§3.3. Биномиальное распределение

Пусть случайная величина X есть число появлений события A в n независимых испытаниях, причем вероятность наступления A во всех событиях одинакова и равна p. Тогда вероятность появления m событий A (т.е. X=m) в n независимых испытаниях определяется по формуле Бернулли :

, (3.8)

где принято обозначение q=1-p, а величина есть число сочетаний из n элементов по m элементам:

.

Закон распределения дискретной случайной величины X с возможными значениями m=0,1,…, n и вероятностями, описываемыми формулой (3.8), называется биномиальным распределением или распределением Бернулли.

Интегральная функция биномиального распределения вычисляется по формуле:

. (3.9)

В Excel имеется функция БИНОМРАСП, позволяющая вычислять интегральную функцию распределения (3.9) и плотность распределения (3.8). Эта функция имеет следующие параметры: БИНОМРАСП(m; n; p; тип), где m – число появлений события А в n независимых испытаний Бернулли, р – вероятность появления события А в одном испытании; тип – параметр, определяющий тип вычисляемой функции. Это параметр такой же, как и для функции НОРМРАСП: если указать истина, то будет вычислена интегральная функция биномиального распределения по формуле (3.9), а если указать ложь, то будет вычислена вероятность по формуле Бернулли (3.8).

В формулу Бернулли (3.8) входит число сочетаний . Его можно вычислить с помощью функции ЧИСЛКОМБ(n; m).

§3.4. Распределение Пуассона

Пусть число независимых испытаний n очень велико, а вероятность p наступления события А мала. Тогда вероятность того, что случайная величина X примет значение m (т. е. событие А наступит m раз), вычисляется по формуле Пуассона:

. (3.10)

Закон распределения дискретной случайной величины X, принимающей значения m=0,1,…, n с вероятностями, определяемыми по формуле (3.10), называется распределением Пуассона. Число l=np называется параметром распределения Пуассона. Этот параметр имеет вполне определенный вероятностный смысл: среднее значение дискретной случайной величины, имеющей распределение Пуассона, равно l.

Интегральная функция распределения Пуассона определяется формулой:

. (3.11)

Функция ПУАССОН позволяет вычислить в Excel вероятность по формуле Пуассона (3.10) и интегральную функцию по формуле (3.11). Аргументы у этой функции следующие: ПУАССОН(m; ; тип), где m – переменная, для которой вычисляется значение функции,  –параметр распределения Пуассона (среднее значение), а параметр – тип такой же, как и для предыдущих функций. Если на его месте указать Истина, то будет вычислена интегральная функция по формуле (3.11), а если – ложь, то вероятность по формуле Пуассона (3.10).

§3.5. Распределение Пирсона

Если Х₁, Х₁,…, Х_n – независимые нормированные случайные величины, распределенные по нормальному закону (3.6), то случайная величина

(3.12)

имеет распределение, называемое распределением Пирсона или распределением ² с k=n степенями свободы. Число степеней свободы равно объему выборки минус число условий, при которых она была сформирована.

Так как в прикладных исследованиях всегда вычисляется среднее значение, то число степеней свободы равно объему выборки, уменьшенному на единицу, т.е. k=n1.

Плотность распределения Пирсона при х<0 равна нулю, а при х>0:

, (3.13)

где – нормировочный множитель, Г(z) – гамма-функция Эйлера (о ней будет написано подробнее в §3.9.). Интегральная функция распределения Пирсона вычисляется по стандартной формуле (3.4) с плотностью (3.13). Ее значения могут быть найдены в специальных таблицах или вычислены на компьютере (например, в Excel).

В Excel имеется функция ХИ2РАСП, которая вычислят вероятность того, что случайная величина (3.12) примет значение, больше переменной х, т.е. . Аргументы у этой функции следующие: ХИ2РАСП(х; k), где х – переменная, k – число степеней свободы распределения Пирсона.

Поскольку интегральная функция распределения определяется по формуле (3.1), как , а события и – противоположные, то

.

Таким образом, интегральную функцию распределения Пирсона можно вычислить в Excel по формуле: =1–ХИ2РАСП(х; k).

В Excel имеется функция ХИ2ОБР(;k), вычисляющая критическую точку двухсторонней критической области распределения Пирсона для заданного уровня значимости  и числа степеней свободы k. Уровень значимости – это вероятность выполнения неравенства: , т.е. , где – случайная величина (3.12), – критическая точка распределения Пирсона, которая как раз и вычисляется функцией ХИ2ОБР(;k). Критические точки необходимы для проверки статистических гипотез, о которых более подробно будет изложено в гл. 5.