Лабораторная работа № 13 изучение поперечных волн в нагруженной струне
Поперечные волны в струне, как процесс распространения малых колебаний ее элементов, обладает достаточной наглядностью, относительной простотой описания и сохраняет особенности волн в упругой среде. Возможность визуального наблюдения этих волн выделяет их в методическом отношении при изучении волновых процессов.
Волновое уравнение и скорость волны.
Для вывода волнового уравнения рассмотрим уравнение движения элемента струны при волновом процессе.
Пусть
в равновесном состоянии струна расположена
вдоль оси х
и натянута
внешней силой
F
с
обеих сторон. Колебания элемента струны
вдоль оси у
породят
плоско поляризованную
волну в струне. Пусть участок струны
,
с координатами
и
в равновесном
состоянии, занял в момент времени t
положение,
изображенное на рис. 1.
|
Рис. 1. Смещение элемента струны от положения равновесия. |
Уравнение движения центра масс участка в проекции на ось у запишем в виде (второй закона Ньютона):
(1)
Поскольку колебания малы, то:
1)относительная деформация участков струны за счет колебаний мала.
2)модуль вектора силы натяжения F постоянен, т.е. не зависит от колебаний участка и одинаков у всех участков.
3.Углы
наклона касательных в точках струны к
оси х
(рис.1.)
малы, так что
.
С
учетом этого (1) можно записать в виде:
, (2)
где
-
плотность
среды, S
– площадь поперечного сечения струны.
Поскольку
,
то из (2) следует:
. (3)
Уравнение (3) является искомым волновым уравнением, решением которого является уравнение волны. Волна распространяется со скоростью
,
где
- упругое напряжение.
Стоячие волны в ограниченной струне.
Классическим примером идеальной стоячей волны является волновой процесс, порожденный интерференцией двух встречных когерентных волн одинаковых амплитуд
В этом случае стоячая волна описывается уравнением
. (4)
В
случае струны, ограниченной с двух
сторон, возможно возбуждение стоячей
волны внешним
возбуждением, но лишь при определенных
соотношениях длины волны
и длины
струны L.
Эти соотношения определяются граничными
условиями. Рассмотрим эту
особенность, определив стоячую волну
в струне, как результат сложения бегущих
волн
при многократном отражении их от концов
струны. Для простоты будем рассматривать
волны без поглощения и считать, что
концы струны в точках х
= 0
и x
= L
закреплены,
т.е.
Решение
волнового уравнения (3) будем искать в
виде
. (5)
С учетом граничных условий получим, что А = - В. Это приводит (5) к уравнению стоячей волны в виде
. 6)
Также
из граничных условий (для любого
)
следует
и
(
). (7)
Условия (7) соответствуют условию образования стоячей волны в закрепленной с обоих концов струне.
Экспериментальная установка.
Для изучения поперечных волн в нагруженной струне предлагается провести исследования образования стоячей волны в струне, закреплённой с двух сторон. Схема установки представлена на рис. 2.
|
Рис. 2.Схема экспериментальной установки. |
Струна 1 натянута между опорами 2 и 3. Сила натяжения струны определяется перегрузками 4, подвешенными к свободному концу струны. Опора 3 подвижна, так что длина участка струны 2-3 может быть переменной; ее изменения измеряются по линейке 5. Колебания в струне возбуждаются генератором 6 благодаря взаимодействию тока, протекающего по струне с магнитным полем магнита 7. Установка позволяет производить измерения на различных частотах при различных упругих напряжениях в струне . Индикация образования стоячей волны производится как на слух (при удобных частотах), так и визуально по амплитуде стоячей волны.
Задание.
1. Методом переменной длины L определить длину волны в струне при заданной частоте и силе натяжения; рассчитать скорость волны.
2. При
заданной длине участка струны и заданной
силе натяжения наблюдать образование
стоячих волн, изменяя частоту генератора.
Зарисовать не менее трех гармоник.
Рассчитать скорости всех гармоник
.
3. Подобные вычисления проделать для 6÷7 значений силы натяжения (при неизменной длине струны).
4.
Рассчитать теоретические значения
скорости
.
5.
Построить график зависимости
от силы натяжения F;
нанести на график значения
.
Литература
1.Стрелков, С.П. Механика [Текст] / С.П.Стрелков. - М.:Наука, 1975.
2.Сивухин, Д.В. Общий курс физики (механика) [Текст] / Д.В.Сивухин – М.:Наука, 1985.
3.Пейн, Г. Физика колебаний и волн [Текст] / Г.Пейн. - М.:Мир, 1979.