3.6. Построение ортогонального дополнения.

Пусть линейное подпространство определено как линейная оболочка некоторой системы векторов .

По определению ортогонального дополнения произвольный вектор должен быть ортогонален любому вектору , , т. е. .

Верно и обратное. Нетрудно показать, что если , то вектор ортогонален любой линейной комбинации векторов , ,…, . Поэтому вектор , ортогональный любому вектору из линейного подпространства , принадлежит линейному подпространству . Таким образом, система уравнений , описывает ортогональное дополнение линейного подпространства . Запишем эту систему по координатам в некотором ортонормированном базисе евклидового пространства . Пусть ( ). Координаты произвольного вектора в этом базисе обозначим , т. е. . Поэтому в ортонормированном базисе имеем: , а для всей системы векторов получим алгебраическую систему т линейных однородных уравнений с п неизвестными:

Строки матрицы этой системы совпадают с наборами координат векторов , ,…, . Поэтому матрица имеет ранг, совпадающий с размерностью линейного подпространства . Множество решений этой системы линейных алгебраических уравнений описывается при помощи фундаментальной системы решений.

П р и м е р. Пусть линейное подпространство представляет собой линейную оболочку системы векторов , , , , заданных координатами в некотором фиксированном ортонормированном базисе пространства . Найти базис ортогонального дополнения .

Решение. Пусть вектор в этом же ортонормированном базисе имеет координаты . Составим система линейных однородных уравнений относительно координат вектора :

Фундаментальная система решений состоит из векторов (  число переменных,  ранг матрицы ). Строками матрицы являются координаты векторов , , и , поэтому . Найдем ранг этой матрицы, используя элементарные преобразования:    , т. е. . Фундаментальная система решений будет состоять из двух векторов, например, и . Эти векторы принадлежат , но не являются ортонормированными. Применяя процесс ортогонализации, перейдем от базиса к ортогональному базису : , . Учитывая, что , получим . Базис ортогонален, но не является ортонормированным. Ортонормированным будет базис, состоящий из векторов , , т. е. , .