§ 8.4. Свойства собственных векторов.

Свойство 1. Если все собственные значения линейного оператора попарно различны, то система соответствующих им собственных векторов линейно независима.

Доказательство. Для доказательства используем метод математической индукции по числу векторов. Для одного вектора предположение верно, так как он ненулевой. Пусть утверждение верно для и собственные векторы принадлежат различным собственным значениям и линейно независимы. Составим линейную комбинацию этих векторов

(1)

и выясним, при каких значениях коэффициентов эта линейная комбинация векторов будет тривиальной. Применим к обеим частям этого равенства линейный оператор. Получим

. (2)

Из равенств (1) и (2) следует

.

В силу индуктивности предположения векторы линейно независимы, поэтому . Из того, что все собственные значения различны следует, что и . Вектор , поэтому , равенство (1) выполняется только в случае тривиальной комбинации, что говорит о независимости векторов. Свойство доказано.

Свойство 2. Если характеристическое уравнение линейного оператора, действующего в п-мерном линейном пространстве, имеет п попарно различных действительных корней, то существует базис, в котором матрица этого оператора будет диагональной.

Доказательство. Согласно свойства 1, в пространстве существует базис из п собственных векторов и в этом базисе матрица является диагональной в силу равенств , , …, .

Свойство 3. Матрица А линейного оператора действующего в линейном пространстве, в данном базисе является диагональной тогда и только тогда, когда все векторы этого базиса являются собственными для оператора .

Доказательство. Следует из свойств 1 и 2.

Свойство 4. Если характеристическое уравнение квадратной матрицы п-го порядка имеет п попарно различных вещественных корней, то эта матрица подобна некоторой диагональной.

Доказательство. Следует из свойства 3 и того, что матрицы одного и того же линейного оператора в разных базисах подобны.

Линейный оператор может иметь диагональную матрицу в некотором базисе, состоящем из собственных векторов. Изменение базиса вызывает замену матрицы оператора подобной ей.

§ 8.5. Вычисление собственных значений и собственных векторов линейного оператора.

Характеристическое уравнение линейного оператора является алгебраическим уравнением п-ой степени с действительными коэффициентами. Комплексные корни этого уравнения не относятся к собственным значениям линейного оператора, так как собственное значение  вещественное число по определению.

Вычисление собственных значений линейного оператора и его собственных векторов осуществляет в следующем порядке.

1. Выбрать в линейном пространстве некоторый базис и сопоставить оператору матрицу этого линейного оператора в выбранном базисею

2. Составить характеристическое уравнение и найти все его действительные корни , которые будут собственными значениями оператора;

3. Для каждого собственного значения найти фундаментальную систему решений для системы линейных однородных уравнений . Столбцы фундаментальной системы решений представляют собой координаты векторов некоторого базиса в собственном подпространстве линейного оператора . Эти векторы будут собственными векторами, соответствующими собственному значению .

П р и м е р. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , имеющего в некотором базисе матрицу .

Решение. 1. Оператор уже представлен своей матрицей в некотором базисе. 2. Найдем собственные значения линейного оператора, решив характеристическое уравнение: или . Это уравнение имеет три вещественных корня , , , которые и будут собственными значениями заданного линейного оператора. 3. Для каждого собственного значения найдем собственные векторы. Столбцы координат собственных векторов являются решениями системы линейных однородных уравнений: . Для система уравнений имеет вид: : . Ранг матрицы этой системы равен 2, поэтому фундаментальная система содержит одно решение, например, . Все множество собственных векторов линейного оператора с собственным значением в координатной форме имеет вид . Для получаем систему уравнений , ранг матрицы которой равен 2. Одно из ее решений будет , поэтому все множество собственных векторов линейного оператора с собственным значением в координатной форме имеет вид . Одним из решений системы уравнений для будет вектор . Так как фундаментальная система содержит только одно решение, то все множество собственных векторов линейного оператора с собственным значением в координатной форме имеет вид: .

96