2.Спектр амплитуд при дифракции электромагнитных волн на щели в непрозрачном экране.

Определим спектр амплитуд волн для нашей задачи в явном виде. Для этого используем значения поля при (рис. 2б): , если и , если . Поскольку , при , то пределы интегрирования в (4) можно выбрать . Тогда спектр амплитуд , в соответствии с (4), будет определяться соотношением:

(6)

После интегрирования примет вид:

(7)

Используя формулу Эйлера , получим:

(8)

График нормированного модуля этого спектра, т.е. , представлен на рис.3. Здесь .

Рис. 3. Спектр амплитуд дифрагированных электромагнитных волн.

З.Волновые представления в описании дифракции электронов.

Для описания дифракции электронов используют волновые представления. Согласно этим представлениям свободным движущимся частицами ставится в соответствие волновая функция, по математическому виду подобная плоской гармонической волне (1).

Если частица, имеющая массу покоя , движется вдоль оси с энергией и импульсом , то волновая функция имеет вид:

(9)

В общем (релятивистском) случае энергия и импульс определены соотношениями:

(10)

Из соотношений (10) следует связь энергии и импульса в виде:

(11)

Из сравнения уравнений (9) и (1) следуют известные соотношения де-Бройля:

, (12)

Уравнение (11) позволяет определить дисперсионное уравнение для волновой функции :

(13)

Для волновой функции в теории найден особый физический смысл. Если, например, для электромагнитной волны уравнение волны (1) определяет распределение электромагнитного поля в пространстве и его изменение во времени, то волновая функция (9), введенная для описания состояния частиц, определяет плотность вероятности нахождения частицы в пространстве. Эта плотность вероятности, с точностью до произвольного постоянного сомножителя, определяется произведением волновой функции на ее комплексно-сопряженное значение , т.е. плотность вероятности определена соотношением:

(14)

Вероятность нахождения частицы в пространстве с координатами от до будет определяться в виде

(15)

Величину обычно находят из условия нормировки. В задачах, где воздействие на частицы изменяет компоненты импульса , а энергия остается постоянной, волновая функция представляется интегралом Фурье в пространстве импульсов ( ). В данной задаче электрон, движущийся от источника до щели, считается свободным, в области щели электрон отклоняется от первоначального направления (рассеивается). Для описания этого рассеяния в рамках волновых представлений достаточно определить волновые функции в области щели. Поскольку в математическом отношении эта задача подобна рассмотренной в дифракции электромагнитных волн на щели, можно воспользоваться полученными результатами, заменив волновой вектор и частоту в соответствии с соотношениями де-Бройля (12).

Опуская множитель (задача стационарная), для спектра амплитуд волновой функции в области щели, используя (8), можно записать:

, (16)

где - компонента импульса электрона.

Волновая функция в области определена этим спектром подобно (3). Используем найденный спектр амплитуд волновой функции (8) для описания дифракции электронов. Для этого найдем плотность вероятности, описывающей отклонения электронов (при длительной экспозиции) на угол .

Поскольку

, (17)

где - импульс электронов, вылетающих из источника, то можно сначала найти плотность вероятности как функцию , используя (16)

. (18)

Для исключения неопределенной определим плотность вероятности для . Поскольку , то:

. (19)

Откуда, введя угол дифракции как переменную, получим:

. (20)

Будем далее считать, что дифракция электронов анализируется счетчиками, расположенными под различными углами . Входные окна счетчиков малы и соответствуют малому интервалу угла , в пределах которого можно считать постоянной. В этом случае число частиц ,фиксируемое -ым счетчиком за время , будет пропорционально плотности вероятности и величине угла

(21)