3. Евклидово пространство

3.1. Определение евклидова пространства.

Говорят, что в п-мерном вещественном линейном пространстве определено скалярное умножение, если любой паре векторов и этого пространства поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое и называемое скалярным произведением векторов и . При этом и любого вещественного числа должны выполняться условия:

1. ;

2. ;

3. ;

4. если , то , если , то .

Из свойств 2) и 3) следует формула для скалярного произведения линейных комбинаций двух систем векторов: если , , то

. (3.1)

Например, если , , то по формуле (3.1):

.

Определение. Произвольное п-мерное линейное пространство называется п-мерное евклидовым пространством, если в нем определено скалярное произведение.

При любом значении п в п-мерном линейном пространстве можно определить скалярное умножение, т. е. можно превратить это пространство в евклидово.

Выберем в базис , ,…, . Если , , то скалярное произведение определим следующим образом:

. (3.2)

Проверим выполнение условий 1) – 4):

1. ;

2. ;

3. ;

4. , если , т. е. .

Таким образом, равенство (3.2) определяет скалярное умножение.

Определение. Пусть в произвольном п-мерном линейном пространстве задано произвольным способом скалярное умножение, дано произвольное евклидово пространство . Векторы и из пространства называются ортогональными, если .

Из определения ортогональности векторов следует, что нулевой вектор ортогонален любому вектору.

Определение. Система векторов называется ортогональной, если все ее векторы попарно ортогональны между собой.

Теорема. Любая ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

Доказательство. Пусть система ненулевых векторов , , …, принадлежит произвольному евклидовому пространству , причем ( ). Тогда существуют вещественные числа , не равные одновременно нулю, такие что . Умножим обе части этого равенства скалярно на : . Так как , то и поэтому . С учетом того, что  произвольный вектор из системы , , …, , приходим к равенству , следовательно, система векторов линейно независима. Теорема доказана.

3.2. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.

Процесс ортогонализации  способ перехода от любой линейно независимой системы из векторов , , …, произвольного евклидового пространства к ортогональной системе, также состоящей из ненулевых векторов. Эти векторы обозначим , , …, .

1. Пусть , т. е. первый вектор войдет в ортогональную систему.

2. . Найдем из условия ортогональности векторов и : . Так как , векторы и линейно независимы, то при любом значении и , следовательно, .

3. Пусть уже построена система ненулевых векторов , , …, . Дополнительно предположим, что , , . Представим вектор в виде: . В этом случае вектор может быть также представлен и в виде линейной комбинации векторов , , …, . Так как система векторов , , …, линейно независима, вектор не входит в векторы , , …, , то . Коэффициенты , , …, подберем таким образом, чтобы вектор был ортогонален векторам , , …, , т. е. , , выполняется равенство . Так как векторы , , …, ортогональны между собой, то , т. е. , . Продолжая этот процесс, построим искомую ортогональную систему.

Таким образом, применяя процесс ортогонализации к произвольному базису в евклидовом пространстве можно построить систему из п ненулевых векторов, которая будет линейно независима, т. е. будет ортогональным базисом.

П р и м е р. Показать, что в векторы , , образуют базис. С их помощью построить ортогональный базис.

Решение. Найдем ранг матрицы , столбцами которой являются координаты векторов , , :   ранг матрицы равен 3, следовательно, ее столбцы и линейно независимы, т. е. , , линейно независимы и образуют базис. Построим ортогональный базис: , поэтому . Вектор ищем в виде: , где . Так как , то . Для вектора найдем значения коэффициентов и : , . Тогда . Векторы , , линейно независимы и ортогональны, т. е. они образуют ортогональный базис.