29. Начальные и центральные моменты и их статистические оценки. Сходимость оценок.

31. Доверительные интервалы для дисперсии и среднего квадратичного отклонения

Доверительный интервал для дисперсии при известном математическом ожидании

Пусть   – выборка наблюдений из нормальной генеральной совокупности. Найдем доверительный интервал для дисперсии   нормально распределенного признака Х с известным математическим ожиданием  . Поскольку значение математического ожидания известно, то в качестве оценки величины   возьмем точечную оценку дисперсии  , которую будем рассматривать как случайную величину, зависящую от случайной выборки. Тогда величина   является суммой квадратов значений  . Эти величины имеют стандартное нормальное распределение с параметрами (0,1), а сумма   имеет   (хи-квадрат) распределение Пирсона с   степенями свободы. Плотность случайной величины, распределенной по закону  , имеет вид  , где   – число степеней свободы. Пользуясь плотностью  -распределения найдем интервал, в который значения   попадают с надежностью  . Обозначим этот интервал  . Поскольку распределение   не является симметричным, то чтобы получить симметричный относительно параметра интервал, значения   и   выберем так, чтобы вероятности попадания значений   левее   и правее   были одинаково равными  . Тогда  . Числа   и   можно отыскать по специальной таблице критических точек распределения  , исходя из того, что  ,  . После того, как числа   и   выбраны, возможно определить доверительный интервал для дисперсии  . Так как  , то неравенство   преобразуется к неравенству   или, в эквивалентном виде,  . Это двойное неравенство означает, что доверительным интервалом для   с надежностью   является промежуток  .

Доверительный интервал для дисперсии при неизвестном математическом ожидании

Найдем доверительный интервал для дисперсии   нормально распределенного признака Х с неизвестным математическим ожиданием.  При выводе интервальной оценки, в случае известного математического ожидания, мы пользовались величиной  . Теперь это значение использовать нельзя, поэтому в качестве несмещенной оценки дисперсии будем использовать исправленную выборочную дисперсию  .  Случайная величина    имеет распределение Пирсона    с    степенями свободы.  Выберем близкую к единице вероятность   и найдем интервал, в который попадает неизвестный параметр с надежностью  . Для этого повторим рассуждения разд. 2.3 и получим, что оцениваемое значение дисперсии   с надежностью   покрывается доверительным интервалом  .

 

 

 

 

 

Доверительный интервал для среднего квадратичного отклонения

Пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально. Требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратичное отклонение   по исправленному среднему квадратичному отклонению  . Для этого найдем доверительный интервал, покрывающий неизвестный параметр   с надежностью  . В сущности, задача повторяет предыдущий раздел, но сейчас мы немного изменим обозначения для упрощения записи результата. Выражение для доверительной вероятности имеет вид  , где   – абсолютная погрешность оценивания. Неравенство   или равносильное ему неравенство   преобразуем к виду  . Обозначим   и, поскольку абсолютную погрешность оценивания мы выбираем достаточно малой, можно считать, что  . Перепишем неравенство в виде  , домножим на  , получим  . Из предыдущего раздела известно, что случайная величина   имеет распределение Пирсона   с   степенями свободы. Поэтому переменную   можно выразить через значения критических точек   и   распределения Пирсона и записать эти значения в таблицу (в приложении значения параметра   приведены в табл. 3). Вычислив по выборке значение   и найдя по таблице  , получим искомый доверительный интервал для среднего квадратичного отклонения, покрывающий параметр   с заданной надежностью  :  .