Отже мінімуми досягаються у 4-му рядку та 1-му стовпці, тобто викидом є елемент ( та і симетричний ). Ієрархічний синтез

Основним завданням МАІ є розрахунок глобальних пріоритетів альтернатив, тобто пріоритетів альтернатив відносно всієї ієрархії. Вихідними даними при цьому є результати опитування експертів у вигляді матриць попарних порівнянь при всіх вузлах ієрархії за винятком рівня листя – альтернатив.

Ієрархічний синтез використовується для зважування власних векторів матриць парних порівнянь альтернатив вагами критеріїв (елементів), що наявні в ієрархії, а також для обчислення загальних (глобальних) пріоритетів альтернатив відносно кореневої вершини ієрархії. У результаті побудови ієрархії та реалізації парних порівнянь для всіх вершин ієрархії окрім листя (що відповідає множині альтернатив) побудовані матриці парних порівнянь , і – номер рівня ієрархії (корінь ієрархії відповідає 1-му рівню, s – номер передостаннього рівня ієрархії – останній рівень є рівнем альтернатив), j – індекс вершини всередині і-го рівня. Обчислення пріоритетів відбувається згідно наступного алгоритму, який узагальнює описане вище.

Крок 1. Визначаються вектори пріоритетів всіх альтернатив відносно елементів передостаннього рівня ієрархії (i = s ). Обчислення множини векторів пріоритетів відносно рівня ієрархії S здійснюється) за даними, що містяться в матрицях парних порівнянь для кожної вершини рівня S. В результаті буде одержано множину векторів

. (9)

Крок 2. В такий же спосіб обробляються матриці парних порівнянь власно елементів ієрархії . Ці матриці побудовані таким чином, щоб визначити переваги елементів певного ієрархічного рівня i-1 відносно кожного вузла (елемента) вищого за ним рівня ієрархії i, з якими вони безпосередньо пов’язані. В результаті обробки матриць попарних порівнянь визначається множина векторів пріоритетів елементів:

, (10)

де верхній індекс вектору W (а саме E^(i-1)) вказує на елемент вузол рівня ієрархії i-1, а нижній – на елементи ієрархії наступного рівня i, які безпосередньо пов’язані з ним та які попарно порівнюються відносно їхніх пріоритетів до цього вузла. Одержані значення векторів використовуються для векторів пріоритетів щодо всіх елементів ієрархії.

Крок 3. На цьому кроці безпосередньо здійснюється ієрархічний синтез, який полягає у послідовному визначенні векторів пріоритетів альтернатив відносно елементів всіх рівнів ієрархії окрім передостаннього рівня S, на якому було здійснено визначення векторів пріоритетів на першому кроці алгоритму. Для цього для кожного елементу рівня і будується матриця пріоритетів альтернатив елементів ієрархії,, що є прямими нащадками цього елементу.

Обчислення векторів пріоритетів здійснюється в напрямку від нижніх, до вищих рівнів з урахуванням зв’язків між елементами, що належать до різних рівнів.. Обчислення проводиться шляхом знаходження добутку відповідних векторів і матриць.

Загальний вигляд виразу для обчислення векторів пріоритетів альтернатив для рівня і визначається наступним чином:

(11)

де – вектор пріоритетів альтернатив відносно елемента ієрархії ;

– вектор пріоритетів елементів , що пов’язані з предком (вузлом) вищого рівня ієрархії .

Приклад 7.

Розглянемо приклад здійснення ієрархічного синтезу в МАІ для знаходження глобальних пріоритетів альтернатив відносно фокусу ієрархії для наступної задачі.

Необхідно розрахувати коефіцієнти відносної важливості наступних чотирьох варіантів вкладання коштів: придбання акцій, оформления депозиту, придбання облігацій та придбання дорогоцінних металів. Ваги кожного варіанту вкладання коштів за критеріями «доходність» і «надійність вкладення коштів» наведені в таблиці. Відомо, що критерії доходність та надійність є однаково важливими при прийнятті рішення. Розглянути випадки, коли критерій доходність незначно переважає критерій надійність та навпаки.

Варіанти вкладання коштів	Критерії
	Доходність	Надійність
ВКВ	0.4	0.15
Депозит	0.3	0.25
Акції	0.2	0.25
Банківські метали	0.1	0.35

Розв’язок:

Отже, за умовою задачі ми маємо два рівноважливі критерії  доходність та  надійність. Таким чином, кожний з них має вагу 0.5 по відношенню до головної мети  ефективного інвестування. Маємо вектор локальних пріоритетів альтернатив (ВКВ), (депозит), (акції) та (банківські метали) відносно критерію доходність: та відносно критерію надійність . Оскільки критерії рівно важливі, то відносно фокусу вектор їх локальних пріоритетів буде (тут верхній індекс вказує на елемент «предок», по відношенню до якого оцінюються відносні переваги елементів «нащадків», які позначено нижнім індексом). Для знаходження вектору глобальних пріоритетів альтернатив відносно фокусу ієрархії, необхідно матрицю, по стовпцях якої записано локальні пріоритети альтернатив по кожному із критеріїв помножити на вектор пріоритетів самих критеріїв відносно елементу наступного ієрархічного рівня, якому вони підпорядковані  в нашому випадку це фокус ієрархії.

.

Отже, найкращими будуть альтернативи : .

Для випадку незначного домінування 1-го критерію одержимо такий вектор пріоритетів критеріїв відносно фокусу і вектор глобальних пріоритетів альтернатив:

.

Найкращою альтернатива : .

Для випадку незначного домінування 2-го критерію одержимо:

,

тобто . Таким чином, остаточний результат (вектор глобальних пріоритетів альтернатив) та порядок їх рангів суттєво залежить від відносної значущості критеріїв.

Приклад 8.

Розглянемо приклад застосування МАІ для знаходження глобальних пріоритетів альтернатив (ранжування альтернатив) для задачі інвестування певної суми коштів у випадку багатоешелонної ієрархії критеріїв.

Необхідно оцінити ефективність наступних 5 варіантів вкладення коштів: оформлення гривневого депозиту (А1), придбання вільноконвертованої валюти (ВКВ) та зберігання її поза банківською системою («вдома») (А2), придбання дорогоцінних металів – депозит у банківських металах (А3), придбання цінних паперів на ринку FOREX (А4), придбання нерухомості з подальшою передачею її в оренду (А5). Необхідно враховувати можливі вигоди та ймовірні ризики в короткотерміновій перспективі  1-2 роки.

Розв’язок:

Здійснимо групування критеріїв два ієрархічні класи: «вигоди» та «ризики».

Сформулюємо наступні критерії, що характеризують вигоди: висока ліквідність (можливість швидко реалізувати актив без суттєвих фінансових втрат), надійність вкладання коштів (захист від знецінення, інфляції, девальвації, біржових та ринкових коливань, збереження вартості); можливість одержання високого прибутку ; висока компетентність інвестора у певній галузі та володіння інсайдерською інформацією (досвід роботи, компетентність, наявність «зв’язків» у банківській сфері, на фондовому ринку, ринку нерухомості, органах держуправління тощо).

Сформулюємо критерії, що характеризують ризики: ймовірність фінансових втрат внаслідок внутрішньої фінансово-економічної нестабільності (девальвація національної валюти, заморожування депозитів, падіння національного ринку цінних паперів та ринку нерухомості, банкрутства банків, інвестиційних фондів, компаній забудовників тощо), ймовірність фінансових втрат внаслідок зміни законодавства (введення податків на відсотки з депозитів та інші активи, введення податків на нерухомість, зміни у регулюванні ринку готівкових валютних операцій, інші зміни у законодавстві тощо), ймовірність втрати активу внаслідок форс мажору (наприклад, внаслідок світової фінансово-економічної кризи, загострення соціально-політичного стану в країні, судових позовів на право власності на нерухомість внаслідок некоректного юридичного оформлення, стихійних лих, шахрайства, інших непередбачуваних обставин тощо).

Критерії
	Вигоди		Ризики
	Висока ліквідність		Низький ризик фінансових втрат внаслідок внутрішньої фінансово-економічної нестабільності
	Висока надійність		Низький ризик фінансових втрат внаслідок зміни законодавства
	Високий прибуток		Низький ризик фінансових втрат внаслідок форс-мажору
	Висока компетентність
Альтернативи
	Гривневий депозит		ВКВ
	Банківські метали		Цінні папери
	Нерухомість

Таким чином, одержимо наступну ієрархію:

Заповнимо матриці попарних порівнянь альтернатив відносно критеріїв, що визначають вигоди та обчислимо відповідні вектори локальних пріоритетів альтернатив . При цьому для кожної матриці перевіряємо умову узгодженості за допомогою ВУ, у разі порушення узгодженості необхідно переглянути оцінки (зокрема, знайти аномальні оцінки (викиди) та виправити їх). У лівому верхньому куті кожної матриці записано критерій, згідно якого порівнюються альтернативи. Правий стовпець  це головний нормований власний вектор матриці (вектор локальних пріоритетів альтернати в відносно заданого критерію); у нижньому рядку записано: випадковий індекс узгодженості, максимальне власне значення та відношення узгодженості.

Аналогічно заповнимо матриці попарних порівнянь альтернатив відносно критеріїв, що визначають ризики та обчислимо вектори локальних пріоритетів .

Зауважимо, що при оцінці альтернатив стосовно ризиків з двох альтернатив більш прийнятною (вагомою) є та, що має менший ризик. Тому по рядках матриць попарних порівнянь цілі бальні оцінки відповідають альтернативам з меншими ризиками.

На наступному кроці необхідно знайти вектори локальних пріоритетів підкритеріїв, що характеризують вигоди  проранжуємо їх стосовно вигод (тобто необхідно визначити, які з критеріїв вигод є більш важливими з точки зору експерта). Аналогічно необхідно обчислити локальні пріоритети для під критеріїв ризиків.

Далі необхідно здійснити ієрархічний синтез: обчислити вектор локальних пріоритетів альтернатив відносно агрегованого критерію вигод . Для цього необхідно матрицю, по стовпцях якої знаходять локальні пріоритети альтернатив стосовно підкритеріїв, що характеризують вигоди … помножити на ваги цих підкритеріїв (тобто на вектор ):

Отже, ранжування альтернатив стосовно вигод (у дужках записано нормовані ваги) має вигляд: . Згідно з оцінками експерта та обраними критеріями найкращою з точки зору вигод є альтернатива  придбання вільноконвертованої валюти, дещо менш привабливими виявились альтернати  гривневий депозит та  придбання цінних паперів.

Аналогічно знаходиться вектор локальних пріоритетів альтернатив відносно агрегованого критерію ризиків

.

Стосовно ризиків локальні пріоритети (та відповідно ранги) альтернатив розподілились так: . Таким чином, з точки зору найменшого ризику більш привабливою є альтернатива  інвестування у банківські метали.

Для одержання вектору глобальних пріоритетів альтернатив відносно фокусу ієрархії (головної мети ефективного інвестування коштів) необхідно матрицю, по стовпцях якої знаходяться вектори локальних пріоритетів альтернатив відносно агрегованого критерію вигод та ризиків помножити на вектор пріоритетів вигід та ризиків відносно фокуса , який одержується також з матриці попарних порівнянь критеріїв вигод та ризиків .

Отже, остаточний результат суттєво залежить від схильності експерту до ризику. У випадку рівної важливості високої вигоди та низького ризику одержимо:

.

Найбільш привабливою буде альтернатива (банківські метали), найменш привабливою  (нерухомість). Тобто ранжування альтернатив буде:

.

Якщо ж для експерта висока вигода є більш важлива, ніж невисокі ризики (висока схильність до

ризику) , то одержимо:

.

В цьому випадку більш привабливим буде придбання ВКВ (альтернатива ). Зміняться також ранги інших альтернатив:

.

Зауваження: при формуванні множини альтернатив та групуванні підкритеріїв, що підпорядковані одному вузлу  «предку», не рекомендується включати у групу більше 5-7 елементів. Це пов’язано із психофізіологічними особливостями сприйняття інформації людиною  психологами доведено, що одночасно людина може свідомо оперувати не більше, ніж 5-7 об’єктами. Тому бажано, щоб кожний рівень ієрархії мав не більше, ніж 5-7 елементів. У разі якщо кількість елементів більша, необхідно згрупувати елементи, збільшуючи кількість рівнів. В противному випадку важко уникнути суттєвої неузгодженості оцінок (або порушення транзитивності).

Лабораторна робота № 1