7. Линейные операторы
§ 7.1. Определение и примеры линейных операторов.
Определение.
Отображение
,
переводящее множество
в множество
(
),
называется сюръективным,
если любой элемент
является образом некоторого элемента
.
Отображение
называется инъективным,
если любые два элемента
,
имеют разные образы.
Определение. Если отображение является одновременно сюръективным и инъективным, то оно называется биективным.
Такое отображение устанавливает между множествами и взаимно однозначное соответствие.
Определение.
Отображение
из линейного пространства
в линейное пространство
называется линейным отображением,
если выполняются условия: 1)
;
2)
и
R
.
Такой
оператор
называется также линейным преобразованием
линейного пространства
,
и говорят, что оператор
действует в линейном пространстве
.
Из определения линейного отображения следует, что при выполнении условий 1), 2) будет выполняться и условие
.
(7.1)
Из
выполнения равенства (7.1) как частные
случаи получаются свойства 1) (при
)
и 2) (при
).
Поэтому любое линейное отображение
переводит нулевой вектор в нулевой, т.
е.
,
где
,
.
Определение.
Ядром (
)
линейного оператора
называется множество тех векторов
линейного пространства
,
для которых образом является нулевой
вектор линейного пространства
,
т. е.
.
Определение.
Образом (
)
линейного оператора
называется множество векторов
,
являющихся значениями этого оператора.
Каждому линейному оператору соответствует ядро и образ .
Теорема. Для любого линейного оператора его ядро является линейным подпространством в , а его образ линейным подпространством в .
Доказательство.
Пусть
,
т. е.
,
.
Тогда
,
.
Это означает, что
является линейным подпространством в
.
Пусть
,
следовательно,
такие, что
,
.
Проверим выполнение аксиом линейного
подпространства для
:
,
.
Таким образом,
и
являются значениями линейного оператора
,
т. е.
является линейным подпространством в
.
Теорема доказана.
Определение.
Дефектом
линейного оператора
называется размерность его ядра, т. е.
.
Определение.
Рангом
линейного оператора
называется размерность его образа, т.
е.
.
Определение.
Тождественным оператором
называется оператор, который каждый
вектор линейного пространства
переводит в себя, т. е.
.
Определение.
Нулевым оператором
называется оператор, переводящий каждый
вектор линейного пространства
в нулевой, т. е.
.
Из этих определений следует:
а)
если
,
,
т. е. дефект
тождественного оператора принимает
наименьшее из возможных значений, равное
нулю; ранг линейного оператора в этом
случае будет наибольшим, совпадающим
с размерностью линейного пространства
;
б)
если
,
то
,
т. е. ранг нулевого оператора в этом
случае равен нулю, а дефект
размерности
линейного пространства
.
Теорема. Дефект и ранг линейного оператора связаны с размерностью линейного пространства соотношением
.
(7.2)
Доказательство.
Рассмотрим прямое дополнение
к линейному подпространству
в линейном пространстве
.
Тогда
,
или
.
Покажем, что
.
Линейный оператор
можно рассматривать как линейный
оператор, переводящий линейное
пространство
во все линейное пространство
.
Если
,
то
только при
(в противном случае
).
Следовательно, линейный оператор
на линейном пространстве
имеет нулевой дефект и является
сюръективным. Он осуществляет биективное
отображение линейного пространства
в линейное пространство
.
В этом случае
.
Таким образом,
или
.
Теорема доказана.