УДК 51(09) ББК 22.1г

Б439

Рецензенты:

С. С. Платонов, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа ПетрГУ; П. В. Дружинин, доктор экономических наук, ведущий научный

сотрудник Отдела моделирования и прогнозирования регионального развития института экономики КарНЦ РАН

Белый, Евгений Константинович.

Б439 Символы и их творцы : учебное пособие для учащихся средних школ / Е. К. Белый. – Петрозаводск : Издательство ПетрГУ, 2018. – 70, [2] с. – (Математика не для ЕГЭ).

ISBN 978-5-8021-3370-5

Учебное пособие ориентировано на широкий круг читателей: учащихся средней школы, учителей математики, студентов, а также всех, интересующихся историей математики.

ISBN 978-5-8021-3370-5

УДК 51(09) ББК 22.1г

○c Белый Е. К., 2018

Содержание

Символ – это совершенное совпадение языка и идеи.

Ханс Георг Гадамер

Предисловие 8

Дорогой читатель! В этой книге мы расскажем о происхождении наиболее известных математических символов. Некоторые из них знакомы нам еще с младших классов. Кажется, что они были всегда, но на самом деле почти все эти символы появились недавно – в течение последних нескольких столетий, и их авторы известны. Отношения между символами и их творцами неоднозначны. Кто-то автор целой семьи символов, а порой над одним символом трудилось несколько ученых.

Книга разделена на две части: в первой (с. 8) речь идет собственно о символах, а во второй (с. 34) даны краткие биографии их творцов, снабженные ссылками на литературные источники из приведенного на с. 58 списка. Пособие может служить справочником или, точнее, путеводителем в исследовательской работе школьников. Также книга может быть полезна преподавателям, поскольку исторический материал украшает и оживляет любой урок или лекцию. Мы не пытались дать полный обзор всех символов. Да это и невозможно. В каждом разделе мате-

матики есть своя специфическая символика, порой знакомая только узкому кругу посвященных. Иногда символ имеет локальный статус, в пределах раздела текста: в одной главе учебника физики буквой обозначено время, в другой – температура.

Мы заговорили о буквах. Буквы латинского, греческого и (реже) других алфавитов являются неотъемлемой частью математической символики. Ими обозначают переменные и константы. Некоторые буквы сами стали символами, например, число , число ; другие послужили для них «строительным материалом». Так, средневековые математики обозначали квадратный корень буквой r (от

лат. radix – корень), которая со временем превратилась в знак √ ; Готфрид Лейбниц «создал» интеграл ( ∫ ), вытя-

нув букву s, а Герхард Генцен «получил» квантор всеобщности ( ), поставив «вверх ногами» букву A. Математическими символами вне всякого сомнения являются и цифры. В любом учебнике по истории математики уделяется внимание вавилонским, египетским, римским и другим цифрам. Но их нельзя рассматривать как часть современной математической символики. Современные цифры пришли в Европу из Индии через арабов, и потому их часто называют арабскими. Первая большая отечественная работа по истории современных цифр

6

«Происхождение и история наших цифр» [14] увидела свет в 1908 г. Ее автор – выдающийся русский историк и филолог Николай Михайлович Бубнов.

Процесс становления символики нельзя рассматривать

вотрыве от развития идей и понятий соответствующей области знания, а это как раз и есть то, чем занимается история науки. В отечественной литературе традиционно уделялось большое внимание истории математики. Прежде всего хочется отметить такие фундаментальные труды, как трехтомная «История математики с древнейших времен до начала XIX столения» под редакцией Адольфа Павловича Юшкевича [46], [47], [48] и «Формирование математической логики» Николая Ивановича Стяжкина [82],

вкоторых, помимо прочего, можно найти почти всю информацию о рассмотренных ниже символах. Нельзя не упомянуть двухтомник Константина Алексеевича Рыбникова, задуманный как учебник по «Истории математики»

для студентов IV курса МГУ [80], [81]. В 1948 г. в Советском Союзе по инициативе А. П. Юшкевича основано первое в мире периодическое издание по истории математики «Историко-математические исследования», пятьдесят выпусков которого увидело свет. Однако эта литература рассчитана на подготовленного читателя. На русский язык переведены работы многих зарубежных авто-

ров – это «Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции» Ван дер Вардена [18], «Очерки по истории математики» Николя Бурбаки [15] и др.

Математическая символика – сложная, развивающаяся по своим законам, система, даже поверхностное описание которой не сводится к перечню символов. Мы же предлагаем не «клад», а только стрелочку, указывающую путь к нему. В списке литературы на с. 58 вы найдете биографии многих выдающихся ученых. Такая литература, как и любая научно-популярная, способствует не только формированию устойчивого интереса читателя к науке, но и дает ему возможность обогатиться новыми идеями, заглянуть за рамки школьной программы, выбрать будущую профессию.

В процессе работы над книгой использовались материалы 3-го издания БСЭ и Википедии.

Замечания и предложения вы можете направлять по одному

из адресов: belyi@petrsu.ru или kurs_belyi1@mail.ru.

Евгений Белый Сентябрь 2018

Символы

А–Г 4 10

Абсолютная величина (модуль) (| |, abs(x)). Предположительно автор знака | | Роджер Котс. Готфрид Лейбниц также называл соответствующую функцию «модулем» (лат. modulus – мера), но обозначал (возможно, от лат. moles – сила). Общепринятым обозначение | | стало после работ Карла Вейерштрасса (1841).

Огюстен Коши и Жан Роберт Арган в начале XIX в. расширили понятие «модуль» на область комплексных чисел, а Хондрик Лоренц (1903) использовал эту же символику для обозначения длины вектора. Карл Готфрид Нейман (1914) предпочитал обозначение abs(x), которое сейчас обычно используют в языках программирования.

Бесконечность (∞). Впервые встречается в тракта-

те английского математика Джона Валлиса «Арифметика бесконечно малых» (1656). Возможно, знак появился как вариант — последней буквы греческого алфавита. Так-

же применяют знаки +∞ и −∞.

Вектор ( ). В 1806 г. Жан Робер Арган обозначил на-

правленный отрезок черточкой над буквой. Огюстен Луи Коши обозначил вектор буквой со стрелочкой наверху (1853),

которая впоследствии трансформировалась в черточку. А термин «вектор» (от лат. vector – несущий) предложил в первой половине XIX в. Уильям Гамильтон.

Гиперболические функции ( , , , ,

и ). Впервые появились в трудах Абрахама

де Муавра (1707). Современное определение гиперболических синуса и косинуса дал Винченцо Риккати в работе «Opusculorum» (1757), он же предложил их обозначения –, . Дальнейшее исследование свойств гиперболических

функций было проведено Иоганном Ламбертом (1768). В обозначении гиперболических синуса, косинуса и тангенса первую букву взяли от соответствующих тригонометрических функций, в обозначении катангенса – первые две, а в обозначении секанса и косеканса – все три буквы, после чего к ним добавили – первую букву лат.

hyperbolica (гиперболический).

Градиент ( или ). Градиент скалярной

функции ( , , ) трех переменных – вектор

= = ∂∂ + ∂∂ + ∂∂ ,

где , и – орты, составляющие ортонормированный ба-

зис трехмерного пространства. Термин «градиент» (от лат. gradiens – растущий) ввел Джеймс Максвелл (1873). Он же