6. Элементы комбинаторики. Размещения, перестановки, сочетания

Пусть у нас есть множество из трех элементов  . Какими способами мы можем выбрать из этих элементов два?  .

Определение. Размещениями множества из   различных элементов по   элементов   называются комбинации, которые составлены из данных   элементов по   элементов и отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

Число всех размещений множества из   элементов по   элементов обозначается через   (от начальной буквы французского слова “arrangement”, что означает размещение), где   и  .

Теорема. Число размещений множества из   элементов по   элементов равно

Доказательство. Пусть у нас есть элементы  . Пусть   — возможные размещения. Будем строить эти размещения последовательно. Сначала определим  — первый элемент размещения. Из данной совокупности   элементов его можно выбрать   различными способами. После выбора первого элемента   для второго элемента  остается   способов выбора и т.д. Так как каждый такой выбор дает новое размещение, то все эти выборы можно свободно комбинировать между собой. Поэтому имеем:

Пример. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти цветов?

Решение. Искомое число трехполосных флагов:

Определение. Перестановкой множества из   элементов называется расположение элементов в определенном порядке.

Так, все различные перестановки множества из трех элементов   — это

Очевидно, перестановки можно считать частным случаем размещений при  .

Число всех перестановок из   элементов обозначается   (от начальной буквы французского слова “permutation”, что значит “перестановка”, “перемещение”). Следовательно, число всех различных перестановок вычисляется по формуле

Пример. Сколькими способами можно расставить 8 ладей на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

Решение. Искомое число расстановки 8 ладей

 по определению!

Определение. Сочетаниями из   различных элементов по   элементов называются комбинации, которые составлены из данных   элементов по   элементов и отличаются хотя бы одним элементом (иначе говоря,  -элементные подмножества данного множества из   элементов).

Как видим, в сочетаниях в отличие от размещений не учитывается порядок элементов. Число всех сочетаний из   элементов по   элементов в каждом обозначается   (от начальной буквы французского слова “combinasion”, что значит “сочетание”).

Числа 

Все сочетания из множества   по два —  .

.

Свойства чисел 

1.  .

Действительно, каждому  -элементному подмножеству данного   элементного множества соответствует одно и только одно  -элементное подмножество того же множества.

2.  .

Действительно, мы можем выбирать подмножества из   элементов следующим образом: фиксируем один элемент; число  -элементных подмножеств, содержащих этот элемент, равно ; число  -элементных подмножеств, не содержащих этот элемент, равно  .

7.Геометрические вероятности. Аксиоматическое определение вероятности.

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.)

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L. В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством

P=длина l / длина L

Пример 1. На отрезок ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлена точка В(х). Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину, большую L/3. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

Решение. Разобьем отрезок ОА точками С и D на 3 равные части. Требование задачи будет выполнено, если точка В(х) попадет на отрезок CD длины L/3. Искомая вероятность:

Р = (L/3)/L = 1/3.

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Это означает выполнение следующих предположений: брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры G,

вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g. В этих предположениях вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством:

Р = Площадь g/Площадь G.

Пример 2. На плоскости начерчены две концентрическuе окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения относительно большого круга.

Решение. Площадь кольца (фигуры g)

S_g = π (10²-5²) = 75 π.

Площадь большого круга (фигуры G)

S_G= π10²= 100 π.

Искомая вероятность

Р = 75 π /(100 π) =0,75.

Аксиоматическое определение вероятности.

Определение. Пусть дано пространство элементарных исходов Ω. Пусть функция Р(А) определена на элементах этого пространства. Функция Р(А) называется вероятностью, если выполняются следующие свойства(аксиомы):

1) аксиома положительности: Р(А) ≥ 0 " А (каждому событию А соответствует положительное число).

2) аксиома нормированности: Р(Ω) = 1 (вероятность достоверного = 1)

3) аксиомой аддитивности: для несовместных событий Р(А + В) = Р(А) + Р(В). (Вероятность объединения двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий)

Будем также использовать обобщение свойства 3:

Пусть А₁ , А₂, …, А_n – счетное множество попарно несовместных событий, т.е А_i ∙ А_j = Ø при i ≠ j. Тогда