Стислі теоретичні відомості про задачі багатокритеріального прийняття рішень за допомогою методу аналізу ієрархій та приклади його використання

Метод аналізу ієрархій (МАІ) та його модифікації, який був запропонований Т. Сааті, належить до так званого прескриптивного підходу до прийняття рішень. Цей підхід не гарантує знаходження оптимального рішення в загальному випадку, але забезпечує вибір такого рішення, яке буде принаймні не гіршим з точки зору обраних цілей та критеріїв якості.

МАІ – це систематична процедура, що ґрунтується на ієрархічному представленні елементів, які визначають суть проблеми. Проблема розбивається на простіші складові з наступним оцінюванням особою, що приймає рішення (ОПР), відносного ступеня взаємодії елементів ієрархії. В МАІ використовуються оцінки елементів ієрархії в шкалі відношень, метод полягає в послідовному синтезі множинних тверджень.

Проблема, яку потрібно вирішити, у більшості випадків зводиться до обґрунтування вибору певної альтернативи з множини можливих, при цьому вибір характеризуються складною ієрархією аспектів та критеріїв. Останнім рівнем цієї ієрархії – по суті мультидерева – є рівень листя, на якому знаходяться власне альтернативи, а передостаннім, безпосередньо з ним пов'язаним – рівень критеріїв оцінювання якості альтернатив. Вищі рівні відображають агреговані критерії та аспекти проблеми, а кореневі дерева (фокус ієрархії) відповідає власне проблема, що повинна бути розв'язана. Основним варіантом представлення проблеми є ієрархія з однаковою кількістю та функціональним складом альтернатив під критеріями, тобто ієрархія, в якій альтернативні варіанти оцінюються за всіма критеріями передостаннього рівня. У тих випадках, коли з тих чи інших причин не всі альтернативи можуть бути оцінені за всіма критеріями, використовуються модифікації методу аналізу ієрархій.

Побудова ієрархічної структури починається з визначення проблеми дослідження. Далі будується власно ієрархія, яка містить головну ціль, що знаходиться в її вершині, проміжні рівні (цілі нижчого рівня, критерії та альтернативи), що формують її нижній ієрархічний рівень. На рис. 1 наведено загальний вигляд ієрархії, де .– елементи ієрархії  критерії оцінювання (верхній індекс вказує номер ієрархічного рівня, нижній – порядковий номер елемента) та альтернативи .

Рис. 1. Загальний вигляд ієрархії в МАІ.

Для з’ясування відносної важливості елементів ієрархії використовується шкала відношень. Ця шкала дозволяє ОПР у відповідності до ступеня переваги (важливості, інтенсивності тощо) одного елемента по відношенню до іншого ставити деякі числові характеристики. Сааті було запропоновано наступну 9-ти бальну шкалу для парних порівнянь елементів ієрархії (табл.1), правомочність застосування якої по відношенню до інших шкал обґрунтовано теоретично та підтверджено практичним її використанням.

Після побудови ієрархії обирається метод порівняння її елементів (порівняння зі стандартами, порівняння об’єктів методом копіювання, попарне порівняння тощо).

Розглянемо метод попарного порівняння, який полягає в побудові множини матриць попарних порівнянь. Для цього в ієрархії виділяються елементи двох типів: елементи – «предки» та елементи «нащадки». Елементи «нащадки» підпорядковані відповідним їм елементам вищого ієрархічного рівня, що є по відношенню до них елементами – «предками». Так, наприклад на рис.1 альтернативи є нащадками для кожного з критеріїв , критерії 2-го рівня ієрархії є нащадками критерію .

Матриці парних порівнянь будуються для всіх елементів нащадків, що відносяться до відповідного елемента предка. Парні порівняння проводяться в термінах домінування одного елемента над іншим (тобто, треба дати відводіть на питання: який з двох елементів є більш важливим, бажаним, більш ймовірним, має більший вплив або внесок у результат тощо) за допомогою 9-ти бальної шкали (табл. 2).

Таблиця 1

Шкала відносної переваги елементів ієрархії в МАІ

Бал (v)	Визначення (лінгвістична оцінка)	Примітка
1	Рівна важливість	Рівна важливість варіантів, рівна значущість критеріїв, або рівний вклад двох видів діяльності в досягнення мети
3	Незначна перевага	Існують певні підстави (але не надто переконливі) щодо переваг одного варіанта (елемента) щодо іншого
5	Перевага	Є надійні дані або логічні підстави щодо важливості одного елементу ієрархії щодо іншого
7	Значна перевага	Є надто переконливі підстави щодо вагомості одного елементу по відношенню до іншого
9	Абсолютна перевага	Ступінь важливості, вагомості, домінування одного елементу щодо іншого не викликає сумнівів і є найбільшою
2,4,6,8	Проміжні значення між суміжними оцінками	Застосовуються в компромісних випадках
1/v	Обернені величини	Якщо i-му елементу при порівнянні з j-м присвоєно бал переваги v, то j-му при порівнянні з i-м буде присвоєно відповідно ступінь переваги 1/v

При порівнянні критеріїв зазвичай питають, який з критеріїв є більш важливим; при порівнянні альтернатив за критеріями – яка з альтернатив є більш бажаною (прийнятною); при порівнянні сценаріїв, які отримуються з критеріїв – який зі сценаріїв є більш ймовірним.

У тих випадках, коли важко розрізнити стільки проміжних градацій, може використовуватися шкала з меншою їх кількістю, наприклад, гранично шкала має дві градації: 1 – об'єкти рівнозначні; 2 – перевага одного об'єкта над іншим.

Розглянемо в загальному випадку формування матриці парних порівнянь. Нехай A₁, A₂ ,…, A_n множина елементів певного ієрархічного рівня, а v₁ , v₁, …, v_n – їх відносні ваги або інтенсивності по відношенню до їх елемента предка. Тоді матриця парних порівнянь має вигляд:

Згідно з методом Сааті, якщо елемент з номером домінує над елементом з номером (з формально-математичної точки зору це позначається так ), то на перетині -го рядка та -го стовпця ставиться ціле значення балів (3, 5, 7, 9), а у симетричній клітині, тобто на перетині -го рядка та -го стовпця ставиться обернене значення балів (1/3, 1/5, 1/7, 1/9).