Упражнения

Решить уравнения:

1. ;

2. ;

3. 

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

29. ;

30. ;

31. ;

32. ;

33. ;

34. ;

35. ;

36. ;

37. ;

38. ;

39. ;

40. ;

41. ;

42. ;

43. ;

44. ;

45. ;

46. ;

47. ;

48. ;

49. ;

50. ;

51. ;

52. ;

53. ;

54. ;

55. ;

56. (sin(x-y)+1)(2cos(2x-y)+1)=6;

57. ;

58. ;

59. ;

60. ;

61. ;

62. ;

63. ;

64. 

65. ;

67. ;

68. ;

69. ;

70. ;

71. ;

72. ;

73. ;

74. ;

75. ;

76. ;

77. ;

78. ;

79. ;

80. ;

81. ;

82. ;

83. ;

Тригонометрические неравенства

Пример 1. Решить неравенство: .

Решение. В левой части неравенства преобразуем сумму тригонометрических функций в произведение:

.

Полученное неравенство равносильно совокупности двух систем вида:

При решении полученных систем воспользуемся тригонометрическим кругом. Решаем простейшие неравенства первой системы. Имеем:

Отметим полученные множества решений этой системы на

тригонометрическом круге (рис. 1) с учетом общего главного периода , штрихуя на круге сегменты, соответствующие решениям.

Решениями рассматриваемой системы неравенств являются точки единичной окружности, лежащие на выделенной дуге. С учетом периода, получаем:

.

Аналогично решаем вторую систему совокупности (рис. 2), имеем:

Ответ:

.

На этом же примере покажем еще два других способа решения тригонометрических неравенств.

Способ 2.

Преобразуем неравенство к виду

.

Сделаем замену . Тогда, ,

.

Решаем это неравенство методом интервалов (рис. 3).

С учетом ограничений на t получаем

/

Возвращаясь к исходной переменной, получаем совокупность простейших тригонометрических неравенств

решения которой совпадают с полученными ранее (рис. 4).

Способ 3.

Рассмотрим функцию . Она определена и +-*

Откуда

Выберем промежуток , длина которого равна периоду . Найдем решения исходного неравенства на выбранном промежутке. Для этого отметим на нем нули функции:

и определим знак f(x) на каждом из получившихся интервалов (рис. 5)

Заметим, что в силу четности функций и , достаточно определить знаки на интервале . принимает

неотрицательные значения на отрезках .

С учетом периодичности записываем ответ:

Легко убедиться, что данное множество решений совпадает с полученным ранее.

Пример 2. Решить неравенство: .

Решение. Отметим, что . Учитывая, что и функция монотонно возрастает, перейдем к равносильному неравенству

.

Так как , то имеем ,

Решаем полученное простейшее неравенство с помощью тригонометрического полукруга (рис.6) и оси котангенсов y=1.

Имеем совокупность решений неравенства:

Приведём ещё один способ решения данного неравенства.

Способ 2.

Так как ,

то исходное неравенство равносильно неравенству вида

.

Так как для , , то получаем

,

что равносильно простейшему неравенству , решениями которого являются

(рис.7).

Упражнения

Решить неравенства:

;

29. ;

30. ;

31. ;

32. ;

33. ;

34. ;

35. ;

36. 

37. ;

38. ;

39. ;

40. ;

41. ;

42. ;

43. ;

44. ;

45. ;

46. ;

47. ;

48. ;

49. ;

50. ;

51. ;

52. ;

53. ;

54. ;

55. ;

56. ;

57. ;

58. ;

59. ;

60. Решить неравенство на промежутке ;

61. Решить неравенство на промежутке ;

62. Решить неравенство на промежутке ;

63. Решить неравенство на промежутке ;