Раздел 3. Методы и модели экспертных оценок при принятии решений Тема 5. Экспертные оценки

При решении многих практических задач часто оказывается, что факторы определяющие конечные результаты, не поддаются непосредственному измерению. В этих случаях применяется процедура ранжирования.

Под ранжированием будем понимать процедуру расположения факторов а_i (i=1, 2,…,n) в порядке их существенности: на первом месте стоит самый существенный, следом за ним менее существенный, но самый важный из оставшихся, и т.д. Это означает, что каждому фактору а_i следует поставить в соответствие некоторое целое число х_i – его ранг. Составить ранжированную последовательность можно с помощью специалистов – экспертов.

Если эксперт не в состоянии указать порядок следования для двух или нескольких объектов, либо он присваивает разным объектам один и тот же ранг. То в таком случае, объектам приписывают стандартизированные ранги. Стандартизированный ранг равен среднему значению от суммы мест объектов с одинаковыми рангами деленной на натуральное число, которым выражен ранг.

Пример 5. Шести альтернативам присвоены следующие ранги:

аi	а1	а2	а3	а4	а5	а6
хi	1	2	3	3	2	3

Объектам а₂ и а₅, поделившим между собой 2-е и 3-е места, приписывается стандартизированный ранг х^*= (2+3)/2 = 2,5. А объектам а₃, а₄ и а₆ поделившим 4, 5, 6-е места, приписывают стандартизированный ранг х^*= (4+5+6)/3 = 5. Получаем следующую ранжировку:

аi	а1	а2	а3	а4	а5	а6
хi*	1	2,5	5	5	2,5	5

Таким образом, сумма рангов, полученная в результате ранжирования n объектов, будет равна сумме чисел натурального ряда, т.е.

. (21)

Когда ранжирование производится несколькими экспертами, то результаты опроса m экспертов относительно n факторов сводятся в матрицу размерности , которая называется матрицей опроса (табл. 3.1). Здесь x_ij – ранг j-го фактора, данный i-м экспертом.

Таблица 3.1

Матрица опроса

эксперт	факторы
	1	2	…	n
1	x11	x12	…	x1n
2	x21	x22	…	x2n
…	…	…	…	…
m	xm1	xm2	…	xmn

Затем, при обработке матриц опроса переходят к преобразованным рангам по формуле:

. (22)

При этом матрица опроса преобразуется в матрицу преобразованных рангов (табл. 3.2), для каждого столбца которой определяется сумма

. (23)

Таблица 3.2

Матрица преобразованных рангов

эксперт	факторы
	1	2	…	n
1	s11	s12	…	s1n
2	s21	s22	…	s2n
…	…	…	…	…
m	sm1	sm2	…	smn
Сумма	S1	S2	…	Sn

По матрице преобразованных рангов определяется относительный вес каждого фактора по всем экспертам:

, . (24)

При анализе оценок, полученных от экспертов, часто возникает задача определения общей меры согласованности экспертных оценок. Для этого используют коэффициент конкордации W, который является числовым критерием согласованности мнений экспертов в рассматриваемой группе:

, . (25)

, . (26)

Если оценки вех экспертов совпадают, то W= 1.

Если W <0,4, то говорят о слабой согласованности экспертов.

Если W >0,7, то о сильной согласованности.

Пример 6. Пять дегустаторов следующим образом выразили предпочтения вкусовым качествам продукта, выпускаемого пятью заводами (табл. 3.3). Определить степень согласованности мнений экспертов и относительный вес всех факторов.

Таблица 3.3

Оценки вкусовых качеств продукта

Дегустатор	Завод
	1	2	3	4	5
1	1	3	4	2	5
2	1	2	5	3	4
3	2	2	5	3	4
4	1	1	4	5	3
5	3	1	4	2	5

Решение. Определим степень согласованности мнений экспертов, для этого по таблице 3.3. определим (формула 26) и (таблица 3.4).

Таблица 3.4

Промежуточные вычисление коэффициента конкордации

Дегустатор	Завод					итого
	1	2	3	4	5
Rj	8	9	22	15	24	75
	-7	-6	7	0	6
	49	36	49	0	36	170

.

По формуле 26 определим: .

Полученная величина коэффициента конкордации W=0,68 показывает среднюю степень согласованности мнений экспертов.

Найдем относительный вес всех факторов. Матрицу опроса (табл. 3.3) преобразуем в матрицу преобразованных рангов по формуле 22 (табл. 3.5), где = 5.

Таблица 3.5

Матрица преобразованных рангов

Дегустатор	Завод					итого
	1	2	3	4	5
1	4	2	1	3	0
2	4	3	0	2	1
3	3	3	0	2	1
4	4	4	1	0	2
5	2	4	1	3	0
Sj	17	16	3	10	4	50
	0,34	0,32	0,06	0,2	0,08

По матрице преобразованных рангов (табл. 3.5) определяется относительный вес каждого фактора по всем экспертам по формуле 24. Далее, проранжируем заводы по предпочтениям вкусовых качеств продукта: = = 0,34, следовательно продукту первого завода присваивается наивысший ранг х₁^*=1, далее х₂^* = 2, х₄^* = 3, х₅^*=4, х₃^*= 5.

Для определения степени согласованности мнений двух экспертов удобно пользоваться коэффициентом ранговой корреляции по Спирмену:

, (27)

где х_i – ранг установленный первым экспертом, у_i – ранг установленный вторым экспертом, n – число факторов или объектов.

Количество ранжируемых объектов n не должно быть больше 20, а наиболее надежна эта процедура, когда n<10.

В экспертных, маркетинговых, социологических и иных опросах опрашиваемые выставляют баллы объектам. Для анализа этих опросов целесообразно использовать метод средних арифметических рангов и метод медианных рангов.