§ 8.2. Характеристическое уравнение линейного оператора.

Рассмотрим линейный оператор , действующий в линейном пространстве . Выберем в некоторый базис и запишем в этом базисе матрицу линейного оператора . Тогда матрица является матрицей линейного оператора , где  тождественный оператор Определитель не зависит от выбора базиса, следовательно, характеристический многочлен матрицы является характеристическим многочленом любой другой матрицы оператора и совпадает с определителем линейного оператора .

Определение. Характеристическим многочленом линейного оператора называется характеристический многочлен его матрицы , записанный в некотором базисе, а характеристическим уравнением этого оператора  характеристическое уравнение матрицы .

В записи коэффициенты характеристического многочлена не связаны с используемым базисов, т. е. являются инвариантными относительно выбора базиса. Поэтому коэффициенты отражают свойства самого оператора, а не его матрицы .

Коэффициенты могут быть выражены в виде многочленов от коэффициентов матрицы оператора. Хотя коэффициенты матрицы меняются при замене базиса, некоторые выражения остаются неизменными. Наиболее просто выражается коэффициент , равный сумме диагональных элементов матрицы . Коэффициент называется следом линейного оператора (следом матрицы ) и обозначается или . Коэффициент характеристического многочлена совпадает со значением этого многочлена при и равен определителю матрицы .

П р и м е р. В пространстве многочленов степени не выше двух, в котором элементы 1, , образуют базис, задан линейный оператор дифференцирования. Составить характеристическое уравнение этого оператора.

Решение. Этот оператор переводит базисные элементы в элементы: , , . Составим матрицу линейного оператора: . Характеристическое уравнение этого оператора имеет вид: .

§ 8.3. Собственные векторы линейного оператора.

Определение. Ненулевой вектор в линейном пространстве называется собственным вектором линейного оператора , если для некоторого действительного числа выполняется соотношение:

. (8.1)

Число называется собственным значением (собственным числом) линейного оператора .

П р и м е р. Рассмотрим пространство многочленов степени не выше двух. В этом пространстве содержатся многочлены нулевой степени . Тогда , т. е. многочлены вида , где  , являются собственными векторами линейного оператора дифференцирования, а  собственное значение этого оператора.

Определение. Множество всех собственных значений линейного оператора называется спектром линейного оператора.

Теорема. Любому собственному вектору соответствует единственное собственное значение.

Доказательство. Доказательство проведем «от противного». Пусть собственному вектору соответствуют собственные значения и , причем . Тогда для собственных значений и должно выполняться равенство (8.1), т. е. , . Следовательно, или . Принимая во внимание, что , получим:  противоречие с определением собственного вектора. Значит, любому собственному вектору соответствует единственное собственное значение. Теорема доказана.

Каждому собственному значению соответствуют свои собственные векторы. Покажем, что таких векторов бесконечно много. Пусть  собственный вектор линейного оператора с собственным значением , т. е. . Тогда для любого отличного от нуля вещественного числа вектор не является нулевым и для него выполняется равенство . Следовательно, вектор является собственным вектором линейного оператора с собственным значением .

Теорема. Для того, чтобы действительное число являлось собственным значением линейного оператора, необходимо и достаточно, чтобы оно было корнем характеристического уравнения этого оператора.

Доказательство. Необходимость ( ). Пусть  собственное значение линейного оператора . Тогда в линейном пространстве существует вектор , такой, что . В любом линейном пространстве действует тождественный оператор : . Тогда , или . Запишем это равенство в некотором базисе линейного пространства . Матрицей этого оператора будет матрица , где  матрица линейного оператора в базисе . Пусть  столбец координат вектора . Тогда и матричная запись равенства имеет вид: . Это равносильно системе уравнений

(8.2)

Система имеет ненулевое решение, которое является столбцом координат вектора , следовательно, , поэтому  корень характеристического уравнения.

Достаточность ( ). Пусть  корень характеристического уравнения, тогда в некотором базисе выполняется равенство и система (8.2) линейных однородных алгебраических уравнений имеет ненулевое решение . Это решение является набором координат некоторого ненулевого вектора , который оператор переводит в нулевой вектор, т. е. , или , т. е. действительное число является собственным значением линейного оператора. Теорема доказана.

Обозначим через множество всех собственных векторов линейного оператора в линейном пространстве , отвечающих собственному значению , с добавленным нулевым вектором.

Теорема. Множество является линейным подпространством в линейном пространстве .

Доказательство. Пусть  произвольные векторы множества . Проверим выполнение аксиом линейного подпространства: , т. е. , справедливо равенство . Если , то он является собственным и принадлежит . Таким образом, является линейным подпространством в . Теорема доказана.

Линейное подпространство иногда называют собственным подпространством линейного оператора.