§7.4 Действия над линейными операторами.

Рассмотрим линейные подпространства и линейного пространства , причем , , . Пусть и - линейные операторы, действующие из в . Операторы считаются равными, если для любого вектора из его образы при действии этого оператора равны, т. е. выполняется равенство . Равные линейные операторы в одном и том же базисе имеют равные матрицы.

Определение. Суммой операторов и называют оператор , переводящий любой вектор из в сумму образов от действия на каждого оператора по отдельности, т. е. это оператор, действующий по правилу .

Сумма линейных операторов является линейным оператором. Матрицей суммы линейных операторов в фиксированных базисах является сумма матриц слагаемых операторов в тех же базисах. Определение суммы линейных операторов распространяется на любое конечное число операторов. Аналогичным остается и правило построения матрицы такой суммы операторов.

Определение. Произведением линейного оператора на число называется оператор , при действии которого образы векторов из умножаются на , т. е. .

Произведение линейного оператора на число является линейным оператором. При умножении линейного оператора на число его матрица умножается на то же число.

Пусть даны линейные подпространства , и линейного пространства , причем , , , и - линейный оператор, действующие из в , а - линейный оператор, действующие из в .

Определение. Произведением операторов и называется результат последовательного выполнения операторов и . Произведение операторов обозначается .

Произведение действует из в и является линейным оператором.

Пусть системы векторов , и являются базисами в пространствах , и соответственно. Обозначим матрицу оператора

8. Собственные векторы и собственные значения

§ 8.1. Характеристическое уравнение матрицы.

Пусть  произвольная матрица. Рассмотрим определитель матрицы , где  единичная матрица п-го порядка,  действительное переменное: . Относительно этот определитель является многочленом степени п и может быть записан в виде: . В этом выражении коэффициенты введены для удобства.

Определение. Многочлен называется характеристическим многочленом матрицы , а уравнение  характеристическим уравнением матрицы .

П р и м е р. Написать характеристический многочлен матрицы .

Решение. .

Квадратную матрицу можно использовать в качестве значения переменного в произвольном многочлене. Тогда значение многочлена от метрицы будет матрица того же порядка, что и исходная.

Определение. Аннулирующими многочленами называются многочлены, значения которых от данной матрицы являются нулевыми матрицами.

Теорема Кэли-Гамильтона. Для любой квадратной матрицы характеристический многочлен является ее аннулирующим многочленом.

Эту теорему примем без доказательства.

Теорема. Характеристические многочлены (уравнения) подобных матриц совпадают.

Доказательство. Пусть квадратные матрицы и одного порядка подобны. Тогда существует невырожденная матрица такая, что . Следовательно, . Теорема доказана.