Приклад 1. Використовуючи дані таблиці 1 переведення лінгвістичних оцінок у бали, побудувати матрицю попарних порівнянь для задачі:

Нехай задача полягає в оцінюванні наступних чотирьох варіантів вкладення коштів: оформлення гривневого депозиту (А1), придбання вільноконвертованої валюти (А2), придбання дорогоцінних металів (А3), придбання акцій (А4) за критерієм «надійність вкладення коштів» (Е1). За результатами парних порівнянь цих варіантів встановлено, що другий варіант ненабагато кращий за перший i третій, i суттєво кращий за четвертей; перший варіант є менш надійний, що i третій, i ненабагато кращий за четвертий, перевага третього варіанту над четвертим є суттєвою.

Розв’язок:

1. Оскільки за умови «другий варіант ненабагато кращий за перший i третій», то в 2-му рядку у клітинах на перетині 2-го рядка та 1го стовпця (клітина А21, тут перша цифра - № рядка, 2-га  № стовпця) та на перетині 2-го рядка та 3-го стовпця (клітина А23) ставимо бальну оцінку 3. Це означає, що альтернатива А2 незначно домінує над альтернативами А1, А3 і тому у 2-му рядку у відповідних клітинах виставляються цілі значення балів, а 1-му та 3-му рядках у відповідних (симетричних) клітинах ставляться обернені значення, отже у клітинах А12 та А32 ставиться 1/3.

2. «Другий варіант … суттєво кращій за четвертий»  у клітині А24 ставимо бал 7, у симетричній клітині А42  обернене значення 1/7.

3. «Перший варіант є менш надійний, що i третій, i ненабагато кращий за четвертий»  у клітині А13 ставимо 1/5, у симетричній А31  5 (оскільки альтернатива А3 домінує над А1); у клітині А14 ставимо бал 3, у симетричній А41  1/3.

4. «Перевага третього варіанту над четвертим є суттєвою»  у клітині А34 ставимо 7, у симетричній А43  1/7.

5. Всі діагональні елементи мають дорівнювати 1-ці.

E1	A1	A2	A3	A4
A1	1	1/3	1/5	3
A2	3	1	3	7
A3	5	1/3	1	7
A4	1/3	1/7	1/7	1

Методи обчислення головного власного вектору та власного значення для матриць попарних порівнянь

Ранжування елементів (тобто визначення їх відносних пріоритетів), що аналізуються за допомогою матриці парних порівнянь A, здійснюється за допомогою головних власних векторів, які знаходяться за допомогою обробки відповідних матриць.

Обчислення головного власного вектору W додатної квадратної матриці здійснюється із наступної рівності:

, (1)

де – максимальне власне значення матриці A.

Для додатної квадратної матриці A головний власний вектор W, що відповідає максимальному власному значенню можна обчислити з точністю до постійного множника с за формулою:

, (2)

де – n-мірний одиничний вектор-стовпець; – показник ступеня; ^T – символ транспонування; с – константа.

Ітеративний алгоритм обчислення власного вектору за цією формулою зупиняється при досягненні необхідної точності (на практиці, можна прийняти =0,01):

, (3)

де l – номер ітерації.

Максимальне власне значення обчислюється за формулою

. (4)

За наведеними формулами можна сконструювати ітераційний алгоритм, що обчислюватиме значення головного власного вектору матриці попарних порівнянь.

Хоча отримання власних векторів не є проблематичним (можна використати відповідний математичний програмний пакет, наприклад, MathCad, MatLab), існує простіший спосіб наближеного обчислення пріоритетів шляхом обчислення середнього геометричного рядків матриці парних порівнянь , з наступною нормалізацією всіх складових отриманого вектора за формулою:

; (5)

Отже, якщо знайдено нормований власний вектор W, то його компоненти будуть відносними притритетами (вагами) альтернатив відносно критерію, за яким будувалась матриця попарних порівнянь. Найкращою буде альтернатива для якої

Приклад 2.

Знайти вектор локальних пріоритетів альтернатив прикладу 1 двома методами в середовищі MS Excel (ітераційним алгоритмом, через середньо геометричне) та порівняти одержані результати із нормованим власним вектором та власним значенням, знайденими аналітично (або за допомогою математичних пакетів MathCad, MatLab, чи он-лайн сервісів, наприклад, http://www.mathforyou.net/MEig.html).

Розв’язок:

1. Знайдемо вектор відносних пріоритетів альтернатив методом середньо-геометричного за допомогою MS Excel, використовуючи формулу (5). Одержимо . Отже, найбільша компонента вектора 0.501 відповідає альтернативі А2, тому згідно з нашими попарними оцінкам альтернатив за критерієм «надійність вкладення коштів» (Е1) найкращою буде альтернатива придбання вільноконвертованої валюти (А2). Таким чином, ранжування альтернатив відносно критерію Е1 (та їх відносні пріоритети, або ваги) будуть: .

2. Знайдемо вектор відносних пріоритетів за ітераційним алгоритмом у середовищі MS Excel, використовуючи формулу (2):

Отже, 4-та ітерація задовольняє умові (4) і тому в якості головного власного вектору (вектору локальних пріоритетів альтернатив відносно критерію ) можна взяти 4-ту ітерацію . Максимальне власне за формулою (4) дорівнює .

3. Знайдемо власний вектор та власне значення з використанням пакету MathCad та порівняємо результати:

Таким чином, власний вектор та власне значення дорівнюють відповідно . Отже обидва чисельні методи знаходження власного вектору та власного значення дають достатньо точні результати, при цьому ітераційний алгоритм є більш точним.

Оцінка узгодженості тверджень експерта (перевірка на порушення транзитивності)

У процесі формування матриці попарних порівнянь на матрицю накладається обмеження оберненої симетричності, тобто за умовою , що сприяє поліпшенню однорідності та послідовності тверджень експерта, тобто якщо в чисельних оцінках тверджень один елемент в m разів «переважає» (домінує, є кращим, більш бажаним, або ймовірним тощо) за інший, то останній в 1/m разів переважає перший (або в m разів «гірший»).

У практичних задачах кількісна (кардинальна) і транзитивна (порядкова) однорідність (узгодженість) порушується, оскільки експерт оцінює переваги шляхом попарних порівнянь, а тому рівність , яка повинна була б виконуватись для всіх і, j, k, буде порушуватися. Чим більшим є порушення цих рівностей, тим меншою мірою ми можемо довіряти результатам опитування експерта, і це свідчитиме, насамперед, про суперечливість тверджень експерта або ж (як один з виявів цього й є суперечливість) про некомпетентність в даній предметній галузі.

При порушенні однорідності ранг матриці попарних порівнянь відмінний від одиниці і вона буде мати декілька власних значень, а умова оберненої симетричності забезпечить невід'ємність всіх компонент головного власного вектора. Однак при невеликих відхиленнях тверджень від однорідності одне з власних значень буде істотно більше за інші і приблизно дорівнюватиме порядку матриці. Отже, для оцінки однорідності тверджень експерта доцільно використати відхилення величини максимального власного значення λ_max від порядку матриці n.

Приклад 3.

Нехай задано матрицю попарних порівнянь 4-х альтернатив відносно деякого критерію.

E1	A1	A2	A3	A4
A1	1	2	1/2	1
A2	1/2	1	3	1/4
A3	2	1/3	1	1/6
A4	1	4	6	1

Неважко переконатись, що в цій матриці є суттєве порушення транзитивності. Так з 1-го рядка маємо, що альтернатива А1 домінує над А2, а з 2-го, що альтернатива А2 домінує над А3: . Але з 3-го рядка, випливає, що А3 домінує над А1: . Тобто ми одержали суперечність (порушення транзитивності): .

Таким чином, отримана в результаті опитування експерта матриця буде, як правило, неузгодженою, тобто відображати певну непослідовність тверджень експерта, яка в реальних умовах наявна завжди. Корисним результатом для оцінювання неузгодженості є індекс узгодженості, який дає інформацію про ступінь порушення числової транзитивності – порядкової узгодженості. Якщо відхилення від узгодженості перевищують певні межі, то доцільно переглянути оцінки у матриці попарних порівнянь.

Індекс узгодженості розраховується за формулою:

. (6)

Тут  сума елементів матриці попарних порівнянь по стовпцях,  компоненти власного вектору W. Таким чином,

. (7)

Обчислений індекс порівнюється зі значенням, яке отримується за умови випадкового вибору кількісних значень з шкали 9, 8, 7, ..., 1/8, 1/9 при заповненні матриці попарних порівнянь зі збереженням умови оберненої симетричності випадкової матриці. Середні значення для випадкових матриць різного порядку наведені нижче (табл. 2).

Ці значення отримані з використанням генератора псевдовипадкових чисел програмним шляхом: генерується випадкова матриця заданого порядку n, в якій діагональ заповнюється одиницями, а верхня трикутна частина – числами послідовності 9, 8, 7, ..., 2, 1, 1/2,...,1/7, 1/8, 1/9, що розподілені рівномірно з ймовірністю виникнення кожного значення, рівною 1/17. Нижня трикутна складова заповнюється, виходячи зі співвідношення , що визначає обернено-симетричну матрицю.

Для згенерованої таким чином матриці розраховується значення індексу узгодженості тверджень експерта ІУ. Процедура повторюється велику кількість разів з розрахунком середнього значення, яке й вноситься до таблиці.

Таблиця. 2.