Е.Ю. Кузьмина

Тригонометрические

уравнения и неравенства

Часть 2

Иркутск 2014

Федеральное агентство по образованию РФ

Иркутский государственный университет

Лаборатория педагогического творчества

Лицей ИГУ

Кузьмина Е.Ю.

Тригонометрические уравнения и неравенства

Часть 2

методические указания

Иркутск 2014

Кузьмина Е.Ю. Тригонометрические уравнения и неравенства. Часть 2. Методические указания. – Иркутск, 2014. – 40 с.: ил. – (Серия «Университетский лицей»)

Содержит примеры тригонометрических уравнений и неравенств, дидактический материал для использования на уроках математики и при выполнении домашних заданий в общеобразовательных и профильных классах с углубленным изучением математики в школах и лицеях.

Написаны в соответствии с программой учебного курса алгебры и начал анализа для десятых и одиннадцатых классов. Предназначены для учителей математики и школьников, желающих самостоятельно повышать свой уровень подготовки.

Рецензент: к.ф.-м.н., доцент Осипенко Л.А.

© Кузьмина Е.Ю. 2014

© Лицей ИГУ, 2014

Оглавление

Ограниченность синуса и косинуса 5

Упражнения 11

Тригонометрические неравенства 16

Упражнения 22

Индивидуальные задания 25

Задачи с параметрами 28

Упражнения 37

Ограниченность синуса и косинуса

Очень часто при решении тригонометрических уравнений полезно использовать ограниченность тригонометрических функций sin x и cos x.

Пример 1. Решить уравнение: .

Решение. Так как , , то данное уравнение равносильно следующей системе уравнений:

Решая каждое уравнение системы, получаем, что

откуда следует, что

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение: .

Решение. Так как для всех , то для решений данного уравнения должно выполняться условие . В силу ограниченности функции cos 2x получаем, что cos 2x = 1, при этом sin3x = 0. Следовательно, исходное уравнение равносильно системе уравнений

имеющей своими решениями .

Ответ:

Пример 3. Решить уравнение: .

Решение. Ясно, что и . Поэтому уравнение сводится к совокупности двух систем уравнений:

Первая система уравнений имеет решения

Из второй системы уравнений следует, что

Чтобы найти общие решения уравнений системы, приравняем полученные значения аргумента х:

Из этого равенства получаем, что

Отсюда , что невозможно, так как правая часть равенства не делится нацело на 4. Окончательно, исходное уравнение имеет решения

Ответ:

Пример 4. Решить уравнение:

Очевидно, что . Складывая почленно данные неравенства, получаем, что

при этом знак равенства возможен лишь в том случае, когда cos⁷ x = cos² x и sin⁴ х = sin² x. Следовательно, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

которая имеет решения или .

Ответ: ,

Пример 5. Решить уравнение: .

Решение. Ясно, что , , поэтому

Отсюда следуют, что уравнение равносильно системе:

решениями которой будут , .

Ответ: , .

Пример 6. Найти пары чисел (х, у), удовлетворяющие условию

.

Решение. Запишем очевидные неравенства

,

.

Таким образом, исходное уравнение равносильно системе:

Решая первые два уравнения полученной системы, получаем:

Для нахождения общих значений аргумента приравняем полученные значения х:

откуда . Следовательно,

Ответ:

Пример 7. Решить уравнение: .

Решение. Так как и , то получаем очевидные неравенства:

.

Следовательно, исходное уравнение равносильно системе

которая имеет решения .

Ответ: .

Пример 8. Решить уравнение: .

Решение. Преобразуем левую часть уравнения в сумму:

.

Поэтому, исходное уравнение имеет вид

,

но левая часть полученного уравнения не превышает 3, а правая больше 3, следовательно, уравнение не имеет решений.

Пример 9. Решить уравнение: .

Решение. Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно у. Из условия

получаем, что . Отсюда или . Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности двух систем:

Откуда получаем , или

.

Ответ: , или .