5. Напруженість як градієнт потенціалу. Потік вектора напруженості. Теорема Остроградського-Гаусса.

Елементарну роботу поля при переміщенні q₁ з точки 1 в точку 2 можна знайти двома способами. Нехай для спрощення заряд переміщується вздовж силової лінії однорідного поля. Вісь OX спрямуємо вздовж цієї ж лінії. Тоді

dA =Fdx =qE_xdx

dA =q(φ₁ –φ₂) = -q(φ₂ –φ₁) = -qdφ

Звідки

qE_xdx = -qdφ

E_x = - dφ/dx (21)

Вектор напруженості напрямлений в бік зменшення потенціалу. В загальному випадку

(22)

Отже,

(23)

Таким чином напруженість дорівнює градієнту потенціалу і напрямлена в бік найшвидшого його зменшення.

Потік вектора напруженості Ф_Е

а). Для однорідного поля потік вектора напруженості (рис. 6):

Ф _Е , (24)

де S – площа поверхні, -нормаль до цієї поверхні, E_n –проекція на .

б). Для неоднорідного поля елементарний потік вектора напруженості

dФ=EdS , де (25)

Повний потік вектора напруженості

Ф_Е (26)

Повний потік вектора напруженості через замкнуту поверхню

Ф (27)

Теорема Остроградського-Гаусса

дає змогу порівняно легко розрахувати напруженості полів, створених різними зарядженими тілами.

Для сферичної поверхні, всередині якої знаходиться заряд q, повний потік вектора напруженості через неї:

Відповідно для будь-якої замкнутої поверхні:

(28)

(1.28) виражає теорему Остроградського-Гаусса: повний потік вектора напруженості через замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі зарядів, які є всередині об’єму, обмеженого даною поверхнею, поділеній на електричну сталу.

Провідники – речовини, що мають вільні носії заряду (проводять електричний струм). Їх питомий опір . Провідники першого роду – метали, провідники другого роду – електроліти.

Я кщо провідник першого роду помістити в зовнішнє електричне поле з напруженістю (рис.7), то на кожний його вільний електрон з боку поля діє сила

,

під дією якої він переміщується проти сил поля. Внаслідок цього відбувається переміщення (перерозподіл) зарядів: на одній грані буде надлишок електронів (грань заряджається негативно), а на другій – їх недостача (грань заряджається позитивно). Це явище називається явищем електростатичної індукції або електризацією через вплив.

Заряди на гранях створюють внутрішнє поле з .Переміщення зарядів припиняється тоді, коли , тобто

,

тобто . (29)

Отже, поле всередині провідника відсутнє. Оскільки , то : у всіх точках провідника потенціал однаковий, такий, як і на поверхні.

Користуючись теоремою Остроградського-Гаусса, можна показати, що сумарний заряд всередині провідника дорівнює нулю, тобто заряди розміщуються лише на поверхні провідника. У такому разі, створивши всередині провідника порожнину, ми одержимо електростатичний захист – екранування тіл від впливу зовнішніх полів.