Лабораторная работа № 18 исследование дифракции фраунгофера на n щелях

В работе предлагается провести расчёты распределения интенсивности света в области дифракции на N щелях в параллельном пучке света.

Теория задачи. Принципиальная схема наблюдения дифракции плоских волн (дифракция Фраунгофера) представлена на рис. 1. Излучение точечного источника превращается линзой в плоскую волну, которая проходит через какие-либо отверстия в непрозрачном экране Э. Линза собирает в различных участках своей фокальной плоскости все лучи, прошедшие через отверстия, в том числе и отклонившиеся на угол от первоначального направления в результате дифракции (в точке ).

Рис.1.Принципиальная схема наблюдения дифракции Фраунгофера.

В качестве решения задачи необходимо определить зависимость интенсивности света от величины угла дифракции .

Дифракция Фраунгофера на одной щели.

Дифракционная картина Фраунгофера на щели может быть (как это следует из скалярной теории Кирхгофа) рассчитана как интерференция плоских однородных волн в бесконечности, исходящих из каждой точки щели в направлении . Такие волны (не существующие в рамках геометрической оптики) можно назвать дифрагированными волнами. Каждая такая волна, порождаемая элементом щели в направлении (рис. 2), имеет бесконечно малую амплитуду ,где (не зависящая от ). Разность фаз волн, исходящих из элементов с координатами и , определяется в этом случае, соотношением:

, (1)

где - волновое число волны. Эта разность фаз определит результирующее колебание поля в точках "Р" экрана, находящегося в фокальной плоскости линзы (Рис. 2)

Поскольку результирующее колебание в точке определится суммой бесконечного числа колебаний с амплитудами и фазами , непрерывно зависящими от х ( ), то можно записать:

(2)

Рис. 2.Дифракция Фраунгофера на одной щели.

В (2) выбрана комплексная форма записи уравнения колебаний, поскольку она упрощает расчёты. Для комплексной амплитуды колебаний , определённой соотношением , из (2) следует

. (3)

После интегрирования получим:

(4)

Вынося за скобки величину и используя формулу Эйлера , для будем иметь соотношение:

(5)

Поскольку комплексная амплитуда определяет интенсивность волны соотношением

, (6)

то для интенсивности волны, дифрагированной под углом , получим

. (7)

Здесь - интенсивность волны при , , поскольку .

Полученное соотношение (7) используют для анализа дифракции на щели. Для практических расчетов соотношение (7) удобно привести к виду:

, где . (8)

Дифракция Фраунгофера на N щелях

При дифракции на щелях в точке "Р" экрана (рис. 2) будут складываться колебаний, порождённых каждой щелью в направлении . Комплексная амплитуда этих колебаний зависит от угла дифракции. Для получения этой зависимости проведём следующие рассуждения.

Пусть первая щель в направлении в точке "Р" порождает колебания с комплексной амплитудой , в соответствии с уравнением (5):

. (9)

Соседняя (вторая) щель порождает колебания с амплитудой, равной:

, (10)

где - постоянная решетки.

Множитель определяет разность фаз колебаний, приходящих в точку "Р" от второй и первой щели. Для -ной щели следует соотношение:

(11)

При нахождении комплексной амплитуды результирующего колебания в точке "Р" необходимо сложить комплексные амплитуды от всех щелей.

. (12)

Эта сумма является суммой членов геометрической прогрессии со знаменателем . Ее можно записать в виде:

(13)

Используя выражение для суммы геометрической прогрессии , получим:

(14)

После преобразований соотношения (14) получим:

. (15)

Для интенсивности этих колебаний из (15) следует:

. (16)

Здесь определяет интенсивность света, излучаемого в направлении .

При проведении расчётов и построения графиков по (17) можно ввести переменные и . Тогда:

(17)

Полученное соотношение (17) удобно для расчётов и анализа результатов дифракции на щелях.

Задание

Перед выполнением работы ознакомиться с содержанием программы ЭВМ, обеспечивающей проведение расчётов по вводимым данным. По выводимому на экран ЭВМ тексту ознакомиться с обозначениями переменных и данных, запрашиваемых компьютером, формой выводов результатов расчётов.

1. Провести исследование дифракции света на одной щели.

Для этого по программе , с экрана ЭВМ переписать таблицу зависимости приведённой интенсивности от параметра (формула (8)). Построить график этой зависимости и проанализировать его особенности (положение максимумов и минимумов по углам дифракции при различных отношениях , соотношение интенсивности в максимумах и др. )

2. Провести исследование дифракции света на N щелях.

Для проведения этих исследований используется вторая программа ( ), разработанная для данной задачи.

По результатам расчётов, выведенных на экран ЭВМ в виде таблицы, построить графики приведённой интенсивности (17). Расчёты и анализ их провести при различных (число щелей) и параметрах решетки (отношение ширины щели к периоду решетки, по указанию преподавателя).

Литература.

1.Ландсберг,Г.С. Оптика [Текст] / Г.С.Ландсберг. - М.: Наука, 1976.

2.Калитеевский,Н.И Волновая оптика [Текст] / Н.И.Калитеевский. - М.: Наука, 1978.

43