Модуль 2 Дослідження операцій Тема 2. Моделювання фінансово–інвестиційних процесів. Економетричні моделі динаміки
Динамічне програмування - це метод оптимізації, пристосований до операцій, в яких процес прийняття рішень можна розбити на ряд послідовних кроків (етапів). Такі операції називають багатокроковими. В основі методу розв’язування задач динамічного програмування лежить принцип оптимальності, сформульований Р. Белманом. Його ідея полягає в тому, що конкретна задача оптимізації розчленовується на декілька аналогічних багатокрокових задач. Їх розв’язування призводить до функціональних рівнянь, які виражають рекурентні співвідношення відносно оптимального значення цільової функції і дозволяють послідовно отримати управління для початкової задачі оптимізації.
Одна з основних переваг динамічного підходу до розв’язування задач на оптимальність – відсутність аналітичних виразів для цільової функції. Таким чином, досить широке коло практично важливих задач можна розв’язати методами динамічного програмування без попереднього запису цільової функції.
Розглянемо класичну задачу динамічного програмування, яку прийнято називати задачею про розподіл ресурсів.
Виробничому об'єднанню, до якого входить n підприємства П1, П2, ..., Пn, виділено для початкового розподілу суму засобів у розмірі S0. Вважають, що засоби, виділені підприємству Пk в розмірі хк на початковий період, дають прибуток fk(xk) (k=1,2,3,4). Будемо вважати, що дохід, одержаний об'єднанням від вкладених засобів, що залишилися, дорівнює сумі прибутків, одержаних від розподілу всіх засобів S0 , на всіх підприємствах.
Визначити, яку кількість засобів xk потрібно виділити кожному підприємству Пk, щоб сумарний прибуток z був максимальний.
Побудуємо математичну модель задачі.
Загальний дохід виражається цільовою функцією: z=å fk (xk) ( max ) (1)
Змінні
xk
повинні задовільнити умови: x1
+ x2
…+xn=S0,
xj
0
(j=1,…,n) (2)
Завдання 1.
Модель оптимального розподілу фінансових ресурсів.
Для реалізації чотирьох інвестиційних проектів компанія планує виділити Х млн. грн. У залежності від ринкової ситуації реалізація цих проектів передбачає отримати відповідні прирости доходів, варіанти котрих наведені в табл. 1
Необхідно розрахувати оптимальний варіант вкладень інвестицій у відповідні проекти. Дані для розрахункових завдань приведені у табл.2 та 3.
Таблиця 1.
Розмір інвестицій, млн. грн |
Приріст прибутків від реалізації відповідних проектів, млн. грн |
|||
|
f1(x) |
f2(x) |
f3(x) |
f4(x) |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
100 |
60+a1 |
80+a1 |
40+a1 |
50+a1 |
200 |
120+a2 |
110+a2 |
140+a2 |
180+a2 |
300 |
230+a3 |
240+a3 |
280+a3 |
240+a3 |
400 |
340+a4 |
370+a4 |
320+a4 |
330+a4 |
500 |
410+a5 |
430+a5 |
420+a5 |
440+a5 |
Таблиця 2.
Варіант (остання цифра № залікової книжки) |
а2 |
а3 |
а4 |
0 |
10 |
30 |
40 |
1 |
20 |
20 |
20 |
2 |
20 |
10 |
30 |
3 |
30 |
10 |
10 |
4 |
10 |
30 |
30 |
5 |
30 |
10 |
40 |
6 |
10 |
30 |
10 |
7 |
20 |
30 |
20 |
8 |
30 |
20 |
30 |
9 |
40 |
10 |
10 |
Таблиця 3
Варіант (порядковий № в групі) |
а5 |
а1 |
Варіант (порядковий № в групі) |
а5 |
а1 |
1 |
5 |
10 |
24 |
10 |
10 |
2 |
10 |
10 |
25 |
30 |
10 |
3 |
15 |
5 |
25 |
30 |
10 |
4 |
20 |
5 |
27 |
30 |
15 |
5 |
5 |
10 |
28 |
30 |
20 |
6 |
5 |
10 |
29 |
40 |
20 |
7 |
5 |
10 |
30 |
40 |
10 |
8 |
10 |
5 |
31 |
20 |
30 |
9 |
10 |
5 |
32 |
30 |
30 |
10 |
10 |
5 |
33 |
20 |
20 |
11 |
15 |
5 |
34 |
10 |
40 |
12 |
15 |
5 |
35 |
10 |
10 |
13 |
15 |
5 |
36 |
10 |
10 |
14 |
20 |
5 |
37 |
20 |
10 |
15 |
20 |
5 |
38 |
20 |
20 |
16 |
20 |
5 |
39 |
10 |
5 |
17 |
20 |
5 |
4 |
10 |
5 |
18 |
15 |
0 |
41 |
25 |
10 |
19 |
15 |
10 |
42 |
30 |
15 |
20 |
15 |
30 |
43 |
25 |
5 |
21 |
10 |
35 |
44 |
10 |
5 |
22 |
5 |
25 |
45 |
10 |
10 |
23 |
20 |
40 |
46 |
5 |
25 |