7. Дільники і кратні; сд і ск; нсд і нск.

1)

)

2)

Серед спільних кратних чисел існує найменше число, яке називається НСК цих чисел.

Серед спільних дільників існує найбільше число, яке називається НСД цих чисел.

Приклад. Числа 12 і 18 мають спільні дільники 2, 3, 6. НСД(12; 18) = 6, бо

Властивості СК, СД, НСК, НСД:

1. Якщо НСД (a, b) = 1, то числа a і b взаємно прості.

Наприклад, НСД (8, 9) = 1.

2. (

Наприклад, (НСД (8, 9) = 1)→(НСК(8, 9) = 8∙9 = 72)

3. Нсд чисел a, b є нск усіх їх спільних дільників.

Наприклад: СД (12, 18) = {1, 2, 3, 6}, НСД (12, 18) = 6 =2 ∙ 3

4. Будь-яке спільне кратне чисел ділиться на їх нск.

Доведення.

Методом від супротивного. Припустимо, що , тоді , де .

. Звідси - згідно умови. - за подільністю добутку. - за подільністю різниці. Отже, оскільки , то , тобто . Але згідно умови m = НСК чисел і , як остача від ділення М і m . А це суперечить умові, тобто припущення що є хибним, а отже, Властивість доведена.

8. Обчислення НСД і НСК чисел способом канонічного розкладу чисел на прості множники.

2 520 2 1980 2

1260 2 990 2

630 2 495 5

315 5 99 3

63 3 33 3

21 3 11 11

7 7 1

1

2520 = 2³∙3²∙5¹∙7¹∙11⁰

1980 = 2²∙3²∙5¹∙7⁰∙11

НСД (2520, 1980) = 2²∙3²∙5¹∙7⁰∙ 11⁰ = 4∙9∙5 = 9 ∙ 20 = 180

НСК (2520, 1980) = 2³∙3²∙5¹∙7¹∙11=8∙9∙35∙11=280∙99=27720

Перевірка:

2 520 180 1980 180 27720 2520 27720 1980

1 80 14 180 11 2520 11 1980 14

720 180 2520 7920

720 180 2520 7920

0 0 0 0

НСД (14, 11) = 1; НСД(a∙ b)∙НСК(a∙ b)= a∙ b

Алгоритм Евкліда:

НСД (2520, 1980)

2520 1980

1980 1

1980 540

1620 3

540 360

360 1

360 180

360 2

0

2520 = 1∙1980+540

1980=540∙3+360

540=360∙1+180

360=180∙2+0

540=360∙1+180; 540=180∙2∙1+180

1980=(180∙2+180)∙3+180∙2=(180∙3)∙3+180∙2=180∙9+180∙2 =180  11

2520=180∙9+180∙2+180∙2+180=180∙(9+2+2+1)=180∙14

1980=180∙9+180∙2=180∙(9+2)=180∙11

НСД (2520, 1980) = 180