нічо­го принципового не змінило б у софізмі. Ось як виглядала б схема цього силогізму, якби термін «роги» був розподіленим (схема 4).

(схема 4).

Якщо ж цей силогізм побудувати за першою фігурою і до­дати до більшого засновку кванторне слово «всі» (згідно з відпо­відним правилом першої фігури більший засновок повинен бути загальним), то софізм «Рогатий» набуде такого вигляду:

Все невтрачене тобою є тим, що ти маєш

Роги є невтраченими тобою.___________

Отже, роги є тим, що ти маєш.

Аналіз саме такого варіанту цього софізму змушує вийти за рамки суто формально-логічного підходу і зрештою вияви­ти ту помилку, яка всіма називається — «почетверіння термінів». Як і чому вона виявляється? Та тому, що цей си­логізм здається правильним (у цьому й полягає його сила), а висновок у ньому виявляється хибним (визивно хибним). На­прошується думка, що причину хибності висновку треба шу­кати в хибності засновків. Хоч це справа і не суто логічна, але доводиться піддати сумніву істинність засновків. І дійсно більший засновок виявляється хибним: ім'я, яким позначається суб'єкт цього засновку, не відповідає тому змісту й обсягу, які маються на увазі. Змінимо ім'я, а тим самим виконаємо операцію обмеження поняття, яке відіграє роль суб'єкта в цьо­му судженні. Внаслідок цієї операції одержимо таке суджен­ня (більший засновок): «Все невтрачене тобою з того, що ти мав, є тим, що ти маєш»; або: «Все, що ти мав і не втратив, є тим, що ти маєш».

Менший засновок цього силогізму істинний, і немає сенсу нав'язувати автору софізму свій варіант меншого засновку (йдеться про зміну предиката меншого засновку «невтрачене тобою» на «те невтрачене тобою, чого ти не мав).

В результаті такої інтерпретації відомого силогізму він набуде наступного вигляду:

Все невтрачене тобою (що ти мав і не втратив) є тим, що ти маєш.

Роги є невтраченими тобою.

Отже, роги є тим, що ти маєш.

Тепер «почетверіння термінів» стає очевидним. Складність аналізу цього софізму особливо дається взнаки при спробі зобразити його з допомогою кругових схем (схема 5).

схема 5

Ця схема дуже приблизна. По-перше, відношення обсягів 5 і Р може бути й іншим, хоча в принципі це нічого не міняє: вже наявність двох можливостей відношення обсягів крайніх термінів свідчить про неправильність силогізму. По-друге, на цій схемі не можна вказати, де розташоване те, чого ти не мав і не втратив, а зараз воно стало тим, що ти маєш. Мож­на відзначити й інші недоліки цієї схеми. Але схема є схема. Основне тут ілюструється: невизначеність висновку про відно­шення обсягів крайніх термінів.

Спростовуючи софізм «Рогатий», іноді припускаються та­кого паралогізму звужують обсяг терміна «невтрачене то­бою» в обох засновках і в результаті цієї нічим не виправда­ної метаморфози одержують таку карикатуру на відомий софізм:

Все те, що ти мав і не втратив, ти маєш.

Роги є тим, що ти не мав і не втратив.

Отже, ти маєш роги.

Хіба не переконливе спростування?!

Переконливе, але тут спростоване інше міркування. Щоб довести безпідставність такої інтерпретації відомого софізму, звернемося до аналогії. Припустимо, що окрилений ефектив­ністю такого способу спростування міркувань, побудованих за схемою силогізмів, наш «інтерпретаторя-спростовувач підлая сумніву бездоганно побудований силогізм:

Всі прямокутники — паралелограми.

Всі квадрати — прямокутники.______

Отже, всі квадрати — паралелограми.

Своє спростування «інтерпретатор» проголосив у такій формі: «Всім відомо, що квадрати раціональніше віднести до ромбів, ніж до прямокутників, оскільки саме ромби є най­ближчим родом стосовно квадратів, тому менший засновок повинен набути такого вигляду: «Всі квадрати — ромби». Після такої «раціональної» метаморфози кожному стає зрозумілим неправильність розглядуваного силогізму, який після його «вдосконалення» набув такого вигляду:

Всі прямокутники — паралелограми.

Всі квадрати — ромби._________________________

Отже, з цих засновків не випливає ніякого висновку.

Розділ 14 ГІПОТЕЗА